الهندسة الوصفية

هندسه وصفيه

Descriptive geometry - Géométrie descriptive

الهندسة الوصفية

الهندسة الوصفية descriptive geometry علم يبحث في طرائق تمثيل representation الأجسام والأشكال الفراغية والمنشآت الهندسية بإسقاطها projection على مستوٍ واحد (إعداد المخططات الهندسية)، إذ يمكن بهذه المخططات تعيين الصفات الهندسية للعناصر الممثلة بشكل تام ودقة عالية.

لقد شُيِّدت قديماً المنشآت الهندسية الضخمة كالقلاع والأهرام وغيرها برسومات توضيحية بسيطة. ثم تطورت هذه الرسومات تدريجياً بجهود عدد كبير من العلماء والمهندسين، وقد غدت الهندسة الوصفية علماً مستقلاً في أواخر القرن الثامن عشر، عندما وضع المهندس الفرنسي الكبير كاسبار مونج[ر] (1746-1818) أسسها، فظهر أول مؤلف له في عام 1798.

طرائق الإسقاط والتمثيل الهندسي:

يستخدم في الهندسة الوصفية نوعان من الإسقاط:

1- الإسقاط المركزي central projection

مستلزماته: مركز الإسقاط (S) ومستوي الإسقاط (P). يبين الشكل (1) إسقاط النقطة.

	الشكل (1) الإسقاط المركزي للنقطة

2- الإسقاط المتوازي parallel projection

مستلزماته: منحى الإسقاط (Δ)، ومستوي الإسقاط(P) .

ويقسم الإسقاط إلى نوعين:

قائم: عندما Δ⊥P، و مائل: Δ غير عمودية على (P). يبين الشكل (2) إسقاط النقطة.

	الشكل (2) الإسقاط المتوازي للنقطة

طرائق التمثيل الهندسية

1- المنظور المركزي perspective:

وهو المسقط المركزي للجسم، ويعطي صورة واضحة عنه كالصورة «الفوتوغرافية» (الشكل-3).

	الشكل (3) المنظور المركزي لمكعب

2- المنظور الإكسنومتري axonometric projection:

وهو المسقط المتوازي القائم أو المائل للجسم على مستوٍ واحد، وهذا المستوي يميل على الاتجاهات الرئيسة الثلاثة للجسم، ولا يوازي منحى الإسقاط أياً من هذه الاتجاهات (الشكل-4).

	الشكل (4) المنظور الإكسنومتري

3ـ الإسقاط المرقم indexed projection:

المسقط المرقم هو مسقط قائم للمنشأة الهندسية على مستوي الإسقاط (H) الذي يؤخذ عادة أفقياً، ويضاف بجانب مسقط كل نقطة رقم يدل على بعدها عن مستوي الإسقاط (الراقم).

4- هندسة مونج Mongean Projection:

وهي تبحث في الموضوعات الآتية:

- تمثيل النقطة والمستقيم والمستوي.

- الأوضاع المشتركة للمستقيمات والمستويات.

- طرائق تغييرالمساقط (تبديل مستويات الإسقاط، تدوير الأشكال، تطبيق الأشكال المستوية).

أولاً - تمثيل النقطة representation of a point

1- مخطط النقطة على مستويين متعامدين:

يقسم مستويا الإسقاط المتعامدان، الأفقي (H) والجبهي (V) الفراغ إلى أربعة أرباع (I, II, III, IV).

الفصل المشترك (XO) يسمى بخط الأرض (الشكل 5- آ). توضع النقطة (A) في أحد الأرباع وليكن (I) ثم تسقط إسقاطاً قائماً على مستويي الإسقاط، فينتج المسقط الأفقي (a) على (H) والمسقط الجبهي (a`) على (V)، Aa = z الراقم، وAa`= y الابتعاد.

بتدوير المستوي (H) حول (XO) حتى ينطبق على (V)، يصبح المسقطان (a) و(a`) على استقامة واحدة (a a<sub>x</sub> a`) عمودية على (XO) تسمى خط التداعي الشاقولي. ويسمى الرسم المبين بالشكل (5- ب) والمؤلف من خط الأرض (xo) وخط التداعي (a a_x a`) والمسقطين a) و(a`) بمخطط النقطة (A).

2- مخطط النقطة على ثلاثة مستويات:

لزيادة إيضاح مخطط النقطة يُضاف إلى مجموعة المستويين (H, V) مستوٍ ثالث جنبي (W)، وهو يتعامد مع كل منهما، فينقسم الفراغ إلى ثمانية أثمان (الشكل-6)، ثم توضع النقطة (A) في أحد الأثمان وليكن (I) كما في الشكل (7- أ)، ثم تسقط على المستويات (H, V, W) كما في الحالة السابقة، فالمخطط الناتج (الشكل 7- ب) يختلف عن المخطط السابق بإضافة المسقط الجنبي (a``) إليه، وهو يقع مع (a`) على خط تداعٍ أفقي واحد (a` a<sub>z</sub> a``)، ويتعين بالإحداثي (y). ويمكن استنتاجه بدلالة المسقطين (a, a`) كما في الشكل (5-أ).

الشكل (6) مستويات الإسقاط الثلاثة	الشكل (7)

ثانياً - ثيل الخط المستقيم representation of straight line

1- مخطط الخط المستقيم:

يتعين الخط المستقيم بنقطتين منه مثل (A) و (B)، ويتعين مسقطه الأفقي (a b) بالمسقطين الأفقيين لهاتين النقطتين، ويتعين الجبهي (a` b`) بمسقطيهما الجبهيين (الشكل8-آ). يبين الشكل (8-ب) مخطط المستقيم (AB)، وقد تم استنتاج مسقطه الجنبي (a`` b``) بدلالة المسقطين (a b, a` b`).

2- أنواع المستقيمات:

يقسم المستقيم في الهندسة الوصفية إلى نوعين: كيفي وخاص.

1- المستقيم الكيفي:

مستقيم لا يوازي أياً من مستويات الإسقاط (H, V, W) ولا يتعامد مع أيٍ منها، بل يميل عليها بالزوايا (α, β, γ) على الترتيب، وإن طول كل مسقط من مساقطه الثلاثة أصغر من طوله الحقيقي (AB) كما في الشكل (8-ب).

2- المستقيم الخاص:

مستقيم يوازي أحد مستويات الإسقاط (الشكل-9)، أو يتعامد مع أحدها (الشكل-10).

الشكل (9) المستقيم الموازي لأخد مستويات الإسقاط	الشكل (10) المستقيم المتعامد مع أحد مستويات الإسقاط

3- تعيين الطول الحقيقي للمستقيم وزوايا ميله على مستويات الإسقاط:

يتعين الطول الحقيقي للمستقيم (AB) وزوايا ميله (α, β, γ) على المستويات (H, V, W) على الترتيب كما يأتي:

المستقيم (AB`) الموازي لـ

(الشكل 8 أ).

وعلى المخطط (الشكل-8 ب)، bB₁⊥ ab وطوله (Δz)، والمثلث (abB₁) قائم الزاوية وفيه: AB = aB₁ (الطول الحقيقي)، وتظهر فيه الزاوية (α).

وتجرى عملية مماثلة للمستوي (V)،

 (الشكل-8 آ) وعلى المخطط (الشكل-8 ب)، a`A<sub>1</sub>⊥ a`b` وطوله (Δy)، والمثلث (a`b` A<sub>1</sub>) قائم الزاوية وفيه AB = A<sub>1</sub>b` (الطول الحقيقي) وتظهر فيه الزاوية (β)، وبالمثل يمكن تعيين الطول الحقيقي (AB) وزاويته (γ) على المسقط الجنبي (الشكل-8 ب).

4- وقوع نقطة على مستقيم:

تقع نقطة على مستقيم إذا وقع مسقطاها على مسقطيه من الاسم نفسه، ووقع مسقطاها على خط تداعٍ شاقولي واحد. النقطة (n`, n) تقع على (ab, a`b`)، في حين لا تقع عليه النقطتان (e, e`)، (f, f`)، الشكل (11).

5- آثار المستقيم على مستويات الإسقاط:

أثر المستقيم هو نقطة تقاطعه مع أحد مستويات الإسقاط، يوجد للمستقيم الكيفي (AB) ثلاثة آثار (الشكل-12 آ) وهي: (H, V, W)، وكل منها ينتج من تقاطع (AB) مع مستوي الإسقاط من الاسم نفسه، ويبين الشكل (12 ب) مخطط (AB) ومساقط آثاره الثلاثة.

	الشكل (12) آثار المستقيم الكيفي

6- أوضاع المستقيمين في الفراغ:

1- المستقيمان المتوازيان:

مستقيمان يقعان في مستوٍ واحد ومسقطاهما من الاسم نفسه متوازيان (الشكل-13 أ)، أو مسقطان متوازيان والآخران منطبقان (الشكل-13 ب).

	الشكل (13) المستقيمان المتوازيان

2- المستقيمان المتقاطعان:

مستقيمان يقعان في مستوٍ واحد، ولهما نقطة مشتركة واحدة، وكل مسقط من مسقطيها هو نقطة تقاطع مسقطيهما من الاسم نفسه (الشكل-14).

3- المستقيمان الفراغيان (المتخالفان):

مستقيمان لا يمكن أن يقعا في مستوٍ واحد (الشكل-15).

ثالثاً - تمثيل المستوي representation of a plane

1- مخطط المستوي:

يتقاطع المستوي (P) مع مستويات الإسقاط (H, V, W) بالفصول المشتركة(P_H , P_V , P_W) التي تسمى بآثاره (الشكل-16)، وهو يتقاطع مع المحاور (X, Y, Z) بالنقاط (P_x , P_y , P_z) على الترتيب مشكلة مثلث الآثار (P_x P_y Pz)، وكل أثرين يتقاطعان في أحد رؤوسه.

يُمثل المستوي بالمسقطين الأفقي والجبهي لثلاث نقاط غير واقعة على استقامة واحدة، أو لمستقيم ونقطة خارجة عنه، أو لمستقيمين متقاطعين أو متوازيين، وجميع هذه الحالات تؤول إلى حالة واحدة هي حالة المستقيمين المتقاطعين أو المتوازيين الشكل (17-أ، ب).

كما يُمثل المستوي بأثرين من آثاره الثلاثة، (الشكل-17 ج)، فالمسقط الجبهي (P_v) للأثر الجبهي ينطبق على نفسه ومسقطه الأفقي ينطبق على خط الأرض، والمسقط الأفقي (Ph) للأثر الأفقي ينطبق على نفسه، ومسقطه الجبهي ينطبق على خط الأرض. ويمثل المستوي أيضاً برؤوس مثلث الآثار P (P_x , P_y, P_z)، كما يمثل المستوي بخط ميله الأعظم كما سيرد لاحقاً.

2- أنواع المستويات:

يقسم المستوي إلى نوعين: كيفي وخاص.

1- المستوي الكيفي: لا يوازي أحداً من مستويات الإسقاط (H, V, W) ولا يتعامد مع أيٍّ منها بل يميل عليها بالزوايا (α₁, β₁, γ₁) على الترتيب كما في الشكل (16).

2- المستوي الخاص: يأخذ وضعاً خاصاً بالنسبة لأحد مستويات الإسقاط، أي يوازي أحدها (الشكل-18) أو يتعامد مع أي منها (الشكل-19).

الشكل (18) حالة التوازي	الشكل (19) حالة التعامد

3-3- وقوع المستقيم والنقطة في المستوي:

1- يقع مستقيم في مستوٍ إذا اشترك معه بنقطتين. المستقيم (11`, 12`) يقع في المستوي (abc, a`b`c`) كما في (الشكل-20 أ). والمستقيم (ab, a`b`) يقع في المستوي (P) لوقوع أثره الجبهي (v, v`) على (P_v) وأثره الأفقي (h, h`) على (P_h) كما في الشكل (20 ب).

2- تقع النقطة على مستوٍ إذا وقعت على مستقيم من هذا المستوي. فالنقطة (m, m`) تقع في المستوي (abc, a`b`c`) الشكل (20 أ). والنقطة (n, n`) في المستوي (P) الشكل (20 ب).

4- المستقيمات الرئيسة في المستوي:

1- أفقيات المستوي(H) : مستقيمات تقع في هذا المستوي وتوازي المستوي (H) والأثر (P_H) كما في الشكل (21 أ).

وينتج h`//ox، h// P_h (الشكل-21 ب، ج).

	الشكل (21) أفقيات المستوي

2- جبهيات المستوي (V): مستقيمات تقع في هذا المستوي وتوازي المستوي (V) والأثر (P_v)، ومخططاتها عكس مخططات الأفقيات.

3- خطوط الميل الأعظم للمستوي:

ولها نوعان: أفقية وجبهية.

آ- الأفقية: ويرمز لها بـ (D_H)، وهي تقع في المستوي وعمودية على أفقياته وعلى أثره (P_H) كما في الشكل (22 آ)، وينتج أن d_h⊥ h،d_h⊥ P_h الشكل (22-آ، ب).

ب- الجبهية: ويرمز لها بـ (D_V)، وهي تقع في المستوي وعمودية على جبهياته وعلى أثره (P_V).

4- تعيين المستوي بخط ميله الأعظم:

إذا كان (d_h, d`<sub>h</sub>) معلوماً (الشكل-23)، فتؤخذ عليه نقطة ما مثل (a, a`) ويرسم منها مستقيم أفقي (h, h`)،

حيث إن h`//x، d<sub>h</sub>⊥ P<sub>h</sub>، فالمستوي الناتج (hh`, d_hd`_h) هو المطلوب.

5- تعيين زاويتي مستوٍ كيفي مع مستويي الإسقاط:

إن الزاوية (α₁) التي يصنعها (D_H) مع المستوي (H) هي الزاوية نفسها التي يصنعها المستوي (P) مع المستوي (H)، ولتعيينها يُرسم في (P) خط الميل (D_H) وتُعين الزاوية (α₁) كما في الشكل (24-أ). وبمناقشة مماثلة يُرسم في(P)  خط ميل (D_V)وتعين زاويته  (β₁)كما في الشكل (24-ب) فتكون هي زاوية (P) مع (V).

	الشكل (24) تعيين زاويتي مستوٍ مع مستويي الإسقاط

وليد خرطبيل

- محمود وردة، وليد خرطبيل، فاروق عادلي، الوجيز في الهندسة الوصفية (منشورات جامعة دمشق، 1982).

التصنيف : الرياضيات و الفلك

النوع : علوم

المجلد: المجلد الواحد والعشرون

رقم الصفحة ضمن المجلد : 650

آخر أخبار الهيئة :

معجم المصطلحات

الأطلس الجغرافي

البحوث الأكثر قراءة

اصدارات الموسوعة العربية

أسماء الباحثين

هل تعلم ؟؟

• - هل تعلم أن الأبلق نوع من الفنون الهندسية التي ارتبطت بالعمارة الإسلامية في بلاد الشام ومصر خاصة، حيث يحرص المعمار على بناء مداميكه وخاصة في الواجهات

• - هل تعلم أن الإبل تستطيع البقاء على قيد الحياة حتى لو فقدت 40% من ماء جسمها ويعود ذلك لقدرتها على تغيير درجة حرارة جسمها تبعاً لتغير درجة حرارة الجو،

• - هل تعلم أن أبقراط كتب في الطب أربعة مؤلفات هي: الحكم، الأدلة، تنظيم التغذية، ورسالته في جروح الرأس. ويعود له الفضل بأنه حرر الطب من الدين والفلسفة.

• - هل تعلم أن المرجان إفراز حيواني يتكون في البحر ويتركب من مادة كربونات الكلسيوم، وهو أحمر أو شديد الحمرة وهو أجود أنواعه، ويمتاز بكبر الحجم ويسمى الش

• هل تعلم أن الأبسيد كلمة فرنسية اللفظ تم اعتمادها مصطلحاً أثرياً يستخدم في العمارة عموماً وفي العمارة الدينية الخاصة بالكنائس خصوصاً، وفي الإنكليزية أب

• - هل تعلم أن أبجر Abgar اسم معروف جيداً يعود إلى عدد من الملوك الذين حكموا مدينة إديسا (الرها) من أبجر الأول وحتى التاسع، وهم ينتسبون إلى أسرة أوسروين

• - هل تعلم أن الأبجدية الكنعانية تتألف من /22/ علامة كتابية sign تكتب منفصلة غير متصلة، وتعتمد المبدأ الأكوروفوني، حيث تقتصر القيمة الصوتية للعلامة الك

شراء النسخة الورقية