التطبيق

تطبيق

Application - Application

التطبيق

بفرض أن  س، ع مجموعتان غير خاليتين (قد تكون س = ع). يقال عن كل علاقة ت من س إلى ع [ر] إنها تطبيق إذا كان كل عنصر من س مرتبطاً بعنصر وحيد من ع بهذه العلاقة، ونكتب:

ت: س ← ع

    س ← ع

ويقال إن ع صورة س، وفق التطبيق ت ويكتب ع = ت (س)، كما يقال إن س أصل ع وفق التطبيق ت. وتسمى س منطلق التطبيق وع مستقره.

إن صورة التطبيق ت هي مجموعة صور عناصر منطلقة، ويرمز لها بـ ت (س) إذن:

ت (س) = {ع ' ع | ِ Eس ' س× ع = ت (س)}

يلاحظ مباشرة أن:

ت (س) Ê ع

إن البيان (بيا) للتطبيق ت هو بيان العلاقة ت من س إلى ع أي إن:

بيا ={(س، ع) | (س، ع) ' س×ع ؛ ع = ت (س)}

يُرمز لمجموعة تطبيقات المجموعة س في المجموعة ع بالرمز ع ^س أو مـ (س، ع).

يكون التطبيقان ت₁، ت₂ ' ع ^س متساويين، ويكتب ت₁ = ت₂، إذا كان:

ت₁(س) = ت₂(س)، "س ' س  فقط، أي إن:

ت₁ = ت₂ Û ت₁(س) = ت₂ (س)، "س ' س

وبالتالي يكون:

ت₁ ¹ ت₂ Û  Eس ' س، ت₁(س) ¹ ت₂(س)

لتكن س₁ مجموعة جزئية من س وليكن ت ' ع ^س، تسمى المجموعة:

ت (س₁) = {ت (س) | س ' س₁}

الصورة المباشرة لـ س₁.

يمثل التطبيق بمخطط بياني، كما يمكن تمثيله، عندما تكون س، ع، منتهيتين، بمخططٍ سهمي، أي بأسهم تنطلق من عناصر منطلقه لتستقر في عناصر من مستقره.

1ـ لتكن س = {أحمد، هند، زهير، عدنان، هالة، برهان} ومجموعة صفوف مدْرسة:

         ع= {1(أ)، 1(ب)، 2(أ)، 2(ب)، 4(أ)، 4(ب)، 5(أ)، 5(ب)}

ولنفرض أن تطبيقاً ت: س ← ع معطى بالمخطط السهمي الآتي (الشكل ـ1):

إن: بيا(ت) = {(أحمد، 1(ب))، )هند،1(أ))، (زهير، 2)أ))، (عدنان، 4(ب))، (هالة، 5(أ))، (برهان، 4(ب))}.

2ـ ليكن التطبيق ت: ح ← ح

                      س ← س³ -3س+1

و(الشكل ـ2) يمثّل بيانَ هذا التطبيق.

أمثلة:

1ـ يسمى التطبيق ت: س ← س

                        س ← س

تطبيقاً مطابقاً على س.

2ـ إن التطبيق ت: ط ← ط

                    س ← 2س

 تطبيق للأعداد الطبيعية في الأعداد الزوجية منها.

3ـ إن جمع الأعداد الحقيقية تطبيق لـ ح×ح في ح:

ت: ح × ح ← ح

   (س₁، س₂) ← س₁+ س₂

 وهو قانون تشكيل داخلي[ر] على ح.

4- الإسقاط القائم لنقاط مستقيم س من الفضاء على مستوٍ منه ع، هو تطبيق لنقاط س في ع.

يجب أن يلاحظ كما يلي:

1- يمكن أن يكون عنصرٌ واحد من المستقر ع صورة لأكثر من عنصرٍ من المنطلق س.

2- يمكن أن لا يكون عنصر من المستقر ع صورةً لأي عنصرٍ من المنطلق س.

أنواع التطبيقات:

ـ التطبيق المطابق: يكون التطبيق ت ' س ^س مطابقاً إذا كانت صورة كل عنصر من منطلقه هي ذاتها من مستقره، أي مهما يكن س ' س فإن             ت (س) = س، يلاحظ من التعريف السابق أن ت (س) = س.

ـ التطبيق المتباين: يكون التطبيق ت ' ع ^س متبايناً إذا وإذا فقط كان:

"س₁، س₂ ' س، س₁ ¹  س₂ Ü ت (س₁) ¹ (س₂)

أي يكون التطبيق ت ' ع ^س متبايناً إذا وإذا فقط كانت صورتا عنصرين مختلفين من منطلقه مختلفتين، وهذا يكافئ القول:

"س₁، س₂ ' س، ت (س₁) = ت (س₂) Ü س₁= س₂

ـ التطبيق الغامر: يكون التطبيق ت ' ع ^س غامراً إذا وإذا فقط كان كل عنصر من مستقره صورة لعنصرٍ مواحد من منطلقه، أي أن:

"ع ' ع، E س ' س: ع = ت (س) أي يكون التطبيق غامراً إذا وإذا فقط كان ت (س) = ع

ـ تطبيق التقابل: يكون التطبيق ت ' ع ^س تقابلاً إذا وإذا فقط كان متبايناً وغامراً في آن واحد، أي إذا وإذا فقط:

1ـ "س₁، س₂ ' س، ت (س₁) = ت (س₂) Ü س₁= س₂

2ـ ت (س) = ع

أمثلة:

1ـ التطبيق ت: ط ← ط

                    س ← ع = 2س

        متباين وغير غامر

  2ـ التطبيق ت: ح × ح ← ح

                  (س₁،س₂) ← س₁+س₂

 غامر وغير متباين

3ـ إن الإسقاط القائم لنقاط الفضاء على مستوٍ، تطبيقٌ غامرٌ وغير متباين وذلك لأن للنقطتين الواقعتين على مستقيمٍ واحد عمود على المستوي المسقط ذاته، كما أن كل نقطة من المستوي هي المسقط القائم لنقطة من الفضاء.

تركيب التطبيقات:

ليكن التطبيقان: ت₁: س ← ع وت₂: ع ← ف يقابل كل عنصر س ' س وفق ت₁ عنصرٌ واحدٌ ع = ت₁(س) ' ع، كذلك يقابل العنصر ع = ت₁(س) ' ع وفق التطبيق ت₂ العنصر الوحيد ص = ت₂(ع) ' ف ويكون:

ص = ت₂(ع) = ت₂(ت₁ (س)) = (ت₂ O ت₁) (س)

أي يقابل العنصر س ' س العنصر الوحيد ص = (ت₂ O ت₁) (س) ' ف وفق تطبيق ط، يُرمز له بـ ت₂ O ت₁، ويسمى مركب التطبيقين ت₁ وت₂:

ص = (ت₂ O ت₁) (س) = ط (س)

ليلاحظ أن التطبيق ت₂ في الرمز ت₂ O  ت₁ قد كُتب أولاً في اليمين، وأن التطبيق ت₁ قد كُتب في اليسار.

لا يكون ت₂ O  ت₁ معرَّفاً إلا إذا كانت صورة س وفق ت₁ مساوية لمنطلق ت₂.

ليكن التطبيقان:

ت: ح ← ح             ، ت: ح ← ح

     س ← 2س+1            س ← س² -3س+1

عندئذ يكون:

" س ' ح: (ت₂ O ت₁) (س) = ت₂(ت₁(س₁)) = ت₂(2س+1)

                               = (2س+1)² -3(2س+1)+1 = 4س² -2س -1

وأُخذ في هذا المثال س = ع = ف = ح. أما من أجل ت₁ O  ت₂ فيلاحظ أن:

(ت₁ O ت₂) (س) = ت₁(ت₂(س)) = ت₁(س²-3س+1)

                  = 2(س²-3س+1) +1 = 2س²-6س+3

في حالة وجود كل من ت₁ O  ت₂ و ت₂ O  ت₁ كما في السابق فإن:

ت₁ O  ت₂ ¹ ت₂ O  ت₁ بشكل عام؛ أما إذا كان:

ت₁ O  ت₂ = ت₁ O  ت₂

فإنه يقال عندها إن ت₁،  ت₂، تبادليان، يلاحظ أن:

منطلق ت₂ O  ت₁ = منطلق ت₁

مستقر ت₂ O  ت₁ = مستقر ت₂

خواص تركيب التطبيقات

1- تركيب التطبيقات تجميعي:

لتكن التطبيقات الثلاثة:

ت₁: س ← ع ، ت₂: ع ← ف ، ت3: ف ← ل

إن (ت₃ O ت₂) O  ت₁= ت₃ O (ت₂ O   ت₁)

ولإثبات ذلك يلاحظ أن (ت₃ O ت₂) O  ت₁ موجود، وهو تطبيق لـ س في ل (الشكل ـ3)، وبشكل مشابه، فإن (ت₃ O ت₂) O  ت₁ موجودٌ وهو تطبيق لـ س في ل، وللتطبيقين ت₃ O (ت₂ O   ت₁)، (ت₃ O ت₂) O  ت₁ المنطلق والمستقر ذاتهما، كذلك فإن:

[(ت₃ O ت₂) O  ت₁] (س) = (ت₁ O ت₂) (ت₁(س))

                            = ت₃ ([ت₂ (ت₁ (س))]

                            = ت₃ [(ت₂ O ت₁) (س)]

                            = [ت₃ O (ت₂ O  ت₁)] (س)

وذلك مهما يكن العنصر س ' س، وتنتج بالتالي المساواة المطلوبة، ولذلك يكتب ت₃ O ت₂ O  ت₁ بلا أقواس.

2ـ بفرض أن ت₁ ' ع^س  وت₂ ' ف^ع. فإن القضايا التالية صحيحة:

أ ـ إذا كان كل من ت₁، ت₂، متبايناً فإن ت₂ O ت₁ متباين.

ب ـ إذا كان كل من ت₁، ت₂، غامراً فإن ت₂ O ت₁ غامرٌ.

حـ ـ إذا كان كل من ت₁، ت₂، تقابلاً فإن ت₂ O ت₁ تقابل.

د - إذا كان ت₂ O ت₁، متبايناً فإن ت₁ متباين.

هـ - إذا كان ت₂ O ت₁ غامراً فإن ت₂ غامر.

3- إذا كان ت₁ ' ع^س غامراً، وت₂ ، تَ₂ ' ف^ع فإن: ت₂ O ت₁= تَ₂ O تَ₁= ت₂= تَ₂

4- إذا كان ت₂ ' ف^ع متبايناً،  ت₁، تَ₁ ' ع^س فإن:

ت₂ O ت₁= ت₂ O تَ₁ Ü ت₁= تَ₁

5- ليكن التطبيق ت ' ع^س وليكن مـ _س، مـ _ع التطبيقين المطابقين على س، ع على التوالي، عندئذ يكون:

أ ـ ت O مـ _س = ت

ب ـ مـ _ع O  ت = ت

تطبيق الغمر القانوني (canonical surjection)

بفرض أن ر علاقة تكافؤ[ر] على المجموعة س، وأن  مجموعة الخارج لـ س على ر وهي مجموعة صفوف التكافؤ لهذه العلاقة، يؤخذ التطبيق:

( صف تكافؤ س ' س وفق هذه العلاقة)

يلاحظ أن هذا التطبيق غامرٌ كما يصح فيه:

π (س) = π (ع)  Û س ر ع يسمى التطبيق π، الغمر القانوني (أو التطبيق القانوني) لـ س على .

تطبيق التباين القانوني:

ليكن س₁ جزءاً من مجموعة س وليكن التطبيق:

ب: س₁ ← س

    س   ← س = ب (س)

ليلاحظ أن ب متباين وأن ب (س₁) = س₁ É س. يسمى ب تطبيق التباين القانوني لـ س₁ في س.

تحليل تطبيق إلى عوامل:

ليكن التطبيق ت ' ع^س ولتكن ر علاقة تكافؤ على س معينة بـ

ت (س) = ت (ع)  Û س ر ع

ويؤخذ كذلك تطبيق التباين القانوني: ب: ت (س) ← ع

يلاحظ أنه مهما يكن س ' س فإن:

ويقال إنه قد تم تفريق التطبيق ت إلى ثلاثة عوامل (الشكل ـ4).

معكوس تطبيق:

ليكن التطبيق ت ' ع^س. إن الصورة العكسية للعنصر ع ' ع وفق التطبيق ت والتي يرمز لها بـ ت^-1 (ع)، هي مجموعة العناصر من س التي صورتها ع وفق ت أي:

 ت^-1 (ع) = {س ' س | ت (س) = ع}

س = ت^-1 (ع)  Û ع = ت (س)

إن الصورة العكسية للمجموعة الجزئية ع₁ من ع وفق التطبيق ت  والتي يُرمز لها بـ ت^-1 (ع₁) هي المجموعة التالية:

ت^-1 (ع₁) = {س ' س | ت (س) ' ع₁}

ليكن التطبيق ت: ح ← ح      

                  س ← س³

والمجموعة  الجزئية ح₁ = ل[9، 25]. إن ت^-1 (ح₁) هي المجموعة:

 ت^-1 (ح₁) = {س ' ح: 3 ³ س ³ ج5ج، ج-5ج ³ س ³ ج -3 ج}

يكون التطبيق ت ' ع^س تقابلاً إذا وإذا فقط وجد تطبيق س^ع بحيث يكون:

ط O  ت = مـ _س، ت O  ط = مـ _ع

ينتنج عن ذلك أن ط تقابلٌ يسمى معكوس التقابل ت ويرمز له بـ ت^-1 أي إن:

ت^-1 O  ت = مـ _س، ت O  ت^-1 = مـ _ع

يتصف معكوس تطبيق بالخواص التالية:

1ـ (ت^-1)^-1 = ت

2ـ إذا كان ت₁ ' ع^س، ت₂ '  ف^ع تقابلين فإن:

(ت₂ O ت₁)-1 = ت₁^-1 O ت₂^-1

خواص الصور المباشرة والعكسية لأجزاء مجموعة:

ليكن التطبيق ت ' ع^س، وليكن س₁، س₂ جزأين من س، وليكن ع₁، ع₂ جزأين من ع. إن الخواص التالية صحيحة:

أولاً:

1ـ إذا كان س₁ Ê س₂ فإن ت (س₁) Ê ت (س₂)

2ـ ت (س₁ È س₂) = ت (س₁) È ت (س₂)

3ـ ت (س₁ Ç س₂) = ت (س₁) Ç ت (س₂)

وإذا كان التطبيق متباينا فإن:

ت (س₁ Ç س₂) = ت (س₁) Ç ت (س₂)

ثانياً:

1ـ إذا كان ع₁ Ê ع₂ فإن ت^-1 (ع₁) Ê ت^-1 (ع₂)

2ـ ت^-1 (ع₁ È ع₂) = ت^-1 (ع₁) È ت^-1 (ع₂)

3ـ ت^-1 (ع₁ Ç ع₂) = ت^-1 (ع₁) Ç ت^-1 (ع₂)

مقصور التطبيق:

ليكن التطبيق ت: س ← ع وليكن س₁ جزءاً غير خالٍ من س، يسمى التطبيق:

ت₁: س₁ ← ع المعين بـ:

ت (س) = ت₁(س)، "س ' س₁     (*)

مقصور التطبيق ت على س₁ وتكتب ت₁/ س.

ليكن التطبيقان ت: ح ← ح⁺    ، ت1: ح ← ح⁺     

                    س ← س²         س ← س²

إن ت₁ مقصور (ت) على مجموعة الأعداد الطبيعية ط لأنه محقق لـ (*).

بفرض أن س₁، ع₁  جزءان من س وع على التوالي بحيث يكون:

ت (س₁) Ê ع₁، فإنه يمكن أن يُعرّف تطبيق ت₁: س₁ ← ع₁ معين بـ           

ت (س) = ت₁(س)، "س ' س₁

يسمى مقصور (ت) على س₁ منطلقاً و ع₁ مستقراً.

إذا لم يكن التطبيق ت: س ← ع تقابلاً، فقد يكون غالباً من الممكن والمفيد الحصول على مقصورٍ غامرٍ وذلك باختيار ع₁= ت (س₁)، وإذا كان ت₁ متبايناً بالإضافة إلى كونه غامراً فعندها يسمى ت₁ مقصوراً تقابلياً على س₁ منطلقاً و ع₁ مستقراً.

لنأخذ التطبيقات:

يلاحظ أن:

ت غير متباين وغير غامر

ت₁ متباين وغير غامر وهو مقصور ت على                                        

  نن

ط متباين وغامر وهو المقصور التقابلي لـ ت على

إن المقصور التقابلي هام في التحليل وذلك لاستخدامه في تعريف الدالة العكسية، وفي المثال السابق يُعرّف المقصور التقابلي هذا الدالة العكسية الجيبية والتي يرمز لها جب^-1(س) أو قوس جب س.

التباديل:

يسمى كل تطبيق تقابلٍ لمجموعة منتهية على ذاتها تبديلاً. سيرمز بـ ج لمجموعة التباديل على المجموعة س أي:

ج = {ت ' س^س، ت تقابل}

يلاحظ في ج ما يلي:

1ـ إذا كان ت₁، ت₂ ' ج Ü ت₁ O  ت₂ ' ج

2ـ ت₁ O ( ت₂ O ت₃) = (ت₁ O  ت₂)O  ت₃، "ت₁، ت₂، ت₃ ' ج

3ـ "ت ' ج فإن ت^-1 ' ج

4ـ "ت ' ج، ت O  مـ _س = مـ _س  O ت = ت

والثانية (ج، O) زمرة غير تبادلية.

مثال:

إذا كان س = {1، 2، 3} فإن زمرة التباديل على هذه المجموعة هي:

إلهام حمصي

ـ صلاح أحمد، التحليل (1) (مطبعة جامعة دمشق، 1967).

ـ إلهام حمصي، الجبر (1) (جامعة دمشق 1981).

ـ محمد عادل سوزان، موفق دعبول، الرياضيات المعاصرة (1) (مؤسسة الرسالة، بيروت 1986).

التصنيف : الرياضيات و الفلك

النوع : علوم

المجلد: المجلد السادس

رقم الصفحة ضمن المجلد : 541

آخر أخبار الهيئة :

معجم المصطلحات

الأطلس الجغرافي

البحوث الأكثر قراءة

اصدارات الموسوعة العربية

أسماء الباحثين

هل تعلم ؟؟

• - هل تعلم أن الأبلق نوع من الفنون الهندسية التي ارتبطت بالعمارة الإسلامية في بلاد الشام ومصر خاصة، حيث يحرص المعمار على بناء مداميكه وخاصة في الواجهات

• - هل تعلم أن الإبل تستطيع البقاء على قيد الحياة حتى لو فقدت 40% من ماء جسمها ويعود ذلك لقدرتها على تغيير درجة حرارة جسمها تبعاً لتغير درجة حرارة الجو،

• - هل تعلم أن أبقراط كتب في الطب أربعة مؤلفات هي: الحكم، الأدلة، تنظيم التغذية، ورسالته في جروح الرأس. ويعود له الفضل بأنه حرر الطب من الدين والفلسفة.

• - هل تعلم أن المرجان إفراز حيواني يتكون في البحر ويتركب من مادة كربونات الكلسيوم، وهو أحمر أو شديد الحمرة وهو أجود أنواعه، ويمتاز بكبر الحجم ويسمى الش

• هل تعلم أن الأبسيد كلمة فرنسية اللفظ تم اعتمادها مصطلحاً أثرياً يستخدم في العمارة عموماً وفي العمارة الدينية الخاصة بالكنائس خصوصاً، وفي الإنكليزية أب

• - هل تعلم أن أبجر Abgar اسم معروف جيداً يعود إلى عدد من الملوك الذين حكموا مدينة إديسا (الرها) من أبجر الأول وحتى التاسع، وهم ينتسبون إلى أسرة أوسروين

• - هل تعلم أن الأبجدية الكنعانية تتألف من /22/ علامة كتابية sign تكتب منفصلة غير متصلة، وتعتمد المبدأ الأكوروفوني، حيث تقتصر القيمة الصوتية للعلامة الك

شراء النسخة الورقية