logo

logo

logo

logo

logo

الحلقة

حلقه

Ring - Anneau

الحلقة

 

الحلقة ring (س ، +، ×) هي مجموعة غير خالية س، مزودة بقانوني تشكيل داخليين، يسمى أحدهما جمعاً ويرمز له بـ +، والآخر ضرباً ويرمز له بـ ×، بحيث يتحقق ما يلي:

1- المجموعة  س  تكون زمرة تبديلية بالنسبة للجمع[ر].

2- الضرب تجميعي؛ أي: (س × ع) × ص = س × (ع × ص) لكل ثلاثة عناصر س، ع، ص من س.

3- الضرب توزيعي على الجمع، أي:

س × (ع + ص) = س × ع + س × ص، (ع + ص) × س= ع × س + ص × س لكل ثلاثة عناصر س، ع، ص من س.

وفيما يلي يستخدم الرمز س، بغية الاختصار للدلالة على الحلقة.

تسميات:

1- تسمى الزمرة التبديلية (س، +) الزمرة الجمعية للحلقة س، ويسمى محايد هذه الزمرة صفر الحلقة س، ويرمز له، تجاوزاً بالرمز \.

2- إذا كان الضرب تبديلياً على س فإنها تسمى حلقة تبديلية.

3- إذا كان يوجد في س عنصر محايد بالنسبة للضرب فإنه يسمى واحد الحلقة س، ويرمز له، تجاوزاً، بالرمز 1 وتسمى س، حينئذٍ، حلقة واحدية.

أمثلة:

1- كل من مجموعات الأعداد: الصحيحة ص، المنطقة ع، الحقيقة ح، العقدية ق[ر]، حلقة تبديلية، وواحدية بالنسبة للجمع والضرب المألوفين عليها.

2- مجموعة الأعداد الصحيحة الزوجية حلقة تبديلية وغير واحدية بالنسبة لجمع الأعداد وضربها.

3- مجموعةُ المصفوفات المربعة من المرتبة الثانية م2 (ح)، التي عناصر كل مصفوفة منها أعداد حقيقية، حلقة واحدية وغير تبديلية بالنسبة لجمع المصفوفات وضربها:

إنّ صفر هذه الحلقة هو وواحدها هو ، وإنَّ:

 

4- لـيكن هـ'     ص ، هـ < \ إذا كان س، ع ' ص ، وكـان: [س ك ع عندما وفقط عندما س º ع (قياس هـ)]، فتـكون ك علاقة تـكافـؤ على ص، وتـكـون مجموعةُ صفوفِ التكافؤ ص/هـ ص = {[\]، [1]، [2]،...، [هـ -1]}، بفرض أن [س] = {س + هـ × ص: ص ' ص} وَ \ ³ س ³ هـ -1 حلقةً تبديليةً وواحديةً بالنسبة للجمع والضرب الآتيين:

[س] + [ع] = [س + ع]، [س] × [ع] = [س× ع]، حيث صفرها هو [\] وواحدها هو [1].

قواعد عامة

1- للمعادلة أ + ع = ب، حيث أ، ب  'س  حل وحيد في س هو ع = ب+ (-أ) = ب - أ.

2- الضرب توزيعي على الطرح في س.

3- إذا كان أ، ب ' س فإنّ:

أ× \ = \ = \ × أ، (-أ) × ب = - (أ × ب) = أ × (-ب)، (-أ) × (-ب) = أ × ب.

4- إذا كان أ، ب ' س  وَ أ \، ب \، أ × ب = \ [ولكن ليس من الضروري أن يكون ب × أ = \ (انظر المثال الثالث)]، فإنه يقال إن أ قاسم يميني للصفر وإن ب قاسم يساري للصفر. وإذا كانت الحلقة تبديلية فيقال إن هذين العنصرين قاسمان للصفر فيها.

فمثلاً: [2]، [3] قاسمان للصفر في الحلقة ص/6ص.

5- المنطقة الصحيحة (التكاملية) هي حلقة تبديلية وواحدية،  ولا تتألف من صفرها فقط، ولا تحوي قواسم للصفر. فمثلاً، كل من الحلقتين ص، ص/هـ ص، بفرض أن هـ أولي، منطقة صحيحة، بينما كل من الحلقتين م2 (حص/6ص ليست بمنطقة صحيحة.

«ملاحظة: يحذف بعضهم شرط كون الحلقة واحدية عند تعريف المنطقة الصحيحة».

6- تعريف: إذا كان هـ ' ص، هـ < \، فإنّ: أ هـ = أ × أ × … × أ، هـ أ = أ + أ + … + أ، (-هـ) أ = هـ (-أ). أما إذا كان هـ = \ فإنّ

\أ = \ ' س. ومنه  (أ+ب)2 = (أ+ب) × (أ+ب) = أ 2+ ب × أ + أ× ب + ب2. وإذا كانت الحلقة س تبديلية فإنّ:

(أ + ب)22+2 أ × ب + ب2، وإنّ:

(أ+ب)هـ= أ هـ + هـ أ هـ-1 × ب + … + (رهـ) أ هـ - ر × ب ر + ... + ب هـ،

حيث:

7- يقال عن المجموعة الجزئية غير الخالية ج من الحلقة (س ، +،×) إنها حلقة جزئية منها إذا كان:

س - ع ' ج، س × ع ' ج وذلك لكل عنصرين س، ع ، من ج. وعلى هذا فإن الحلقة س حلقة جزئية من س  وإن المجموعة {\} حلقة جزئية من س.

8-  يقال عن عنصر ع من حلقة واحدية إنه قَلوبٌ فيها إذا انتمى إليها عنصر مثـل ع-1، يسمى مقلوب ع، بحيث يكون ع × ع -1= ع -1× ع = 1.

المميّز

إذا كان هـ أصغر عدد صحيح موجب محقق للشرط هـ س = \ لأجل كل س من س فإن هـ يدعى مميّز س.

أما إذا كان هـ غير موجود فإن الصفر يعتبر مميِّز س.

إذا كانت س واحدية فيكفي البحث عن وجود هـ أو عدم وجودها باستخدام الشرط هـ 1 =\.

نتائج:

1- مميز الحلقة ص/هـ ص هو هـ.

2- إذا كانت س منطقة صحيحة فإن مميزها يكون إما صفراً أو عدداً أولياً مثل هـ. وفي الحالة الأخيرة، إذا كانت س، ع، …، ص، أيّ عناصر من س، فإنّ:

أ - (س + ع + … + ص) هـ = س هـ + ع هـ + ... + ص هـ

ب - س هـ = س عندما تكون س = ك1، بفرض أن ك عدد طبيعي (مناسب).

3- مبرهنة فِرْما Fermat: إذا كان هـ عدداً أولياً فإنّ:

س هـ = س (قياس هـ) لأجل كل عدد صحيح س.

المثاليات

«يفترض فيما يلي أن مـ مجموعة جزئية غير خالية من س»:

1- المثالي الوحيد الجانب: يقال عن مـ إنها مثالي يساري (يميني) لـ س إذا كان س - ع  ' مـ، س × أ ' مـ (أ× س ' مـ) وذلك لأجل أيّ س، ع من مـ وأيّ أ من س.

2- المثالي الثنائي الجانب: يقال عن مـ إنها مثالي ثنائي الجانب (أو، اختصاراً، مثالي) للحلقة  س إذا كانت مـ  مثالياً يمينياً ويسارياً بآنٍ واحد لـ س.

3- نتائج:

أ - إذا كانت س تبديلية فكل مثالي وحيد الجانب لها يكون مثالياً ثنائي الجانب لها.

ب - المجموعة س هي مثالي للحلقة س، والمجموعة {\} هي مثالي للحلقة س، ويدعى الأخير المثالي الصفري.

حـ - كل مثالي (وحيد الجانب أو ثنائي الجانب) للحلقة هو حلقة جزئية منها.

د - تقاطع أيّ مثاليين يساريين (يمينيين، ثنائيي الجانب) للحلقة هو مثالي يساري (يميني، ثنائي الجانب) لها.

هـ - إذا انتمى عنصر قَلوبٌ إلى أيّ مثالي يساري (يميني، ثنائي الجانب) مـ للحلقة الواحدية فإن مـ يساوي الحلقة نفسها.

4- المثاليات الرئيسة:

أ ـ المثالي الرئيس اليميني مـ لـ س المولَّد بعنصر ع ' س: هو المجموعة  مـ = {هـ ع + س × ع: هـ ' ص، س ' س}؛ وإذا كانت س واحدية فإنَّ:

مـ = {ك × ع: ك ' س} = س × ع.

ب ـ المثالي الرئيس اليساري مـ لـ س المولد بعنصر ع ' س هو المجموعة:

مـ = {هـ ع + ع × س: هـ ' ص، س ' س}، وإذا كانت س واحدية فإنّ:

مـ = {ع × ك: ك ' س} = ع × س.

حـ - المثـالي الرئيـس مـ لــ س المولَّد بعنصر ع ' س: هو المجمـوعـة مـ = (ع) التي تـساوي تقاطع جميع المثـاليـات لـ س التي كـل منـها يحوي ع. فـإذا كـانت س تـبديـليـة فإنّ: (ع) = {هـ ع + س × ع: هـ ' ص، س ' س}، وإذا كانت س تبديلية وواحدية فإن (ع) = س × ع = ع × س. أما إذا كانت س واحدية وغير تبديلية فإن (ع) يتكون من العناصر التي كل منها يساوي مجموعاً منتهياً لعناصر من الشكل س × ع × ف، حيث س، ف ' س.

مثال: المثالي الصفري هو مثالي رئيس مولَّد بصفر الحلقة، أيْ: {\}= (\)، ثم إذا كانت س واحدية فإنها تكون مثالياً رئيساً مولَّداً بواحدها، أي: س = (1).

5- تتمات:

أ - إذا كانت س تبديلية وواحدية، وكانت هـ1، هـ2،...، هـر عناصر منها، فإن المثالي (هـ1، هـ2،....، هـر) المولَّد بهذه العناصر يتألف من العناصر ذات الشكل:

هـ1 × س1 + هـ2 × س2+..... + هـر × سر، حيث س1، س2،...  سر ' س.

ب - يبرهن أن كل مثالي للحلقة ص رئيس، وله الشكل: (ك)، حيث ك £ \.

حـ - تسمى المنطقة الصحيحةُ، التي كل مثالي لها رئيس، حلقة المثاليات الرئيسة.

6- بعض العمليات على المثاليات: ليكن مـ1، مـ2، مثاليين يساريين (يمينيين، ثنائيي الجانب) لـ س. عندئذ:

أ - حـاصـل ضـرب مـ1 بـ مـ2 هو المثالي اليـساري (اليميني، الثنائي الجانب) مـ1 × مـ2 المؤلف من العناصر التي كل منها يـساوي مجمـوعـاً منتهياً لعنـاصر من الـشكل س1× س2، حيث س1 ' مـ س2 ' مـ2.

ب - حاصل جمع مـ1 مع مـ2 هو المثالي اليساري (اليمني، الثنائي الجانب)  مـ1 +  مـ2 المؤلف من العناصر التي كل منها له الشكل: س1 + س2، حيث س1 ' مـ1، س2 ' مـ2.

 نتيجة: إذا كان (س) + (ع) = (1) في حلقة المثاليات الرئيسة فيقال إن المثاليين (س)، (ع) أوليان فيما بينهما، وهذا يعني وجود عنصرين مثل س1، ع1 في هذه الحلقة بحيث يكون:

 س × س1 +  ع × ع1 = 1.

المثاليات وعلاقات التكافؤ

1- التشاكل الحلقي: هو تطبيق مثل تا: س  ¬سَ ، منطلقه حلقة س ومستقره حلقة سَ، بحيث يكون:

تا(س + ع) = تا(س) + تا(ع)، تا(س × ع) = تا(س) × تا(ع) وذلك لكل عنصرين س، ع من س.

تعرَّف نواة تا بأنها المجموعة:

نو تا = {س: ' س ، تا(س) = \َ } = تا -1 (\َ )حيث \َ هو صفر سَ. ويبرهن أنّ:

أ - صورة أيّ حلقة جزئية من س وفق تا تكون حلقة جزئية من سَ.

ب - الصورة العكسية لأيّ حلقة جزئية من سَ وفق تا تكون حلقة جزئية من س.

حـ - الصورة العكسية لأيّ مثالي يساري (يميني، ثنائي الجانب) للحلقة سَ. وفق تا تكون مثالياً يسارياً (يمينياً، ثنائي الجانب) للحلقة س.

د - نواة تا تكون مثالياً لـ س.

هـ - الشرط اللازم والكافي كيْ يكون تا متبايناً هو: نو تا ={\}.

إذا كان تا متبايناً وغامراً فإنه يسمى تماثلاً حلقياً، ويقال، حينئذ، إنّ س، سَ متماثلتان ويرمز ذلك س » سَ .

2- التوافق على س: هو علاقة تكافؤ مثل ر معرفة على س بحيث يتحقق ما يأتي:

إذا كان س، ع، ص، ف ' س بحيث س ر ع ، ص ر ف فإنّ:

(- س) ر (- ع)، (س + ص) ر (ع + ف)، (س × ص) ر (ع × ف).

إذا كـانت ر تـوافقـاً على س فإن مجمـوعة صفوف التكافؤ س/ ر حلقة بالنسبة للقانونين: [س] + [ع] = [س + ع]، [س] × [ع] = [س × ع]؛ ويوجد التشاكل الحلقي الغامر  قــا: س ¬ س/ر الذي قاعدة ربطه: قا(س) = [س]. تسمى س/ ر حلقة الخارج، ويسمى قا الغمر القانوني.

3-  نتائج:

أ ـ إذا كان تا: س ¬ سَ  تشاكلاً حلقياً، فإنه يوجد توافق مثل ر على س، وتشاكل حلقي متباين مثل

ها: س/ ر ¬ سَ بحيث يكون تا = ها o قا.

يكفي، للبرهان، وضع: [س ر ع عندما وفقط عندما تا(س) = تا(ع)] وَ [ها ([س]) = تا (س)].

ب ـ يوجد تقابل بين مثاليات أيّ حلقة س والتوافقات على هذه الحلقة.

يكفي، للبرهان، وضع: (س ر ع عندما وفقط عندما س - ع ' مـ). فتكون ر توافقاً على س (مقابلاً للمثالي مـ)، وبالعكس يكفي أخذ مـ = {س: س ' س، س ر \} فتكون مـ مثالياً لـ س (مقابلاً للتوافق ر). ويكتب عندها س/مـ بدلاً من س/ر ، ويرمز لصف التكافؤ [س] بالرمز س + مـ حيث س ' س ومنه:

إذا كان تا: س ¬ سَ تشاكلاً حلقياً، فإنّ تا(س) » نو س / تا.

عبد الواحد أبو حمدة 

مراجع للاستزادة:

 

- N.Bourbaki, Eléments de mathématique (Algébre).

- A.G.Kurosh, Lectures on General Algebra.

- J.Lambek ,Lectures on Rings and Modules.




التصنيف : الرياضيات و الفلك
النوع : علوم
المجلد: المجلدالثامن
رقم الصفحة ضمن المجلد : 492
مستقل

آخر أخبار الهيئة :

البحوث الأكثر قراءة

هل تعلم ؟؟

للحصول على اخبار الموسوعة

عدد الزوار حاليا : 25
الكل : 4890527
اليوم : 5764

فاختانغوف (يفغيني-)

ڤاختانغوڤ (يفغيني -) (1883-1922)   يفْغيني بوغراتيونوڤيتْش ڤاخْتانْغوڤ Yevgeny Bogrationovich Vakhtangov ممثل ومخرج ومدير ومنظِّر مسرحي روسي سوڤييتي من أصول أرمنية، ولد في ڤلادي قڤقاس Vladikavkaz وتوفي مريضاً في موسكو، يتحدر من عائلة فقيرة من العمال اليدويين في تفليس Tiflis، لكن زواج أبيه من أمه أولغا ليبيديڤا Olga Lebedeva جعله صاحب معمل متواضع للتبغ.

المزيد »