logo

logo

logo

logo

logo

المربعات السحرية

مربعات سحريه

Magic squares - Carrés magiques

المربعات السحرية

 

المربع السحري magic square هو مصفوفة مربعة من الأعداد الصحيحة الموجبة المتتالية؛ مرتبة بحيث يتحقق الشرط: مجموع أعداد أي سطر، أو عمود، أو قطر، له الناتج نفسه، ويدعى هذا المجموع: الثابت السحري magic constant.

6

1

8

7

5

3

2

9

4

المربع السحري من المرتبة order ن؛ الذي يحوي مجموعة الأعداد الصحيحة الآتية: 1 ، 2 ، 3 ،  000، ن2، والتي مجموعها هو: ن2 ( ن2 + 1) / 2،  يكون مجموع عناصر أي سطر، أو عمود، أو قطر فيه هو:  ن. (ن2 + 1) / 2.

تعد المربعات السحرية من أقدم الأعمال الرياضية المسلية، وإن كان استخدامها  في البداية للسحر والشعوذة. ويعود تاريخ ظهورها إلى عام 2200 قبل الميلاد في الصين حيث عرف المربع من المرتبة الثالثة (المسمى Lo Shu)، ذو الثابت السحري 15:

13

2

3

16

8

11

10

5

12

7

6

9

1

14

15

4

في حين ظهر المربع السحري من المرتبة الرابعة، ذو الثابت السحري 34 للمرة الأولى على الزاوية اليمينية العلوية من إحدى لوحات الرسام الألماني ألبرخت دورر Albrecht Dürer، والمسماة Melencolia I  عام 1514. وقد سجل الفنان هذا العام على السطر الأخير من المربع كجزء منه:

انتشر الاهتمام بالمربعات السحرية من الصين إلى اليابان، ثم إلى الهند، ثم إلى العالم العربي والإسلامي، ثم إلى أوربا في العهد البيزنطي.

 مثال (1): المربعات السحرية الآتية:

25

16

14

7

3

9

2

23

20

11

18

15

6

4

22

1

24

17

13

10

12

8

5

21

19

من المرتبة الخامسة

14

11

7

2

4

5

9

16

1

8

12

13

15

10

6

3

من المرتبة الرابعة

6

7

2

1

5

9

8

3

4

من المرتبة الثالثة

مجموع عناصر أي سطر، أو عمود،  أو قطر (في مربع المرتبة الخامسة) هو 65.

مجموع عناصر أي سطر، أو عمود، أو قطر (في مربع المرتبة الرابعة) هو 34.

مجموع عناصر أي سطر، أو عمود، أو قطر (في مربع المرتبة الثالثة) هو 15.

عدد المربعات السحرية من كل مرتبة

من الأسئلة المهمة التي تطرح حول المربعات السحرية:

 كم هو عدد المربعات السحرية من كل مرتبة؟ أو بتعبير آخر:

 كم عدد المربعات السحرية المختلفة ـ من المرتبة ن ـ التي يمكن إنشاؤها؟ 

   إن عدد المربعات السحرية المختلفة التي يمكن إنشاؤها من المرتبة الثالثة هو ثمانية فقط، وهي:  

8

1

6

 

4

9

2

 

2

9

4

 

6

1

8

3

5

7

3

5

7

7

5

3

7

5

3

4

9

2

8

1

6

6

1

8

2

9

4

 

2

7

6

 

6

7

2

 

8

3

4

 

4

3

8

9

5

1

1

5

9

1

5

9

9

5

1

4

3

8

8

3

4

6

7

2

2

7

6

جميع المربعات السحرية من المرتبة الثالثة

أما عدد المربعات السحرية المختلفة التي يمكن إنشاؤها من المرتبة الرابعة فهو 880، ثم يزداد العدد بسرعة هائلة؛ ليصبح من الأعداد الفلكية. فمثلاً من أجل المرتبة الخامسة يصبح 275305224، أما السادسة فهو 775399 1 × 10 19 وهكذا.

طريقة إنشاء المربعات السحرية

هناك طرق كثيرة لإنشاء المربعات السحرية، وقد نشر العديد من الرياضيين والهواة كثيراً من هذه الطرق في كتيبات، أو على صفحات الإنترنت. والمقصود بالطريقة هنا: هي كيفية توزيع الأعداد  1 ، 2 ، 3 ،  000 ، ن2 على خلايا المربع ذات العدد ن2.

مثال (2): لإنشاء مربع المرتبة الثالثة، ذي الثابت السحري 15، يقسم  المجموع على المرتبة  15 ÷ 3 = 5 ونضعها في المركز، ثم نضع العدد 1 في أي مكان فارغ (غير زاوية)، ثم العدد 2 في أي زاوية بعيدة عن 1، والباقي يمكن متابعته بكل سهولة:

إن للعدد واحد أربعة مواضع ممكنة (غير زاويّة)، يقابل كل منها موضعين للعدد 2، أما العدد 5 فمكانه في الوسط دوماً، ومن ثم فالحالات الكلية الممكنة هي ثمان فقط.

 

1

 

 

 

1

 

 

6

1

8

 

5

 

 

5

 

7

5

3

 

 

 

2

 

 

2

9

4

أما لإنشاء مربع المرتبة الرابعة، ذي الثابت السحري 34، فنبدأ (مثلاً) من الزاوية العلوية اليسارية، ونكتب الأعداد من 1 إلى  16 بالتتالي (من اليسار إلى اليمين)، ثم نعكس ترتيب عناصر القطرين، فنحصل على المربع المطلوب:    

4

3

2

1

 

13

3

2

16

8

7

6

5

8

10

11

5

12

11

10

9

12

6

7

9

16

15

14

13

1

15

14

4

المربع السحري من المرتبة الرابعة

إنشاء المربعات السحرية ذات المرتبة الفردية 

 وبصورة عامة فإن إحدى هذه الطرق - التي تصلح لإنشاء أي مربع من مرتبة فردية  ن - تعود إلى عام 1693، وتنسب إلى  سيمون دولا لوبير Simon de la Loubère الذي كان سفيراً لفرنسا (في عهد الملك لويس الرابع عشر Louis XIV)  في سيام  Siam.

وفي عام 1929 قام لهمر D.N.Lehmer بتطوير طريقة سيمون وتعميمها؛ ليقدم طريقة الخطوة المنتظمة uniform step method.

ويمكن تلخيص خوارزمية هذه الطريقة بالإجراءات التالية:

1)  يتم اختيار عددين  ب ، ج  أصغر من  ن، وأوليين نسبياً مع ن.

2)  تعين كل خلية من خلايا المربع بإحداثياتها   (س، ع)، حيث س يدل على عدد الخلايا من اليسار إلى اليمين، ع يدل على عدد الخلايا من الأسفل إلى الأعلى.

3)  يوضع العدد 1 في خلية ما، ولتكن إحداثياتها (ك، ل).

4)  يوضع العدد 2 في الخلية (ك + ب، ل + ج)، ثم العدد 3 في الخلية (ك + 2ب، ل + 2ج)، وهكذا…، باتخاذ الخطوة الثابتة (ب، ج) أساساً للانتقال، مع الأخذ بعين الاعتبار أن الجمع ك + ط ب، ل + ط ج يتم بحيث تبقى الأعداد داخل المربع، وذلك بإسقاط ن من المجموع كلما زاد المجموع عن ن.

5) إن العدد ن + 1 سيقع على الخلية ( ك + ن ب ، ل + ن ج) التي هي الخلية (ك، ل) نفسها المشغولة بالعدد 1. ومن ثم تخفق الخطوة الثابتة (ب، ج) في هذه النقطة، لأنها تضع عددين في خلية واحدة. لذا يتم اختيار خطوة جديدة مساعدة (د، ق)، ويوضع العدد ن + 1 في الخلية (ك + د، ل + ق) حيث د، ق تساعد على الوصول إلى خلية خالية.

6) يعاد استخدام الخطوة الثابتة (ب، ج) ثانية أساسًا للانتقال ويوضع العدد ن + 2 في الخلية (ك +د + ب، ل + ق + ج)، ثم العدد ن + 3 في الخلية (ك + د +2ب ، ل + ق + 2ج)، وهكذا..

28

33

38

43

6

11

16

15

27

32

37

49

5

10

9

21

26

31

36

48

4

3

8

20

25

30

42

47

46

2

14

19

24

29

41

40

45

1

13

18

23

35

34

39

44

7

12

17

22

7)  العدد 2 ن + 1 يوضع في الخلية (ك + 2 د ، ل + 2 ق)، ثم يعاد استخدام الخطوة الثابتة. وهكذا دواليك حتى امتلاء كل الخلايا.

إذا كان كل من  الأعداد  ب، ج، د، ق،  ب ق - ج د أولياً نسبياً مع ن، فإن هذه الطريقة سوف تملأ المربع، ويكون مجموع عناصر أي سطر أو أي عمود مساوياً الثابت السحري. ويكون مجموع عناصر كل من القطرين مساوياً الثابت السحــري إذا تحقــق الشرطــان: 2 ك = (ب + د + 1) قياس ن، 2 ل = (ج + ق + 1) قياس ن؛ وبذا يتم الحصول على مربع سحري من المرتبة الفردية ن. (قياس ن أي باقي القسمة على ن).

مثال (3): بفرض ن = 7، ( ك ، ل ) = (5 ، 2)، (ب ، ج) = (1 ، 1)، (د، ق) = (1، 2) فإن 2 ك = (ب + د + 1) قياس 7 = 3، وكذلك فإن: 2 ل = (ج + ق + 1)  قياس 7 = 4، ومن ثم يمكن بتطبيق طريقة الخطوة الثابتة الوصول إلى المربع السحري من المرتبة السابعة، ذي الثابت السحري 175:

إنشاء المربعات السحرية ذات المرتبة الزوجية 2ن ؛ (ن > 1)

يجدر بالذكر أنه لا يوجد مربع سحري من المرتبة الثانية، ذلك لأن الثابت السحري له سيكون 2× (4 + 1) / 2 = 5، ومتى كتب الواحد في إحدى الخلايا فلن يكون مجموعه مع أحد يساوي 5 سوى 4، والباقي يختلف عن 5.

وفيما يتعلق بإنشاء المربعات السحرية ذات المرتبة الزوجية، يوجد طرق مختلفة لإنشاء المربعات السحرية ذات المرتبة 2(2ن) = 4ن، وأخرى لإنشاء المربعات ذات المرتبة 2(2ن +1) = 4ن + 2 (مثلاً طريقة كونْواي J.H.Conway)، ولكنها أكثر تعقيدًاً من طرق إنشاء المربعات السحرية ذات المرتبة الفردية.

وأقترح فيما يلي طريقة مبسطة لإنشاء المربعات الزوجية.

يمكن تلخيص خوارزمية هذه الطريقة بالإجراءات الآتية:

1) تكتب الأعداد من 1 إلى  ن2 مرتبة من اليسار إلى اليمين، ومن أسفل إلى أعلى، على أسطر مصفوفة المربع فنجد أن مجموع عناصر أي من القطرين يساوي الثابت السحري ن. (ن2 + 1 ) / 2.

2) يعكس ترتيب عناصر كل من القطرين. ثم تثبت عناصرهما، ولا تحرك إطلاقاً.

3) تجمع عناصر كل عمود على حدة، فيلاحظ تناظر الأعمدة من حيث الزيادة والنقصان عن الثابت السحري.

4) يتم التبادل بين بعض العناصر المتناظرة في كل عمودين متناظرين للوصول إلى الثابت السحري، وذلك حتى الانتهاء من كل الأعمدة.

5) تجمع عناصر كل سطر على حدة، فيلاحظ تناظر الأسطر من حيث الزيادة والنقصان عن الثابت السحري.

6) يتم التبادل بين بعض العناصر المتناظرة في كل سطرين متناظرين للوصول إلى الثابت السحري؛ وذلك حتى الانتهاء من كل الأسطر.

مثال (3): المربعات الآتية مربعات سحرية من مراتب زوجية:

1

7

62

60

61

59

2

8

16

10

51

53

52

54

15

9

41

47

19

21

20

22

42

48

40

34

30

28

29

27

39

33

32

26

38

36

37

35

31

25

17

23

43

45

44

46

18

24

56

50

11

13

12

14

55

49

57

63

6

4

5

3

58

64

الثابت السحري  260

1

15

14

4

12

6

7

9

8

10

11

5

13

3

2

16

الثابت السحري 34

1

5

34

33

32

6

25

8

10

27

11

30

24

20

15

16

23

13

18

17

21

22

14

19

12

26

28

9

29

7

31

35

3

4

2

36

الثابت السحري 111

1

99

98

7

5

6

94

93

92

10

90

12

83

14

15

86

17

88

19

81

80

29

23

27

26

75

74

28

72

71

61

39

38

34

36

65

37

63

62

70

60

52

58

44

45

46

47

43

59

51

50

42

48

54

55

56

57

53

49

41

31

69

68

64

66

35

67

33

32

40

30

79

73

77

76

25

24

78

22

21

11

82

13

87

85

16

84

18

89

20

91

2

3

97

96

95

4

8

9

100

الثابت السحري 505

ويمكن انطلاقًا من مربع سحري ما إنشاء مربع سحري جديد،  ليس من الضروري أن تكون عناصره أعدادًا متتالية. مثلاً من المربع الصيني  Lo Shu يمكن كتابة المربع الجديد:

39

4

53

46

32

18

11

60

25

الذي ثابته السحري 96. حيث استبدل بالمتتالية الحسابية 1، 2، 3، ...، 9 التي أساسها (1) المتتالية الحسابية 4، 11، 18، …، 53 التي أساسها 7.

كما يمكن البرهان على  أنه إذا ضربت عناصر مربع سحري من المرتبة ن، ثابته السحري ص، بعدد ط؛ نحصل على مربع سحري جديد ، ثابته السحري ط . ص. وإذا جُمعت مصفوفتا مربعين سحريين من المرتبة ن ، حيث الثابت السحري للمربع الأول   ص1، والثابت السحري للمربع الثاني ص2؛ حصلنا على مربع سحري جديد من المرتبة ن، ثابته السحري يساوي ص1 + ص2.

مثال (4): إن مجموع المربعين السحريين الأول والثاني يعطي المربع السحري الثالث:

 

39

4

53

 

6

1

8

 

45

5

61

46

32

18

7

5

3

53

37

21

11

60

25

2

9

4

13

69

29

    الثابت السحري 96          الثابت السحري 15       الثابت السحري 111 

أنور توفيق اللحام

 

 مراجع للاستزادة:

 

- W.W.R. BALL¨. and  H.S.M  COXETER¨. Magic Squares  (New York: Dover¨ 1987).

- J.L-.CHABERT¨. (Ed.¨). Magic Squares (New York: Springer-Verlag¨ pp.49-81¨ 1999).

 




التصنيف : الرياضيات و الفلك
النوع : علوم
المجلد: المجلد الثامن عشر
رقم الصفحة ضمن المجلد : 338
مستقل

آخر أخبار الهيئة :

البحوث الأكثر قراءة

هل تعلم ؟؟

للحصول على اخبار الموسوعة

عدد الزوار حاليا : 35
الكل : 4840857
اليوم : 3570

كاشنيتس (ماري لويزه-)

كاشنيتس (ماري لويزه ـ) (1901 ـ 1974)   ولدت الكاتبة ماري لويزه كاشنيتس Marie Luise Kaschnitz في مدينة كارلسروه Karlsruhe، وتُوفِّيت في روما. أمضت سني طفولتها في بوتسدام Potsdam وبرلين، وعملت بعد إتمام تعليمها في المدرسة الثانوية بائعة كتب في ڤايمار، ثم في مونيخ، وأخيراً في روما حيث تعرفت الرجل الذي أصبح زوجها فيما بعد، وهو عالم الآثار غويدو فون كاشنيتس Guido von Kaschnitz، ورافقته بعد الزواج في أسفاره الدراسية المختلفة إلى اليونان وبلدان الشرق وشمالي إفريقيا وتركيا.

المزيد »