logo

logo

logo

logo

logo

المنطق الرياضي

منطق رياضي

Mathematical logic - Logique mathématique

المنطق الرياضي

 

 

الرياضيات والمنطق علمان متداخلان كل منهما يبرهن على صحة الآخر، لذا كان تطورهما متلازماً، وإن كان ذلك وفق منحيين مستقلين يتقاطعان أحياناً ويتباعدان أحياناً أخرى. والصلة بينهما هي صلة استغراق الرياضيات كلها في المنطق وارتدادها إليه بحيث لا يمكن تعلم أمر في الرياضيات غير منطقي، وهذا ما بيّنه برتراند راسل B.Russell في أبحاثه في المنطق الرياضي Mathematical Logic.

يعدّ الفيلسوف الإغريقي أرسطو[ر] Aristotle ت(384-322ق.م) مؤسساً لنظرية الاستنتاج المنطقي. ويُعرّف المنطق المجرد، كما ورد في القاموس الفلسفي لـ أندريه لالاند A.Lalande، بأنه اتفاق الفكر مع نفسه واتفاقه مع الواقع، وغرضه البحث عن القوانين التي يتم بها هذا الاتفاق المزدوج. أما المنطق الرياضي فيُعرَّف فلسفياً بأنه نظرية استنباطية (استنتاجية) لقوانين الاستنباط، ورياضياً هو أحد فروع علم الرياضيات الذي يتعامل مع العبارات الرياضية ويحاول بيان كيفية دمجها معاً للخروج بعبارات رياضية جديدة مكوَّنةً من العبارات الأولية أو الأساسية. والمقصود بالعبارة الرياضية الأولية هي جملة مفيدة ذات معنى. وقد تستخدم في كتابتها الرموز الرياضية، مثلاً 2+5 =7 عبارة رياضية أولية.

يلاحظ مما سبق أن المنطق الرياضي هو فرع من الرياضيات يهتم باستخدام الرموز المنطقية (أدوات الربط المنطقية). وهي رموز يتم بوساطتها ربط العبارات المنطقية بعضها ببعض للحصول على عبارات منطقية جديدة.

من أهم الرموز المنطقية المستخدمة: النفي negation ويرمز لها بـ «ì»  أو «- » ، الوصل conjunction ويقابل حرف العطف «و» ويرمز لها بالرمز ، الفصل disjunction وتقابل حرف العطف «أو» ويرمز لها بـ ، الشرط condition ويعبَّر عنها بـ «إذا ... فإن ...» ويرمز لها بـ وتُقرأ «يقضي»، ثنائي الشرط bicondition ويعبَّر عنها «إذا و إذا فقط»، ويرمز لها بـ وتقرأ «تكافئ».

تستخدم في المنطق الرياضي جداول خاصة تعرف باسم جداول الحقيقة، وهي تهدف إلى إثبات صحة قضية رياضية ما أو عدم صحتها. وتعدّ جداول الحقيقة الطريقة الحسابية الأسهل والأضمن لإيجاد قيم الحقيقة للعبارة الرياضية من أجل جميع احتمالات قيم الحقيقة.

حقق المنطق الرياضي قفزة نوعية متميزة عندما استعملت الطرائق الرياضية في دراسته، ولعل الرياضي الألماني لايبنتز [ر] Leibniz ت(1646-1716) هو أول من عرض المنطق على شكل حساب جبري. أما المنطق الرياضي كفرع من فروع الرياضيات فقد ظهر في أواسط القرن التاسع عشر نتيجة لأبحاث الرياضي الإنكليزي جورج بُوُل G.Boole ت(1815-1864) الذي حاول تقديم أساس جبري للمنطق، مستفيداً من أعمال الرياضي الإنكليزي ديمورغان De Morgan ت(1806-1878) باستخدام الرموز للتعبير عن القضايا والتي لا تقبل سوى قيمتين للحقيقة وهما: «صح» أو «خطأ» ورمّز العلاقات التي تربط هذه القضايا برموز خاصة. وحصل بذلك على بنية جبرية حملت اسمه «جبر بُوُل» أو «جبر المنطق».

يقوم المنطق الرياضي على ثلاث قواعد أساسية هي:

1ـ مبدأ «ثنائية القيمة»: حيث لا يقبل المنطق الرياضي سوى قيمتين للحقيقة هما «صح» أو «خطأ» لكل القضايا التي يدرسها. ويُعبّر في جبر المنطق عن هاتين القيمتين بالرمزين «1» و «0» على الترتيب.

2ـ مبدأ «الثالث المُسْتَبْعَد»: وهو يستبعد حالة الوسط بين الوجود واللاوجود. فإذا كانت ج قضية ما، فإنه إما أن تكون ج صحيحة أو أن يكون نفيها ج صحيحاً.

3ـ مبدأ «عدم التناقض»: وهو يؤكد استحالة وقوع الحدث ونفيه في آن واحد.

ولابد من الإشارة إلى أن موضوعات المنطق الرياضي ذات أهمية كبرى في الميادين العلمية المختلفة. ولا غنى لمصممي البرامج وللعاملين في مجالات لغات البرمجة والذكاء الصنعي والدارات الكهربائية والدارات المنطقية والدارات التجميعية عن تعرّف مفاهيم المنطق الرياضي ودراستها دراسة معمقة.

صفوان عويرة

 

 الموضوعات ذات الصلة:

 

المجموعة.

 

 مراجع للاستزادة:

 

ـ محمد ثابت الفندي، أصول المنطق الرياضي (بيروت 1973).

- B.H.ARNOLD, Logic and Boolean Algebra (2002).


التصنيف : الرياضيات و الفلك
النوع : علوم
المجلد: المجلد التاسع عشر
رقم الصفحة ضمن المجلد : 607
مشاركة :

اترك تعليقك



آخر أخبار الهيئة :

البحوث الأكثر قراءة

هل تعلم ؟؟

عدد الزوار حاليا : 72
الكل : 12528956
اليوم : 4339

الصمود الرياضي

الصمود الرياضي   يعبِّر الصمود، أو اللاتغيّر الرياضياتي mathematical invariance عن وجود خصائص فيزيائية ثابتة لاتتغيّر عند إجراء بعض التحويلات، ويرتبط هذا المفهوم بشكل وثيق مع مبادئ التناظر التي تؤدي دوراً أساسياً في الفيزياء، حيث يتحدّد ديناميك المنظومة المدروسة إلى حدّ بعيد من خلال خصائصها التناظرية.
المزيد »