logo

logo

logo

logo

logo

التطبيق الخطي

تطبيق خطي

Linear mapping - Application linéaire

التطبيق الخطي

 

ترد التطبيقات الخطية في معظم العلوم الرياضية البحتة (ولاسيما الجبر، والهندسة، والتحليل الرياضي، والتحليل الدالي، والطبولوجيا، وغيرها). وفضلاً على ذلك فإنها تستعمل في فروع تطبيقية لها فوائد عملية كثيرة. أهم هذه الفروع:

ـ البرمجة الخطية[ر] linear programming، التي تدرس الوصول إلى الحد الأعلى أو الأدنى لتطبيق خطي خاضع لقيود معطاة. وللبرمجة الخطية استعمالات مفيدة جداً في العلوم الاقتصادية وتخطيط الإنتاج.

من الموضوعات المهمة الأخرى التي تعالجها البرمجة الخطية مشكلة النقل transportation problem، وهي مسألة تهتم بالطريقة المثلى لتوزيع البضائع من مواطن المنشأ المتعددة إلى جهات شتى، مع مراعاة المحافظة على المتطلبات التي تحددها كل من هذه الجهات.

ـ نظرية الألعاب[ر] (المباريات) game theory، التي لها فوائد جلى في تحديد الاستراتيجيات.

وبسبب الأهمية العملية البالغة للتطبيقات الخطية، ثمة بحوث مكثفة تجري حالياً هدفها تحديد أقرب التطبيقات الخطية إلى التطبيقات غير الخطية.

التطبيق الخطي linear mapping من أهم أنواع التطبيق[ر]. والتطبيق الخطي لفضاء متهجي ف، على حقل تبادلي ل، في فضاء متهجي آخر ض على الحقل نفسه، هو دالة ت معرّفة على ف وتأخذ قيمها في ض وتحقق ما يأتي:

 

أي يجب أن يتحقق (1) و(2) مهما يكن المتجهان س1، س2 من الفضاء ف ومهما يكن السلَّمي ر من الحقل ل.

وعلى هذا فإنه يلزم ويكفي كي يكون التطبيق ت: ف ض خطياً أن يكون:

(3)   ت (ر1س1 + ر2س2) = ر1ت (س1) + ر2ت (س2)

مهما يكن المتجهان س1، س2 من ف ومهما يكن السلّميان ر1 ، ر2، من ل. ولإثبات ذلك يلاحظ أنه يمكن الحصول على (3) من (1) و(2):

ت (ر1س1 + ر2س2) = ت (ر1 س1) + ت (ر2 س2) = ر1ت (س1) + ر2 ت (س2)

وبالعكس، إذا كان الشرط (3) محققاً فيمكن الحصول على (1) و(2) منه، وذلك بوضع ر1= ر2 = 1 ، ر2 = 0 على التوالي.

يسمى أيضاً التطبيق الخطي ت: ف ض تشاكلاً للفضاء ف في الفضاء ض. فإذا رمزنا بـ تشا(ف، ض) لمجموعة جميع التطبيقات الخطية لـ ف في ض، فإن:

ت1 ' تشا (ف، ض) يعني أن ت1 تطبيق خطي للفضاء ف في الفضاء ض.

وبوجه عام، بافتراض أن ف، ض فضاءان متجهيان على حلقة واحدية حه، فإنه يلزم ويكفي كي يكون التطبيق ت: ف ض ، تشاكلاً هو أن يكون (3) محققاً.

يسمى التطبيق الخطي تماكلاً isomorphism إذا كان تقابلاً، وتباكلاً (تشاكلاً متبايناً) monomorphism إذا كان متبايناً، وتفاكلاً (تشاكلاً غامراً epimorphism) إذا كان غامراً. ويسمى التطبيق الخطي لـ ف في ض = ف تداكلاً (تشاكلاً داخلياً) endomorphism. وإذا كان التداكل تقابلاً سمي تذاكلاً (تشاكلاً داخلياً ذاتياً) automorphism.

إن ت-1، معكوس التماكل ت: ف ض، تماكل أيضاً، وبصورة خاصة فإن معكوس التذاكل تذاكل.

أمثلة:

1ـ إن التطبيق د: ح [س] ح [س] خطي، حيث يرمز ح [س] إلى الفضاء المتجهي للحدوديات بمعاملات حقيقية، ويرمز د إلى المؤثر التفاضلي

2ـ إذا لوحظ أن مجموعة الأعداد الحقيقية فضاء متجهي على حقل الأعداد الحقيقية ذاته، فإن التطبيق

ت: ح ح             تداكل.

    س 2س + 5

3ـ إن التطبيق ت: ح3 ح2 المعرف بـ:

ت (أ، ب، جـ) = (أ + 2ب - 4، 2أ - جـ)، (أ، ب، جـ) ' ح3

غير خطي.

4ـ إن التطبيق ت: ح3 ح2 المعرّف بـ:

ت (أ، ب، جـ) = (أ - 2ب، 2أ + جـ، -5أ + 3جـ)

خطي، وإن التطبيق:

ت(أ، ب، حـ) = (أ، ب،0).

الذي يمثل إسقاط نقاط الفضاء على المستوي الإحداثي س م ع، هو خطي أيضاً.

5ـ بافتراض أن حه حلقة واحدة، فإن التطبيق سط مـ: حه ن حه، المعرّف بـ:

سط مـ = (س1،س2، …، س ن) = س مـ

تفاكل (تشاكل غامر)، ويسمى الإسقاط للفضاء المتجهي الحلقي حه ن على حه.

خواص التطبيقات الخطية

بافتراض أن التطبيق ت: ف ض خطي وأن ف1 فضاء جزئي من ف، فإن صورة الفضاء الجزئي ف1 وفق التطبيق الخطي ت تعرف كما يأتي:

 ت (ف1) = {ت (س): س ' ف1}

وبافتراض أن ض فضاء جزئي من ض، فإن الصورة العكسية لـ ض1 وفق التطبيق الخطي ت هي:

ت-11) = {س : ف: ت (س) ' ض1}

إن ت (ف1) فضاء جزئي من ض، كما أن ت-11) فضاء جزئي من ف.

تشكل مجموعة الفضاءات الجزئية مـ (ف) من ف شبكة lattice لأن لكل عنصرين منها ف1، ف2 حداً أعلى supremum هو ف1 ف2، وحداً أدنى infimum هو ف1 ف2، ويصح الأمر ذاته في مـ (ض).

يحافظ التطبيق الخطي ت: ف ض على علاقة الاحتواء في شبكة الفضاءات الجزئية لكل من ف، ض. فإذا كان ف1، ف2، فضاءين جزئيين من ف، وإذا كان ف1 Ê ف2 فإن ت (ف1)  Ê ت (ف2)، كذلك إذا كان ض1، ض2، فضاءين جزئيين من ض وكان ض1 Ê ض2، فإن ت-11)  Ê ت-12).

صورة تطبيق خطي ونواته

بافتراض أن ت ' تشا (ف، ض)، فإن المجموعة

صورة (ت) = {ت (س): س ' ف}

تسمى صورة التطبيق الخطي ت، وهي فضاء جزئي من ض. وإذا كانت {ب1، ب2،.... بن} قاعدة للفضاء المتجهي ف (ذي البعد ن)، فإن

{ت (ب1)، ت (ب2)، …، ت (بن)} تولد صورة (ت)، ويشار إلى ذلك عادة بـ:

صورة (ت) = مو {ت (ب1)، ت (ب2)، …، ت (بن)}

وكي يكون التطبيق الخطي ت غامراً يلزم ويكفي أن تكون صورة (ت) مساوية لـ ض.

كذلك فإن المجموعة:

نواة (ت) = {س ' ف: ت (س) = 0ض}

تسمى نواة التطبيق الخطي ت أو الفضاء الصفري لـ ت، وهي فضاء جزئي من ف. إن النواة غير خالية أبداً لأن ت (0ف) = 0ض

كي يكون التطبيق الخطي ت: ف ض متبايناً يلزم ويكفي أن يكون

نواة (ت) = {0ف}

إذا كان ت ' تشا(ف، ض) تباكلاً (تشاكلاً متبايناً)، فإن صورة أي مجموعة متجهات من ف مستقلة خطياً وفق ت هي مجموعة مستقلة خطياً من ض.

أمثلة:

1ـ إن التطبيق

ت: ح3 ح2                   خطي، وإن:

    (أ، ب، حـ) (ب، حـ)

صورة (ت) = {(ب، حـ): ب، حـ ح} = ح2

نواة (ت) = {(أ،0 ، 0): أ ح}

2ـ بفرض أن ف فضاء متجهي ذو بعد منته ن على الحقل ح، وأن {ب1، ب2، …، بن} قاعدة فيه، فإنه مهما يكن س ' ف يكون:

س = س1ب1 + س2ب2 + … + سن بن، سهـ ' ح (هـ = 1 ، 2، …، ن)

إن التطبيق:

ت: ف حن

س 1، س2، … سن)

خطي صورته:

صورة (ت) = {1، س2، ...، سن) حن: س1ب1 + س2ب2+...+ سن بن ' ف} = حن

ونواته:

نواة (ت) = {س ' ف: ت(س) =0 ح ن}

          = {س ' ف: (س1، س2،...،س ن) =0 ح ن }= {0ف}

إن هذا التطبيق تماكل.

وبوجه عام، إن كل فضاء متجهي ف ذي بعد منته ن على حقل تبادلي ل يماكل (يشاكل تقابلياً) الفضاء المتجهي لن.

بعدا صورة تطبيق خطي ونواته

إذا كان ف، ض فضاءين متجهيين على حقل تبادلي ل، وكان ت: ف ض تطبيقاً خطياً، فإن كلاً من صورة (ت) ونواة (ت) منتهية البعد إذا كان الفضاء ف منتهي البعد، ويكون في هذه الحالة:

بُعد ف = بُعد نواة (ت) + بُعد صورة (ت)

نواة (ت) = {0} بُعد صورة (ت) = بُعد ف.

ثم إنه تصح القضايا التالية:

1ـ بُعد صورة (ت) ³ بُعد ف

2ـ يلزم ويكفي كي يكون ت تباكلاً، أن يكون بعد صورة (ت) = بعد ف.

3ـ يلزم ويكفي كي كون ت تغاكلاً، أن يكون بعد صورة (ت) = بُعد ض.

4ـ إذا كان بُعد ف أكبر من بُعد ض، فإن التطبيق الخطي ت غير متباين.

5ـ إذا كان بُعد ف أصغر من بُعد ض، فإن التطبيق الخطي ت غير غامر.

6ـ إذا كان ف = ض، أي إذا كان ت تداكلاً، فإنه يلزم ويكفي كي يكون  ت تباكلاً أن يكون ت تفاكلاً.

وينتج عما سبق:

1ـ يلزم ويكفي كي يكون التطبيق الخطي ت: ف ض تماكلاً، أن يكون:

1ـ نواة (ت) = {0}، 2- بُعد ف = بُعد ض.

2ـ يلزم ويكفي كي يكون التداكل ت على الفضاء المتجهي ف تذاكلاً، ان يكون ت متبايناً، أي أن يكون نواة (ت) = {0ف}.

الفضاء المتجهي تشا(ف، ض)

بافتراض أن ت1، ت2 تشا (ف، ض)، فإن المجموع ت1+ ت2 يعرَّف كما يأتي:

( ت1+ ت2) (س) = ت1(س) + ت2(س)، س ' ف

إن ت1 + ت2 ' تشا (ف، ض) لأن:

1 + ت2) (ر1س1 + ر2س2) = ت11س1+ ر2س2) + ت2 ((ر1س1+ ر2س2)

                                               (حسب تعريف الجمع)

                                = ر1ت11) + ر2ت12) + ر1ت21) + ر2ت22)

                                                (لأن كلاً من ت1، ت2 خطي).

                               = ر111) + ت21)] + ر212) + ت22)]

                               = ر11+ ت2) (س1) + ر21+ ت2) (س2)

                                                 (حسب تعريف الجمع ثانية)

وذلك مهما يكن س1، س2، من ف، ومهما يكن السلّميان ر1 ، ر2 من ل

إن الجمع في تشا(ف، ض) تجميعي وتبادلي ويقبل عنصراً محايداً هو التطبيق الصفري المعرَّف بـ 0(س) = 0 مهما س من ف؛ كذلك فإن كل عنصر نظور، ونظير ت هو - ت لأن:

- ت + ت =0

[(- ت + ت) (س) = -ت (س) + ت (س) =0 = 0(س)، س ' ف]

وهكذا فإن الثنائية (تشا(ف، ض)، +) زمرة تبادلية.

يعرّف المضاعف السلمي مـ ت للتطبيق الخطي ت ' تشا (ف، ض) بـ:

(مـ ت) (س) = مـ ت (س)، مـ ' ل

إن مـ ت خطي لأن:

(مـ ت ) (ر1 س1 + ر2 س2) = مـ ت (ر1 س1 + ر2 س2) (حسب تعريف المضاعف السلمي لتطبيق خطي).

                               = مـ ر1 ت (س1) + مـ ر2 ت (س2) (لأن ت خطي)

                               = ر1(مـ ت) (س1) + ر2 (مـ ت)(س2) حسب التعريف ثانية

والمضاعف السلمي لتطبيق خطي هو قانون تشكيل خارجي على تشا (ف، ض)، مجموعة مؤثراته الحقل ل. ينتج عما سبق أن تشا (ف، ض) فضاء متجهي على الحقل ل، يساوي بُعده جُداء بُعدي ف، ض (في حالة كونهما منتهيي البعد).

حلقة التداكلات

بافتراض أن ف، ف1، ف2، فضاءات متجهية على الحقل التبادلي ل، وأن ت1 ' تشا(ف، ف1)، ت2 ' تشا (ف1، ف2)، فإن ت2 ο ت1 تطبيق خطي لـ ف في ف2:

2 ο ت1) (ر1س1+ ر2س2) = ت211س1+ ر2س2))

                            = ت21ت11)+ ر2ت12))

                            = ر1211))+ ر221س2))

                            = ر12 o ت1) (س1) + ر22 o ت1) (س2)

ثم إن تركيب التطبيقات توزيعي على جمعها، ذلك أنه إذا كان ت1، ت2 ' تشا(ف، ف1) وَ ت3 ' تشا(ف1، ف2) فإن:

3 ο1+ ت2)] (س) = ت3 [(ت12) (س)]

                      = ت31(س) + ت2(س)]

                      = (ت3   οت1) (س) + (ت3 o ت2) (س)

                      = (ت3 o ت1 + ت3 o ت2) (س)

وذلك مهما يكن س من الفضاء ف0 وعلى هذا فإن:

ت3 o1+ ت2) = ت3 o ت1+ ت3 ο ت2

ويجري إثبات الخاصة التوزيعية لتركيب التطبيقات على جمعها يساراً بالطريقة ذاتها.

إذا كان ف = ف1= ف2، فإن: ت1، ت2، ت3 ' تشا(ف)، أي هي تداكلات على الفضاء المتجهي ف.

ينتج عما سبق أن مجموعة التداكلات على الفضاء المتجهي ف حلقة تبادلية بالنسبة إلى عملية جمع التطبيقات وتركيبها، ثم إنها واحدية وعنصرها المحايد هو التطبيق المطابق على ف.

رتبة تطبيق خطي

بافتراض أن ف، ض، فضاءان متجهيان منتهيا البعد على حقل تبادلي ل، وأن ت ' تشا(ف، ض)، فإن رتبة التطبيق الخطي ت هي بعد صورة (ت). وإذا كانت {ب1، ب2، …، ب ن} قاعدة للفضاء المتجهي ف، فإن

{ت (ب1)، ت (ب2) … ت(ب ن)} تولد صورة هذا التطبيق، ويكون:

رتبة التطبيق ³ ن = بُعد ف

وإذا كانت رتبة التطبيق مساوية لـ ن، فإن بعد نواته صفر، ومن ثم فإن التطبيق الخطي تماكل لـ ف على ت (ف).

مصفوفة تطبيق خطي لفضاءات منتهية البعد

بافتراض أن ت ' تشا(ف، ض) وأن {ب1، ب2، …، ب ن} قاعدة للفضاء ف، فإن المتجه ت(ب هـ) (هـ = 1 ، 2، …، ن) عنصر من ض. ويكتب هذا المتجه على شكل تركيب خطي وحيد من متجهات قاعدة  {حـ1، حـ2، …، حـ ن} في ض.

أهـ1 حـ1 + أهـ2 حـ2 + ... + أه ن حـ ن

تعين هذه المعادلات مصفوفة من الحجم نَ × ن:

 

تسمى مصفوفة التطبيق الخطي ت من القاعدة (ب هـ) إلى القاعدة (حـ هـ)، ويرمز لها بـ

مثال: ليكن التطبيق الخطي ت: ح3 ح2  المعرف بـ:

ت (أ1،أ2) = (3أ1+ 2أ2 ، أ1- أ2 ، 2أ1+ أ21 ، أ2) ' ح2

إن مصفوفة ت من القاعدة {ب1= (1 ،0)، ب2= (1 ، -2)} إلى القاعدة القانونية في

 ح3: {حـ1= (0 ، 1 ، 0)، حـ2= (0 ، 1 ، 0)، حـ3 = (0 ، 0 ، 1)} تتعين بـ:

ت (ب1) = ت (1 ، 0) = (3 ، 1 ، 2) = 3حـ1 + حـ2 + حـ3

ت (ب2) = ت (1 ، -2)= (-1 ، 3 ، 0) = -حـ1 + 3حـ2

فمصفوفة التطبيق الخطي هي:

إذا كان ف = ض، فإن التطبيق الخطي ت تداكل، ويمكن عندها اختيار (ب هـ) = (حـ هـ)، وتكون مصفوفة التطبيق عندئذ مربعة، وتسمى مصفوفة التداكل ت بالنسبة إلى القاعدة (ب هـ) في ف.

تماكل فضاء المصفوفات ن َ× ن مع الفضاء تشا (ف، ض)

لتكن {ب1، ب2، …، ب ن} قاعدة للفضاء المتجهي ف، {حـ1، حـ2، …، حـ ن} قـاعـدة للفضاء المتجهي ض، ت عنصراً مـن تشا (ف، ض)، ولتكن مصنَ × ن [ل] مجموعة المصفوفات من الحجم نَ×ن على الحقل

 مصفوفة التطبيق الخطي ت بالنسبة إلى هاتين القاعدتين. إن التطبيق:

 

 

تماكل بين الفضاءين.

إن التطبيق السابق خطي لأن:

 

ثم إنه متباين لأن نواته تردّ إلى التطبيق الصفري، وهو غامر لأنه يقابل كل مصفوفة

ب = [أهـ ز] ' مصنَ × ن [ل]

 تطبيق خطي بالنسبة إلى القاعدتين {ب1، ب2، …، ب ن}، {حـ1، حـ2،....حـ نَ}، وذلك بأن يؤخذ

ت (ب هـ)       هـ = 1 ، 2، …، ن

المتجهة من ض الذي تكون إحداثياته بالنسبة إلى القاعدة {حـ1، حـ2، …، حـ نَ} عناصر العمود هـ من المصفوفة ب.

يجب ملاحظة أن التماكل السابق متعلق بالقاعدتين {ب1، ب2،...، ب ن}، {حـ1، حـ2،...، حـ ن} في الفضاءين ف، ض على الترتيب.

إلهام حمصي

 

الموضوعات ذات الصلة:

 

التطبيق ـ المحددة  ـ الفضاء الإقليدي ثلاثي البعد ـ الشكل الخطي ـ المصفوفة.

 

مراجع للاستزادة:

 

ـ إلهام حمصي، الجبر(2) (مطبوعات جامعة دمشق 1981 ـ 1982).

- Surge Long , Linear Algebra (Addison Wesley).

- Paul Halmos, Finite Dimensional Vector Space (Springer Verlag).

 


التصنيف : الرياضيات و الفلك
النوع : علوم
المجلد: المجلد السادس
رقم الصفحة ضمن المجلد : 549
مشاركة :

اترك تعليقك



آخر أخبار الهيئة :

البحوث الأكثر قراءة

هل تعلم ؟؟

عدد الزوار حاليا : 61
الكل : 10404582
اليوم : 6704

غوس (السير ادموند وليام-)

غوس (إدموند -) (1849-1928)   ولد الكاتب والناقد الإنكليزي إدموند وليم غوس Edmund William Gosse في لندن وتوفي فيها، وكان الابن الوحيد لعالم الطبيعيات فيليب هنري غوس Philip Henry Gosse. بدأ حياته العملية موظفاً في قسم المطبوعات في مكتبة المتحف البريطاني، ثم مترجماً في غرفة التجارة، ثم محاضراً في الأدب في جامعة كمبردج ثم أميناً لمكتبة مجلس اللوردات. نال في آخر حياته لقب «فارس» ووسام جوقة الشرف الفرنسي، ونُصِّب فارساً في عصبة «سانت أولاف» النروجية.
المزيد »