logo

logo

logo

logo

logo

التفاضل

تفاضل

Differential - Différentiel

التفاضل

 

تفاضل differential دالة هو القسم الخطي من تزايدها بالنسبة إلى تزايد متغيرها (أو متغيراتها). يرتبط مفهوم التفاضل ارتباطاً وثيقاً بمفهوم المشتق، وهو واحدٌ من أهم مفاهيم التحليل الرياضي، نظراً إلى تطبيقاته المتنوعة في فروع الرياضيات الأخرى وفي الفيزياء والكيمياء والميكانيك وغيرها. يمكن لهذا المفهوم أن يتضح عبر المثال التالي:

إذا كانت ن نقطة مادية تتحرك على خط مستقيم وفق العلاقة ف = تا (ز) = ز2 (حيث ف المسافة، ز الزمن) فإن سرعتها في اللحظة ز هي:

 سر = فَ = تاَ (ز) = 2ز، وتقطع النقطة في مدة زمنية ( ز) مسافة قدرها:

ف = تا (ز + ز) – تا (ز) = 2ز ( ز) + ( ز)2

فإذا كانت ز مدة لا متناهية في الصغر فمن الممكن إهمال المقدار ( ز)2 في العبارة السابقة، والنظر إلى المسافة المقطوعة ف على أنها تساوي

 2ز ( ز) بتقريب جيد، يدعى هذا المقدار الأخير (الخطي بالنسبة إلى ز) تفاضل المسافة ف ويرمز له بـ تفا ف، ويكون

تفا ف = 2ز ( ز) = فَ ز، في حين يدعى الفرق  ف - تفا ف الارتياب المرتكب في تقدير ف. وكلما كانت المدة ز صغيرة كان الارتياب صغيراً. وفيما يلي عرضٌ لمفهومِ تفاضلِ دالةٍ (تابعٍ) ما لمتغير حقيقي في نقطة من مجموعةِ تعريفها، وللمعنى الهندسي لهذا المفهوم، ثم لخواص التفاضل وتطبيقاته وأخيراً لمفهوم تفاضل دالة ذات متغيرين أو أكثر، وتطبيقات ذلك.

تفاضل دالة في متغير واحد في نقطة من مجموعة تعريفها

إذا كانت ع = د (س) دالة تقبل الاشتقاق عند نقطة س من مجموعة تعريفها س = ] أ1، أ2[ Ê ح وإذا كان دَ (س) أو عَ س رمزاً لمشتق هذه الدالة عند النقطة س فإن تفاضل هذه الدالة في النقطة س هو تفا ع = عَ س . س حيث س تزايد كيفي للمتغير س ويقرأ: «تفاضل ع يساوي مشتق ع في س مضروباً في تزايد س للمتغير س». فمثلاً: إذا كان

ع = د(س) = س2 + جب س + لغ (1+ س2)

وإذا كان ع = 3 س

فإن تفا ع = 3 × س = 3 س

وإذا كان ع = س فإن

تفا ع = تفا س = 1 × س = س

إذن تفا س = س، ويعبر عن ذلك بالقول إن تفاضل المتغير المستقل يساوي تزايده. وهذا ما يسمح بأن تكتب العبارة تفا ع = عَ س س بالصيغة

تفا ع = عَ س تفا س

كما يسمح ذلك بأن تُكتبَ:

وهو ترميز أنيق للمشتق في س.

قبل عرض المعنى الهندسي للمشتق والمعنى الهندسي للتفاضل في نقطة س لا بد من الإشارة إلى أن تزايد الدالة ع = د (س)، الذي يرمز له ع، هو:

ع = د (س + س) - د (س)

وهو يمثل سرعة تغير ع بالنسبة إلى تغير المتغير (المتحول) س.

المعنى الهندسي للمشتق والمعنى الهندسي للتفاضل في نقطة

ليكن (ى) المنحني الممثل للدالة ع = د (س) (مثلاً د (س) = س2 (ولتكن ن1(س، د (س))، ن (س + س، د (س + س)) نقطتين متجاورتين من (ى) انظر الشكل1.

الشكل (1)

ولتكن ع = د (س + س) – د (س) =

يه1= الزاوية التي يصنعها المماس عند النقطة ن1 مع الاتجاه الموجب لمحور السينات.

يه = الزاوية التي يصنعها القاطع المار بـ ن و ن1 مع الاتجاه الموجب لمحور السينات، عندئذٍ تمثل النسبة         

  ميل القاطع = ظل يه.

 عندما س 0 فإن يه يه1 وظل يه ظل يه1 = ميل المماس في ن1

 لكن                           إذن عَ س يمثل ميل المماس في النقطة ن1 التي فاصلتها س والتي هي نقطة التماس.

من المثلث القائم  يلاحظ أن = (ظل يه) × ∆ س = عَ س . س = تفا ع. إذن تفا ع = وق = الفرق بين ترتيبي نقطتين من المماس المار بـ ن1، فاصلة أولاهما س وفاصلة الأخرى س + س. ويلاحظ هنا بسهولة أنه كلما كان س صغيراً كان

 

لذا يعد تفاع قيمة تقريبية لـ ع بارتياب قدره  ويغدو هذا الارتياب صغيراً كلما كان س صغيراً.

خواص التفاضل

1 ـ إن تفا ع يكافئ التزايد ع وذلك عندما يكون تفا س = س لامتناهياً في الصغر.

في الواقع إذا كان ع = د (س) و عَ = دَ (س) ¹ .

وتسعى هذه النسبة إلى الواحد عندما تسعى  ∆س إلى الصفر. هذا ما يعبر عنه

 وبقولنا إن ع يكافئ تفا ع أو إن تفا ع يكافئ ع عندما يكون س لامتناهياً في الصغر.

2 ـ إذا كانت الدالة ع = د (س) فإن تفا ع = عَ تفا س. ويبقى هذا الدستور صالحاً حتى لو لم يكن س المتغير المستقل. فلو كان س = د1(ز) دالة اشتقاقية في المتحول (المتغير) ز، لكان تفا س = سَز تفا ز ولغدا تفاع = عَس تفا س = عَس . سَز تفا ز = عَز تفا ز (استناداً إلى قاعدة مشتق تركيب دالتين). وعليه فإن تفاع = عَز تفا ز. ويمكن النظر إلى هذه الصيغة وكأنها نتجت بتطبيق تعريف التفاضل مباشرة على الدالة

ع = (د o د1) (ز). تدعى هذه الخاصة خاصة الصمود invariance، صمود صيغة التفاضل الأول لدالة أمام تغيير المتحول. وفي الواقع، فإن خاصة «الصمود» هذه جعلت التفاضل أكثر أهمية وفائدة في التطبيقات.

3 ـ تعطي قواعدُ الاشتقاق لدوال بمتغير واحد، قواعدَ التفاضل الآتية:

تفا (سم) = م سم-1 تفا س

تفا (ص + ع) = تفا ص + تفا ع حيث ص و ع دالتان اشتقاقيتان في المتغير س.

تفا (ص ع) = ع تفا ص + ص تفا ع (قاعدة تفاضل جداء).

تفا (تا(ص)) = تاَص (ص) . تفا ص، حيث تا (ص) دالة في ص

مثال:ع = قوس ظل (3س + 5)  Ü

4 ـ التفاضل من مرتبة ن £ ن2:

يدعى تفاع = عَس تفاس التفاضل الأول في س للدالة ع = د (س). وعندما تكون الدالة ع = د (س) قابلة للاشتقاق ن مرة، فيمكن تعريف التفاضل الثاني لهذه الدالة ثم، تدريجياً، التفاضل من المرتبة ن وهكذا..

تفا2 ع = تفا (تفا ع) = تفا (عَس × تفا س)

        = تفا (عَس) × تفا س + عَس × تفا (تفا س) بحسب قاعدة تفاضل الجداء

       = (عَس)/س تفاس × تفاس + عَس تفا2 س

       = عًس2 (تفا س)2 + عَ س تفا2 س

فإذا كان س هو المتغير المستقل عُدّ تفا2 س = 0 ويغدو الدستور السابق على الشكل

تفا2 ع = عًس2 (تفا س)2 التي تكتب عادة بالصيغة

تفا2 ع = عً (تفا س)2 = عً تفا س2

هذا ويعرف تفان ع كما يأتي: تفان ع = تفا (تفان-1 ع). وتقدم التفاضلات من رتبة ما، عندما يكون س هو المتغير المستقل، ترميزاً للمشتقات المتتالية للدالة

ع = د (س) من قبيل

تطبيقات التفاضل لدالة لِمتغير واحد

إن تطبيقات التفاضل واسعة، وفيما يلي بعض هذه التطبيقات:

 1ـ استخدام التفاضل في حساب القيم التقريبية لتزايد دالة ع = د (س) في نقطة س وفي حساب قيمة تقريبية للدالة المذكورة في نقطة س0 + س مجاورة لـ س.، حيث نقطة يسهل حساب قيمة الدالة د (س0). ومفتاح هذا الأمر هو استبدال تفا ع بـ ع، ذلك أن

د (س + س) - د (س) = ع » تفا ع

إذن د (س + س) = د (س) + ع » د (س) + تفا ع = د (س) + دَ (س) تفا س ولعل الأمثلة التالية توضح ذلك.

أ ـ لحساب القيمة التقريبية لزيادة سطح صفيحة معدنية مربعة طول ضلعها س = 10سم تعرضت للحرارة فزاد طول ضلعها بمقدار

تفا س = س = 0.0001 سم، تُصطنع الدالة ع = س2= مساحة الصفيحة، فتكون الزيادة المطلوبة

ع » تفا ع = عَس تفا س = عَس س إذاً

ع »  س 2 س تفا س =2 × 10 × 0.0001=0.002 سم2

ب ـ لحساب قيمة تقريبية لـ  باستخدام مفهوم التفاضل تصطنع الدالة . فإذا افترضنا س = 27  و س = -2 فإن

2 ـ استخدام مفهوم التفاضل في حساب ميل المماس لمنحن معطى وسيطياً. مثال ذلك:

إذا كان س = ب تجب3 ز، ع = ب حب3 ز معادلتين وسيطيتين لمنحن، فإن ميل المماس 

 يعطى بالمساواة:

3 ـ استخدام التفاضل في حساب المعدلات:

إذا كانت ع = د (س) دالة في المتغير س، وإذا كانت س نفسها دالة في المتغير ز: س= تا (ز) فإن   يدعى سرعة تغير الدالة س أو معدل تغير س. وهكذا يدعى  معدل تغير (أو تزايد) الدالة ع، ويكون علينا في مسائِل المعدلات حساب أحد المعدلين عَز أو سَز عند معرفة الآخر ومفتاح ذلك هو الدستور

. مثال ذلك توضحه المسألة التالية:

إذا ازداد طول حرف مكعب بمعدل 0.02سم/ثا، فما هو معدل تزايد حجمه حم عندما يكون طول حرفه س = 10سم.

فلحلها يقال إن حم = س3، إذن تفا حم = 3 س2 تفا س، إذن

 نجد

4 ـ استخدام التفاضل في حل المعادلات التفاضلية

ومفتاح ذلك هو استخدام خاصة صمود التفاضل أمام تغيير المتحولات، وهي خاصة يكثر استخدامها في حساب التكاملات وفي حل المعادلات التفاضلية. وهكذا فلو أخذت المعادلة التفاضلية س2عً + س عَ + ع =0 وأجري تغيير في المتحول وفق العلاقة س = eز، فستجد أن

وبالاشتقاق ثانيةً بالنسبة إلى ز نجد ع. . = س2 عً + س عَ، لذا تغدو المعادلة التفاضلية السابقة بالشكل ع. . + ع = 0، وهي معادلة حلها سهل وهو

ع= أ تجب ز + ب جب ز= أ تجب (لغ س) + ب جب (لغ س) حيث (أ) و(ب) ثابتان كيفيان.

تفاضل دالة لعدة متغيرات

ـ إذا كانت ف = تا (س، ع، ص) دلالة للمتغيرات المستقلة س،ع، ص، فإن تفاضلها التام أو الكلي تعريفاً هو

تفا ف = فَس تفا س + فَع تفا ع + فَص تفا ص. ويفترض هذا التعريف وجود المشتقات الجزئية فَس ، فَع ، فَص حيث

ولـ فَع عبارة مشابهة وكذلك لـ فَص. يلاحظ أنه في أي عملية اشتقاق جزئي بالنسبة إلى متغير ينظر إلى بقية المتغيرات على أنها ثابتة ويشتق بالنسبة إلى المتغير المعتبر. فمثلاً لو كان

إذا كانت ف = تا (س، ع، ص) = س2+ ع2+ ص2ع كان تفاضلها الكلي

تفا ف = 2س تفا س + (2ع + ص2) تفا ع + 2ص ع تفا ص

ويقال عن الدالة ف = تا (س، ع، ص) إنها من الصف الأول على منطلقها إذا كانت الدوال

مستمرة

إن كل ما ذكر يمكن تعميمه عندما تكون ف دالة في ن متغيراً مستقلاً حيث ن £ ن2

فإذا كانت

خواص التفاضل التام

خاصة الصمود للتفاضل التام

 إذا كانت ف = تا(س، ع، ص) دالة لِمتغيرات ثلاثة س، ع، ص، فإن تفا ف كما نعلم هو:

تفا ف = فَس تفا س + فَع تفا ع + فَص تفا ص

ويحافظ على هذه الصيغة حتى ولو كانت المتغيرات س، ع، ص تتبع بدورها متغيرات أخرى، فمثلاً لو كان

س = د1(ق، ك)، ع = د2(ق، ك)، ص = د3(ق، ك) حيث ق، ك متغيران مستقلان لكان

تفا س = سَق تفا ق + سَك تفا ك، تفا ع= عَق تفا ق + عَك تفا ك، تفا ص= صَق تفا ق+ فَك تفا ك

وسيكون تفا ف = فَق تفا ق + فَك تفا ك، علماً بأن فَق = فَس سَق + فَع عَق + فَص صَق، ولـ فَك عبارة مشابهة.

التفاضلات الجزئية من المرتبة ن 2

سيُقتصر على ن = 2 وعلى دالة لمتغيرين فإذا كانت ص = تا (س، ع) رمزاً لدالة لِمتغيرين س و ع، وإذا افترضنا أن المشتقات الجزئية

 موجودة ومستمرة، فيعرف تفا2ص  على أنه تفا (تفا ص)، وبعد الحساب يكون

تفا2 ص = صً س2 (تفا س)2+ 2صً س ع تفا س تفا ع +صً ع2 (تفا ع)2

وقد تكتب على الشكل:               

ـ الشرط اللازم والكافي لكي يكون الشكل التفاضلي:

ى = ق (س، ع) تفا س + ك (س، ع) تفا ع تفاضلاً تاماً لدالة ص = تا (س، ع) هو أن يتحقق ما يلي: قَع = كَس،

فمثلاً ى = 3س تفا ع + 3ع تفا س هو تفاضل تام لـ ص = 3 س ع.

متسلسلة تايلور: توجد في التحليل الرياضي أداة عالية الفعالية في إجراء البحوث فيه، وهي متسلسلة تايلور Taylor series. فإذا وجد للدالة تا ]أ، ب[ ح مشتقات مستمرة في جوار النقطة س0 ' ]أ، ب[ حتى المرتبة ن، بما فيها ن، فمن الممكن تقريب هذه الدالة في هذا الجوار بحدودية (كثير حدود).

يسمى حدودية تايلور (من الدرجة ن) وفق قوي س- س0، وهكذا فإن تا (س) » حن (س).

عند ذلك، فإن خطأ التقريب نقن (س) = تا (س) – حن (س) 0 عندما س س0 على نحو أسرع من (س- س0)ن.

وهكذا فإن الدالة تا يمكن تقريبها في جوار النقطة س0 بأي درجة من الدقة بدالة بسيطة جداً (حدودية) لا يتطلب حسابها سوى إجراء عمليات حسابية: جمع وطرح وضرب.

ثمة دوال تحظى بأهمية خاصة في التحليل الرياضي تسمى الدوال التحليلية analytic functions في جوار النقطة س0، وهي دوال لها عدد غير منته من المشتقات في النقطة س0 وتحقق الشرط نقن (س) 0 عندما ن ¥ . ويمكن تمثيل هذه الدوال بمتسلسلات قوى غير منتهية تسمى متسلسلات تايلور في جوار النقطة س0، أي إن:

ويرد حدوديات تايلور ومتسلسلات تايلور لدوال حقيقية لعدة متغيرات عند توافر شروط محددة. كذلك يمكن تعريف الحدوديات المتسلسلات هذه للداليات والمؤثرات.

القيم القصوى لدالة: لتكن تا دالة حقيقية معرفة على مجموعة جزئية أ من حن ا£ ا 0). تسمى ب ' أ نقطة قيمة عظمى نسبية (صغرى نسبية) للدالة تا إذا وجد جوار (جو) للنقطة ب محتوىً في أ بحيث يكون تا(س) ³ تا(ب)، (تا(س) £ تا(ب)) أيا كان س ' جو. وإذا كانت ب نقطة قيمة عظمى نسبية أو صغرى نسبية للدالة تا، فإنها تسمى نقطة قيمة قصوى نسبية لهذه الدالة.

وإذا كانت جميع المشتقات الجزئية الأولى للدالة تا (س) = تا (س1،...، سن) موجودة في نقطة ب = (ب1،...، بن) داخلية في أ، وكانت ب نقطة قيمة قصوى نسبية، فعندئذٍ تكون ب نقطة حرجة critic point للدالة تا، أي إنها نقطة تتحقق في حالها المساويات:

إن عكس هذه الدعوى غير صحيح في الحالة العامة. بيد أنه ترد المبرهنة التالية:

مبرهنة (القيم القصوى النسبية للدالة): لتكن تا (س) = تا (س1،...، سن) دالة حقيقية معرفة على مجموعة جزئية أ من حن1 1£ س1) ولنفترض أنّ لهذه الدالة مشتقات جزئية مستمرة حتى المرتبة الثانية على أ. لتكن ب ' أ نقطة حرجة للدالة تا، ولنرمز بالرمز ف رل للمقدار

 فكي تكون ب نقطة قيمة صغرى نسبية للدالة تا يكفي أن تكون المعينات ن1، ن2، ...، نم موجبة جميعاً. وكي تكون ب نقطة قيمة صغرى نسبية للدالة تا يكفي أن تكون هذه المعينات متناوبة الإشارة وأن يكون ن1= ف11 > ن0

(لاحظ أن دراسة القيم القصوى لدالة حقيقية لمتغير حقيقي واحد حالة خاصة من هذه المبرهنة).

محمد بشير قابيل

 

 الموضوعات ذات الصلة:

 

التحليل التوليفي ـ التكامل.

 

 مراجع للاستزادة:

 

ـ عادل سودان وموفق دعبول، التفاضل (مؤسسة الرسالة).

- P.Thuiliers et J.C.Belloc, Mathematiques-Analyse, timeI.


التصنيف : الرياضيات و الفلك
النوع : علوم
المجلد: المجلد السادس
رقم الصفحة ضمن المجلد : 688
مشاركة :

اترك تعليقك



آخر أخبار الهيئة :

البحوث الأكثر قراءة

هل تعلم ؟؟

عدد الزوار حاليا : 1097
الكل : 57140002
اليوم : 96403

الكفالة (عقد-)

الكفالة (عقد -)   الكفالة bail عقد بمقتضاه يكفل شخص تنفيذ التزام بأن يتعهد للدائن بأن يفي بهذا الالتزام إذا لم يف به المدين نفسه. فالكفالة إذاً عقد ويتوقف انعقادها على وجود إرادتين هما إرادة الكفيل وإرادة الدائن. ومحلها تنفيذ التزام قائم في ذمة المدين المكفول أياً كان محل هذا الالتزام، سواء أكان مبلغاً من النقود أم القيام بعمل أم الامتناع عن عمل. فإن كان محل الالتزام المكفول مبلغاً من النقود وجب على الكفيل وفاء هذا المبلغ. أما إن كان محله عملاً أو امتناعاً وجب عليه أن يدفع ما قد يُحكم به على المدين تعويضاً عن إخلاله بتنفيذ الالتزام، ويمكن أن يكون الكفيل شخصاً طبيعياً أو اعتبارياً. وهي عقد منجز لا يتوقف وجودها على عدم قيام المدين بالوفاء بالتزامه، إنما يكون التزام الكفيل تابعاً لالتزام المدين، فإذا وفى هذا الأخير بالتزامه المكفول لم يبق ثمة محل لالتزام الكفيل بحيث ينقضي بانقضاء الالتزام المكفول.
المزيد »