logo

logo

logo

logo

logo

الوتر المهتز

وتر مهتز

Vibrating string - Corde vibrante

الوتر المهتز

 

ينشأ الاهتزاز vibration في وتر string مرن ومشدود ومثبت من إحدى نهايتيه أو كلتيهما نتيجة اضطراب طولاني أو عرضاني يَحدث فيه فيخرجه عن وضع توازنه. ينتشر هذا الاضطراب عبر الوتر مع الزمن على شكل موجة [ر]، وتخضع الجسيمات المكونة له لانزياحات مختلفة تحددها طبيعة الموجة.

تعطى سرعة انتشار موجة الاضطراب ـ وهي تتعلق بالخصائص الميكانيكية للوتر فقط ـ بالعلاقة:

حيث T هي التوتر (قوة الشد) المطبق على الوتر، و μ كتلة واحدة الطول منه. فإذا كانت كتلته m وطوله L فإن

                         μ = m/L.

إذا أُحدث اضطراب طولاني أو عرضاني عند إحدى نهايتي الوتر، لتكن النهاية الواقعة عند x = 0، وكان على شكل موجة جيبية سعتها A وتواترها الزاوي   ω = 2π f حيث f التواتر معطاة بالعلاقة:

(2)            y (x = 0, t) = A sin ωt

حيث t الزمن و y الانزياح فإن هذا الاضطراب ينتشر في الوتر ويصل إلى نقطة منه تبعد مسافة x عن المبدأ بعد زمن قدره ، وتعطى معادلة انزياح هذه النقطة في اللحظة t بالعلاقة:

(3)          y (x, t) = A sin (ω t ± κ x)

حيث تدل إشارة (-) إلى انتقال نحو اليمين، وإشارة (+) إلى انتقال نحو اليسار. أما الثابتة k فهي العدد الموجي wave number وتساوي حيث λ طول موجة الاهتزاز. وتجدر الإشارة هنا إلى أن الذي ينتقل بتلك السرعة هو الاضطراب أما جزيئات الوتر فتتحرك في مواضعها للأعلى وللأسفل أو ذهاباً وإياباً. وتعطي المعادلة (3) تغير الانزياح y لنقطة معينة x من الوتر بدلالة الزمن، أو التغير في لحظة معينة t لأي نقطة من الوتر.

الأمواج المستقرة في وتر مشدود مثبت من نهايتيه

الشكل (1) تشكل العقد والبطون

عندما تصل الموجة إلى نقطة تثبيت الوتر في نهايته تنعكس هناك وترجع منتشرة على الوتر بالاتجاه المعاكس. ففي كل نقطة من الوتر تبعد مسافة x عن المبدأ تؤثر موجتان، موجة منتقلة نحو نقطة الربط وموجة منعكسة عندها، فتتراكب الموجتان وتتداخلان وتنشأ موجة مستقرة ويصبح الوتر على شكل المغزل (أو المغازل).

توجد على الوتر نقاط تنعدم فيها الحركة تسمى العُقَد nodes كما توجد بين العُقَد نقاط تكون سعة الحركة فيها أعظمية تسمى البطون antinodes (الشكل 1).

ولاشتقاق صيغة دالة الموجة المستقرة تجمع الدالتان y1(x, t) و y2(x, t) للموجتين اللتين لهما سعة واحدة ودور واحد وطول موجي واحد وتنتشران في اتجاهين متعاكسين، وممثلتان بالمعادلة (3). فالمعادلة y1(x, t) = A sin (ωt + κx) تمثل موجة واردة تنتقل إلى اليسار على المحور x+، وعندما تصل إلى النقطة x تساوي الصفر تنعكس. والمعادلة y2(x, t) = -A sin (ωt – κx) تمثل موجة منعكسة تنتشر إلى يمين النقطة x = الصفر. والدالة y (t, x) هي حاصل جمع الدالتين:

(4)             y (x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) = (2A sin κx) cos ωt

وهي معادلة موجة مستقرة في وتر مثبت عند الطرف x = الصفر. تحدث العقد من أجل sin κx = 0، ويحدث هذا من أجل κx = 0, π, 2π, 3π,....

ولما كان فإن مواضع العقد الممكنة هي:

أو بدلالة λ:

الشكل (2) تشكل الأمواج المستقرة الموافقة لأربعة أطوال موجية ممكنة

ويُبَيّن الشكل (2) تشكل الموجات المستقرة من أجل قيم n المساوية 1 و 2 و 3 و 4.

التواتر الأساسي والتوافقيات والأنماط

عند نقر وتر طوله محدد L ومثبت من نهايتيه بإحكام ـ شأن الأوتار في معظم الآلات الموسيقية الوترية ـ تنتج موجة مستقرة. تولِّد هذه الموجةُ المستقرة موجةً صوتية في الهواء تواترها هو تواتر تجاوب الوتر، الذي يتعين بخواص الوتر. ينبغي أن يكون للموجة المستقرة التي تنشأ في الوتر عقدتان في طرفيه المثبتين. وهذا ما يحدّ من الاهتزازات المحتملة. فطول الموجة يجب أن يكون مساوياً ، وهذا يوافق من أجل n =1 صوتاً صادراً عن الوتر تواتره ، وهو ما يعرف بالتواتر الأساسي fundamental frequency (الشكل 2) حيث تتشكل عقدة عند كل من الطرفين وبطن في المنتصف. يمثل هذا واحداً من أنماط اهتزاز الوتر، وبالرجوع إلى المعادلة (1) يعطى التواتر الأساسي بالعلاقة:

يهتز الوتر المثالي بالتواتر الأساسي ومضاعفاته التي تدعى كل التوافقيات التابعة لذلك التواتر. وتكون مواضع العقد والبطون معاكسة لمثيلاتها التي تحدث في عمود الهواء المفتوح [ر. المزمار]. وتشير المعادلة (5) التي تعطي مواضع تشكل العقد في الوتر إلى أنه توجد أنماط أخرى مسموح بها.

الشكل (3) التواتر الأساسي وتواترات التوافقيات الست الأولى

لوتر مثبت من طرفيه

ويبين الشكل (3) أمواجاً مستقرة عديدة تدعى التوافقيات harmonics (المدروجات) وهي الموافقة لقيم الأطوال الموجية التي يمكن الحصول عليها على الوتر المثبت من طرفيه، وهي:

    

ومنها تستنتج تواترات كل التوافقيات الخاصة بالوتر وهي:

    

طبقة الصوت

تتحدد طبقة الصوت الذي يصدره وتر مهتز بتواتر تجاوبه الذي يتعين بطوله وكتلته وبقوة الشد. كما تشير إلى ذلك المعادلتان (6) و (8). تتغير الطبقة بطرق مختلفة مع هذه الوسطاء المختلفة كما هو موضح في الأمثلة الآتية: إذا كان الوتر يبدأ بطبقة تواترها = 100 هرتز فمضاعفة الطول تخفِّض الطبقة إلى النصف، أي تجعلها 50 هرتز. وإذا تضاعفت قوة الشد أربع مرات فتصبح الطبقة 200 هرتز. أما إذا تضاعفت كتلته (مع بقاء طوله ثابتاً) فسيكون تواتره 50 هرتز. وهكذا فإن زيادة التواتر بمقدار ثُمانية واحدة (أي أوكتاف واحد) يتطلب مضاعفة قوة الشد أربع مرات. فمن أجل قوة شد To مطبقة على وتر معروف الطول والكتلة، يصدر صوتاً تواتره fo.

ويلخص الجدول (1) قوى الشد اللازمة لرفع طبقة الوتر بمقدار ثمانية واحدة (أوكتاف واحد) أو أكثر فوق f0.

قوة الشد الابتدائية To             التواتر الابتدائي Fo       

مقدار زيادة الطبقة قوة الشد اللازمة التواتر الناتج
ثُمانية واحدة (أوكتاف واحد) x4To x2fo
ثُمانيتان x10To X4fo
ثلاث ثُمانيات x64To x8fo
أربع ثُمانيات x256To x16fo
خمس ثُمانيات x1024To x232fo

الجدول (1)

 

محمد قعقع

 الموضوعات ذات الصلة:

 

الصوت ـ المزمار ـ الموجة.

 

 مراجع للاستزادة:

 

ـ طاهر تربدار، توفيق قسام، بسام المعصراني، الاهتزازات والأمواج (1) (جامعة دمشق، 1981).

 ـ F.W.SEARS, M.W. ZEMANSKY, and H.D. YOUNG, University Physics, 7th ed. (Addison-Wesley Publishing Company Inc 1987).




التصنيف : الكيمياء و الفيزياء
النوع : علوم
المجلد: المجلد الثاني والعشرون
رقم الصفحة ضمن المجلد : 139
مستقل

آخر أخبار الهيئة :

البحوث الأكثر قراءة

هل تعلم ؟؟

للحصول على اخبار الموسوعة

عدد الزوار حاليا : 76
الكل : 5138548
اليوم : 4039

غوشو (هاينوسوكيه-)

غوشو (هاينوسوكيه -) (1902-1981)   هاينوسوكيه غوشو  Heinosuke Goshoمخرج سينمائي ياباني، وهو من أهم المخرجين البارزين في عصر السينما اليابانية الذهبي، ولد في طوكيو وتوفي فيها. قدم فيلمه الأول الناطق «التحدث» عام 1931 وهو صورة عن الحياة اليابانية الاجتماعية، وعند عرضه في أوربا عدّه النقاد السينمائيون الفيلم الأول الناجح بالسينما الناطقة.

المزيد »