logo

logo

logo

logo

logo

الخطأ

خطا

Error - Erreur

الخطأ

 

الخطأ error في اللغة: ضِدُّ الصواب؛ وما لم يُتَعمَّد من الفعل.

والخطأ صفة ملازمة للعمل، فلا يخطئ ذاك الذي لا يعمل شيئاً!

والخطأ عنصر غير مضبوط في بعض العمليات الخاصة، كالخطأ في الحساب.

والخطأ في علم الفيزياء: الفرق بين القيمة الحقيقية لمقدارٍ مّا، وقيمته المقيسة أو المحسوبة.

أخطاء المقادير التقريبية

تتصف المقادير التقريبية، دوماً، بشيءٍ من عدم التعيين (الارتياب uncertainty). والاسم التقني لهذا الارتياب هو «الخطأ». ولا تحمل كلمة «خطأ» هنا معنى «إساءة تَصرُّفٍ» أو غلطٍ يمكن الرجوع عنه، لأنَّ هذا الخطأ شيءٌ ملازم دائماً للقيم التقريبية. ويجب فهمه على أنّه انحراف عن القيمة الحقيقية. ومصادر الخطأ متعددة: فهناك خطأ جهاز القياس، وخطأ طريقة القياس، وخطأ المجرِّب، وخطأ قراءة الجهاز... ويعيَّن مقدار الخطأ بما يسمى الخطأَ المطلَق للمقدار التقريبي، والخطأَ النسبي فيه.

1- الخطأ المطلق: الخطأ المطلق في القيمة التقريبية لمقدارٍ ما، هو الفرق بين قيمتيه المضبوطة والتقريبية، أي:

e = X- A

(1)

 حيث يرمز e إلى الخطأ المطلق في القيمة التقريبية A لمقدارٍ ما قيمته المضبوطة X.

ومن العلاقة (1) نجد:

X = A + e

 (2)

 

أي إنّ القيمة المضبوطة X لمقدارٍ ما، تساوي ناتج جمع قيمته التقريبية إلى خطئه المطلق الذي يُرمز إليه أحياناً بالرمز ΔX فيكون:

X = A + e = A + ΔX     

(3)

 

2- الخطأ النسبي: الخطأ النسبي في القيمة التقريبية لمقدارٍ ما، هو نسبة الخطأ المطلق إلى القيمة المضبوطة لهذا المقدار، أي:

X D

@

e

=

r

(4)

X

X

 حيث e وX لهما القيمتان السابقتان.

وفي القياسات الفيزيائية تعيَّن القيمة التقريبية للخطأ المطلق e (أي ΔX) تجريبياً؛ وتكون عادة صغيرة جداً بمقابَلَتها بـ A، ومن ثَم يكون المقداران X و A قريبين جداً أحدهما من الآخَر. وفي حالة القياسات المباشرة والمنفَّذة بعناية، تتعين قيمة الخطأ المطلق، بالتقريب، من «دقة هذا القياس». فمثلاً، دقة قياس الأطوال بالقَدَم القَنَوِيّة caliper تساوي عادة 0.1مم، فإذا استُخدمت الدوّارة اللولبية كانت دقة القياس 0.01مم. وبمقدور المجرِّب الماهر أن يدّعي أنَّ الخطأ المطلق في الحالتين المذكورتين يجب ألاّ يتجاوز 0.1مم و0.01مم على الترتيب.

إشارة أخطاء المقادير التقريبية

في حالة القياسات الفيزيائية لا نستطيع أبداً أن نقرر: أنرتكب الخطأ في جهة إنقاص المقدار المقيس، أم في جهة زيادته؟ لذا يمكن أن تكون الإشارة ΔX و r موجبة أو سالبة:

 DX

±

A

=

X

(5)

 

 

 DX

± @

 DX

 

(6)

A

X

إن العلاقة (5) تَعني أن القيمة الحقيقية للمقدار المقيس تقع في المجال المحدود بالقيمتين: A - ΔX و A + ΔX.

ولما كانت الأخطاء النسبية عديمة الأبعاد دائماً (لأنّها تعيَّن من نسبة مقدارين لهما أبعاد واحدة) فإن معرفة الأخطاء النسبية تسمح بمقابلة دقة قياسات فيزيائية مختلفة في نوعها تمام الاختلاف كقياس الأطوال والكتل والزمن. ثم إنّ الخطأ النسبي يعطي صورة جلية عن جودة القياس، خلافاً للخطأ المطلق. فإذا قِيْس، مثلاً،عدة أطوال (2 و5 و10 سنتيمتر) بقَدَم قنوية دقتها 0.1مم كان الخطأ المطلق في الحالات الثلاث مساوياً 0.1مم؛ أمّا الأخطاء النسبية فتساوي 0.5% و 0.2% و0.1% على الترتيب. ومن الواضح أنَّ القياس الأخير هو الأعلى جودةً (لأنَّ خطأه النسبي هو الأصغر).

ملاحظة: ثمّة صعوبة معينة ناشئة عن استعمال كلمة (دقة)، إذ يُقصد بها في الأغلب الخطأ النسبي. بيد أنّها تعني أحياناً الخطأ المطلق أيضاً! وعندما يُقال إنَّ «الدقة عالية» فالمقصود هو أن الخطأ النسبي صغير!

الأخطاء النظامية والأخطاء العشوائية

1- الأخطاء النظامية: تحدث هذه الأخطاء في اتجاه واحد دائماً. أي إنّه عند إجراء عدة قياسات، تبقى إشارة هذه الأخطاء ثابتة (بسبب حدوث الأخطاء وفق نظام ثابت). ويمكن تقسيم هذه الأخطاء إلى: أخطاء الجهاز؛ أخطاء المجرِّب؛ أخطاء الطريقة؛ أخطاء «خارجية»، فمن أمثلة أخطاء الأجهزة، أن تكون تقسيمات السُّلَّم المدرَّج غير موافقة للقيمة الاسمية لهذه التقسيمات (عدّاد الثواني مثلاً لا يدق الثواني بالضبط). ومهمة الفيزيائي المجرِّب هي تحرّي واستقصاء الأخطاء النظامية وهي مهمة غير يسيرة. ومتى اكتُشفت هذه الأخطاء خرجتْ عن كونها أخطاء، إذ يمكن أخذها في الحسبان وإجراء التصحيح الضروري في نتيجة القياس.

2- الأخطاء العشوائية: وهي أخطاء صغيرة القيمة عادة. وتبين التجربة أنّها تحدث دائماً عند إجراء القياسات الدقيقة. فإذا كُرِّر قياسٌ دقيقٌ ما عدة مرات، فإن النتائج تختلف دائماً بعضها عن بعض ضمن حدود دقة القياسات. وهذا هو السبب في أنه مهما عظُمتْ الدّقة والعناية المبذولة لتنفيذ القياس فإنّه لا يمكن الحصول على القيمة المضبوطة للمقدار المقيس. وينشأ هذا النوع من الأخطاء عن:

أ - عدم التعيين الطبيعي للمقدار المراد قياسه.

ب - وجود «عتبةِ إحساس أو تأثر» وحَدٍّ لأمانة الأجهزة المستعملة.

جـ -  مؤثرات خارجية متغيرة (ارتجاج؛ تغيُّر درجة الحرارة، وغير ذلك). ولا يمكن سلفاً معرفة سبب الخطأ أو قيمته أو إشارته، فهو يحدث عشوائياً، ويخضع - عند تكرار القياس عدداً كبيراً من المرات - لقوانين  الاحتمال.     

أخطاء التوابع والنظرية العامة للأخطاء

1- القياس المباشر وغير المباشر: في القياس المباشر يقارن المقدار المراد قياسه بالوحدة العيارية، إمّا مباشرة أو بوساطة الأجهزة المدرَّجة بالوحدات المطلوبة، كقياس الطول والكتلة والزمن والزاوية وشدة التيار الكهربائي، إلخ... أمّا في القياس غير المباشر فلا يقاس المقدار نفسه، بل مقدار (أو مقادير أخرى) مرتبط به بعلاقة رياضية تابعية (دالِّيَّة). فتُعيَّن الكتلة الحجمية مثلاً لجسمٍ ما، بعد قياس كتلته وحجمه (يقاس الحجم قياساً مباشراً أحياناً، وغير مباشر أحياناً أخرى). والقياسات غير المباشرة أشْيَعُ من المباشرة، ويُلجأ إليها حين يستحيل أو يصعب قياس المقدار المدروس قياساً مباشراً، أو حين يعطي القياس المباشر نتيجةً أقل دقة.

2-  المسائل الأساسية الثلاث في نظرية الأخطاء: الأولى، حساب خطأ التابع (الدّالة) إذا عُلم شكله وأخطاء متحولاته. الثانية، هي المسألة العكسية: حساب أخطاء المتحولات المسموح بها إذا عُلم شكل التابع وخطؤه. الثالثة، إيجاد أفضل الظروف لإجراء القياس بحيث يكون خطأ التابع أصغرياً.

وفيما يلي عرض موجز للمسألة الأولى وحلِّها. من المعلوم أنَّ المقادير الفيزيائية المختلفة مرتبطة فيما بينها بعلاقات متنوعة، كثيراً ما تكون شديدة التعقيد. فكيف يمكن حساب الخطأ في المقدار التابع (الدّالة) y بدلالة أخطاء المقادير التي هي متحولات (متغيرات) مستقلة؟

ليكن y = y (x1, x2,…, xi,xn)

حيث xi ترمز إلى  المقادير الفيزيائية التي يجب قياسها ليصبح بالإمكان حساب القيمة العددية للتابع y .

وعند قياس المقادير xi «نرتكب» بالضرورة بعض الأخطاء التي يؤثر كل منها تأثيراً معيناً في خطأ التابع y. وتكون الأخطاء المطلقة للقياسات صغيرة جداً بمقابلتها بالمقادير المقيسة (حالة القياسات الدقيقة). لذا اصطلح في النظرية الرياضية للأخطاء على النظر إلى الأخطاء المطلقة على أنَّها تزايدات لا متناهية في الصغر، للمقادير xi، مأخوذة بإشارة مزدوجة. ويرمز إليها تَبَعاً لذلك بالرمزالتفاضلي dxi. والخطأ المطلق في التابع y، ناجم عن هذه التزايدات اللا متناهية  في الصغر لمتحولاته، هو أيضاً - بموجب الخاصة الأساسية للتوابع (للدَّوالِّ) المستمرة - مقدار لا متناهٍ في الصغر، يجب أن يرمز إليه بالرمز dy ± ؛ وبذا تكون المعادلة الأساسية  في النظرية الرياضية للأخطاء:

y ± dy = y (x1 ± dx1, x2 ± dx2,…., xn ± dxn)

3- خطأ التابع (الدّالة) لمتحولين مستقلين أو أكثر: إذا كان   y = y (x1, x2)  فيبرهَن أنَّ الخطأ المطلق الحدِّي (ey)L في التابع y هو:

أي يساوي مجموع القيمتين المطلقتين للتفاضلين الجزئيين لهذا التابع. ويبرهَن أيضاً أنَّ الخطأ النسبي الحدِّي هو: (rx)L = ± d ln y (x1, x2)  أي يساوي تفاضل  لُغَرِتْمِه الطبيعي.

ويمكن تعميم النتائج السابقة على تابع لعدة متحولات. ولما كانت معرفة أحد الخطأين (المطلق أو النسبي) تتيح حساب الآخر (لأن r = e/A) كان من الأسهل البدء بحساب الخطأ المطلق إذا كان للتابع y  شكل كثير حدود، والبدء بحساب الخطأ النسبي إذا كان التابع مكوناً من جداء عدة مض

محمد مكي الحسني الجزائري

 

مراجع للاستزادة:

 

- D.C. Baird, Experimentation: An Introduction to Measurement Theory and Experiment Design (1963).

- G.Dévoré  et R. Annequin, Cours  de physique. unités et mesures, statique des fluides (1965).

 


التصنيف : الرياضيات و الفلك
المجلد: المجلدالثامن
رقم الصفحة ضمن المجلد : 839
مشاركة :

اترك تعليقك



آخر أخبار الهيئة :

البحوث الأكثر قراءة

هل تعلم ؟؟

عدد الزوار حاليا : 1164
الكل : 43932797
اليوم : 80207

الهنود الحمر في أمريكا الشمالية (فن-)

الهنود الحمر في أمريكا الشمالية (فن ـ)   تتصل أمريكا الشمالية بآسيا بوساطة مضيق بيرينغ Bering إذ كان سبيلاً انتقلت عبره الأقوام الآسيوية إلى هذه الأرض الجديدة، وفيها كوّنوا أقواماً أطلق عليها الغزاة الإسبان اسم الهنود الحمر الذين لم يلتحموا اجتماعياً مع أقوام الأسكيمو[ر] السكان الأصليين الذين حافظوا دائماً على تقاليد حياتهم الخاصة.
المزيد »