الهندسة الفراغية

هندسه فراغيه

Solid geometry - Géométrie des solides / Géométrie dans l’espace

الهندسة الفراغية

الهندسة الفراغية solid geometry فرع من الرياضيات يبحث في خواص الأشكال الهندسية في فضاء ثلاثي الأبعاد. ففي هذا الفضاء يمكن تعيين عدد غير منتهٍ من المستويات بحيث يمر مستوٍ واحد فقط من أي ثلاث نقط غير واقعة على استقامة واحدة. ويعد المستوي ممتداً إلى ما لانهاية في جميع الاتجاهات الواقعة عليه. فالمستوي يفصل الفضاء إلى منطقتين بحيث لا يمكن لأي مستقيم يصل بين نقطة من الأولى إلى نقطة من الثانية إلا ويكون قاطعاً للمستوي في نقطة واحدة ولا يمكن أن يقطعه في نقطتين، وإلا انطبق على المستوي نفسه.

ـ السطح المنشوري (الموشوري): هو السطح المتولد من حركة مستقيم موازٍ لنفسه ويستند إلى مضلع غير واقع في مستويه.

	الشكل (1)

بفرض ب جـ د هـ مضلعاً والمستقيم ب بَ غير واقع في مستويه، إذا تحرك هذا المستقيم مع بقائه موازياً لنفسه وظل مستنداً إلى المضلع، فإنه يولد سطحاً منشورياً. (يسمى ب بَ مولد السطح، ويسمى المضلع ب جـ د هـ دليل السطح.)

ـ المجسمات: لنبدأ من أحد المجسمات البسيطة وهو المنشور (الموشور): نحصل على منشور بقطع السطح المنشوري بمستويين متوازيين، والاقتصار على الحيز الذي يحده السطح المنشوري والمستويان المتوازيان اللذان قطعاه. فهذا المجسم مكون من قاعدتين متوازيتين عليا وسفلى هما مضلعان طبوقان، وأوجهه الجانبية هي متوازيات أضلاع. (الشكل-1) وأبسط شكل للمنشور هو المكعب، قاعدتاه مربعان وأوجهه الجانبية هي أيضاً مربعات، وكلها طبوقة، فإذا كان ل هو طول ضلع كل من هذه المربعات تكون مساحة سطحه الخارجي كله 6ل²، أما حجمه فيساوي ل³.

ويلي المكعب متوازي المستطيلات، وهو منشور قاعدته مستطيل ومولده عمودي على القاعدة، وحجمه يساوي جداء طوله في عرضه في ارتفاعه.

وبوجه عام: حجم أي منشور يساوي جداء مساحة القاعدة في الارتفاع، (حيث الارتفاع هو طول العمود المشترك بين القاعدتين). أما السطح الخارجي فيحسب بجمع مساحات أوجهه كلها.

الهرم: يتكون من قاعدة مضلعة الشكل. وأوجهه الجانبية مثلثات لها رأس مشترك هو رأس الهرم. (الشكل-2).

الهرم الثلاثي: هو أبسط الأهرامات، وقاعدته مثلث (الشكل-3).

الشكل (2)	الشكل (3)

حجم الهرم الثلاثي يساوي ثلث مساحة القاعدة في الارتفاع. لأن كل منشور ثلاثي يمكن تقسيمه إلى ثلاثة أهرامات ثلاثية متكافئة.

ولما كان بالإمكان تجزئة أي هرم إلى أهرام ثلاثية، كان حجم أي هرم يساوي أيضاً ثلث مساحة القاعدة في الارتفاع.

السطح الأسطواني: هو كالسطح المنشوري إلا أن دليله ل منحنٍ بدلاً من المضلع (الشكل-4).

الشكل (4)

الأسطوانة: هي في الحقيقة منشور تحولت قاعدته المضلعة إلى منحنٍ مغلق. فحجم الأسطوانة يساوي جداء مساحة القاعدة في الارتفاع.

تكون الأسطوانة دورانية إذا كانت قاعدتها دائرة ومولداتها عمودية على مستوي هذه الدائرة. وتتولد الأسطوانة الدورانية من دوران مستطيل حول أحد أضلاعه. وإذا قص سطح هذه الأسطوانة وفرد يصبح مستطيلاً طوله هو محيط دائرة القاعدة وارتفاعه هو مولد السطح الأسطواني، فالسطح الجانبي لأسطوانة دورانية يساوي محيط القاعدة في المولد (الشكل-5).

السطح المخروطي: هو السطح المتولد من حركة مستقيم يمر من نقطة ثابتة (مثل م في الشكل-6) ويستند إلى منحنٍ. تسمى م رأس السطح، والمستقيم ب بَ مولده.

المخروط: هو هرم تحولت قاعدته إلى منحنٍ مغلق، فحجم المخروط يساوي ثلث مساحة القاعدة في الارتفاع (الشكل-7).

ويكون المخروط دورانياً إذا كانت قاعدته دائرة ومسقط رأسه على القاعدة هو مركزها. يتولد المخروط الدوراني من دوران مثلث قائم حول إحدى ضلعيه القائمتين، فيتولد سطحه من دوران الوتر.

مساحة السطح الجانبي للمخروط الدوراني تساوي نصف محيط القاعدة في طول المولد.

الكرة: على فرض أن هناك نقطة م وعدداً ر. إن مجموعة نقط الفضاء التي تبعد عن م مسافة ر تشكل سطح كرة مركزها م ونصف قطرها ر.

بفرض ب نقطة في الفضاء تبعد عن مركز الكرة م مسافة ل.

فحين تكون ل = ر تكون النقطة ب على سطح الكرة. وحين تكون ل < ر تكون ب خارج الكرة. وحين تكون ل > ر تكون ب داخل الكرة. فالكرة سطح مغلق.

بفرض س مستقيماً يبعد عن مركز الكرة مسافة ج

 حين تكون ج < ر، تكون جميع نقط هذا المستقيم خارج الكرة. وحين تكون ج = ر يكون المستقيم مماساً للكرة.

أما حين تكون ج > ر فيكون المستقيم قاطعاً للكرة في نقطتين. فيتعين عليه وتر

فإذا كان طرفا قطعة مستقيمة مثل ب جـ واقعين داخل الكرة، تكون القطعة بتمامها داخل الكرة. فالكرة سطح مغلق محدب.

إن وضع مستوي بالنسبة لكرة يتوقف أيضاً على بعد هذا المستوي عن مركز الكرة. فإذا كان هذا البعد أكبر من ر يكون المستوي خارج الكرة، وإذا كان هذا البعد يساوي ر يكون المستوي مماساً للكرة.

أما إذا كان هذا البعد أصغر من ر فيكون المستوي قاطعاً للكرة وفق دائرة مركزها هو مسقط مركز الكرة على المستوي (الشكل-8).

الشكل (8)

وحين يكون المستوي ماراً من مركز الكرة فإنه يقطعها وفق دائرة قطرها هو قطر الكرة، وتوصف بأنها دائرة عظمى، لأنه لا يمكن أن توجد على سطح الكرة دائرة أكبر من ذلك.

مساحة سطح الكرة: لما كانت جميع الكرات متشابهة كانت مساحات سطوح الكرات متناسبة مع مربعات أنصاف أقطارها. أو بتعبير آخر إن النسبة بين مساحة سطح أي كرة ومربع نصف قطرها هي نسبة ثابتة وقد وجد أنها تساوي 4 π، فإذا رمزنا لمساحة سطح الكرة بالرمز سط يكون لدينا

 ومنه سط = 4 π ر²، وهكذا فإن مساحة سطح الكرة هي أربعة أمثال مساحة دائرة عظمى عليها.

لتكن هناك أسطوانة دورانية (الشكل-9) مرسومة خارج الكرة بحيث يكون سطحها الجانبي ملامساً للكرة ومستوي كل من قاعدتيها مماس للكرة. إن مساحة السطح الجانبي لهذه الأسطوانة تساوي مساحة سطح الكرة؛ لأن كلاً منهما يساوي 4 π ر².

الشكل (9)

المنطقة الكروية: هي منطقة من سطح الكرة محصورة بين مستويين متوازيين قاطعين للكرة (الشكل-10).

الشكل (10)

إن مساحة هذه المنطقة تساوي مساحة المنطقة المقابلة لها من السطح الأسطواني التي ارتفاعها هو ارتفاع المنطقة الكروية أي ل إذاً مساحتها تساوي 2 π ر ل.

 ملاحظة: يُستفاد من هذه العلاقة بين الكرة والأسطوانة في رسم خرائط مسطحة للكرة الأرضية.

القبة الكروية: هي منطقة كروية إحدى قاعدتيها هي مستوٍ مماس للكرة.

حجم الكرة: إذا جزئ سطح الكرة إلى أجزاء صغيرة يصبح انحناء الكرة في كل جزء منها ضعيفاً بحيث يمكن عد هذا الجزء مستوياً، ومن ثم يمكن عده قاعدة لمخروط رأسه في مركز الكرة. فحجم كل من هذه الأهرامات يساوي ثلث مساحة القاعدة في الارتفاع. والارتفاع كما يلاحظ هو- في كل الأهرامات - نصف قطر الكرة. فللحصول على حجم الكرة تجمع مساحات قواعد الأهرامات كلها فيحصل على سطح الكرة 4 π ر² وثم يضرب بثلث نصف القطر (1/3)ل. فحجم الكرة يساوي (4/3) π ر³.

القطاع الكروي هو جزء من الكرة قاعدته قبة كروية ورأسه مركز الكرة (الشكل-11).

الشكل (11)

يُحسب حجم هذا القطاع بالطريقة نفسها التي اتبعت في حساب حجم الكرة أي بتجزئة القاعدة إلى أجزاء صغيرة يمكن عدها قواعد لمخاريط رأسها مشترك في مركز الكرة (فارتفاعها المشترك هو ر) ومجموعها هو مساحة سطح القبة، فحجم القطاع: (1/3) (2 π ر. ل. ر) = (2/3) π ر² ل.

حجم القبة الكروية: لحساب حجم القبة الكروية ب جـ د لَ يجب أن يحسب أولاً حجم القطاع الكروي، ثم يطرح منه حجم المخروط الذي قاعدته هي قاعدة القبة وارتفاعه م هـ حيث هـ هي مركز قاعدة القبة وهي مسقط مركز الكرة م على القاعدة.

محمد وائل الأتاسي

-   NATHAN ALTSHILLER COURT , Modern Pure Solid Geometry (Chelsea Pub. Co. 2nd ed 1979).

التصنيف : الرياضيات و الفلك

النوع : علوم

المجلد: المجلد الواحد والعشرون

رقم الصفحة ضمن المجلد : 618

آخر أخبار الهيئة :

معجم المصطلحات

الأطلس الجغرافي

البحوث الأكثر قراءة

اصدارات الموسوعة العربية

أسماء الباحثين

هل تعلم ؟؟

• - هل تعلم أن الأبلق نوع من الفنون الهندسية التي ارتبطت بالعمارة الإسلامية في بلاد الشام ومصر خاصة، حيث يحرص المعمار على بناء مداميكه وخاصة في الواجهات

• - هل تعلم أن الإبل تستطيع البقاء على قيد الحياة حتى لو فقدت 40% من ماء جسمها ويعود ذلك لقدرتها على تغيير درجة حرارة جسمها تبعاً لتغير درجة حرارة الجو،

• - هل تعلم أن أبقراط كتب في الطب أربعة مؤلفات هي: الحكم، الأدلة، تنظيم التغذية، ورسالته في جروح الرأس. ويعود له الفضل بأنه حرر الطب من الدين والفلسفة.

• - هل تعلم أن المرجان إفراز حيواني يتكون في البحر ويتركب من مادة كربونات الكلسيوم، وهو أحمر أو شديد الحمرة وهو أجود أنواعه، ويمتاز بكبر الحجم ويسمى الش

• هل تعلم أن الأبسيد كلمة فرنسية اللفظ تم اعتمادها مصطلحاً أثرياً يستخدم في العمارة عموماً وفي العمارة الدينية الخاصة بالكنائس خصوصاً، وفي الإنكليزية أب

• - هل تعلم أن أبجر Abgar اسم معروف جيداً يعود إلى عدد من الملوك الذين حكموا مدينة إديسا (الرها) من أبجر الأول وحتى التاسع، وهم ينتسبون إلى أسرة أوسروين

• - هل تعلم أن الأبجدية الكنعانية تتألف من /22/ علامة كتابية sign تكتب منفصلة غير متصلة، وتعتمد المبدأ الأكوروفوني، حيث تقتصر القيمة الصوتية للعلامة الك

شراء النسخة الورقية