المحدد
محدد
Determinant - Déterminant
المحدِّد
إن نظرية المحدِّدات determinants ذات صلة قوية بنظرية المصفوفات[ر]، كما أن بدايات النظريتين تعود إلى نهاية القرن السابع عشر وبداية القرن الثامن عشر؛ متزامنة مع دراسة حل جملة معادلات خطية. وقد أسهم كثيرون من علماء الرياضيات في تطوير هاتين النظريتين، منهم ليبنتز Leibniz وكرامر Cramer وماكلوران Maclaurin وبيزو Bézout وفاندرموند Vandermonde ولاغرانج Lagrange ولابلاس Pierre Simon Laplaceمابين (1749-1827) الذي أعطاه التعريف التراجعي الآتي: إذا كانت Mn(F) مجموعة كل المصفوفات المربعة ذات المرتبة n المعرفة على حقل F، فإن:
المحدِّد (المُعَين) من المرتبة n هو التطبيق (الدالة):
المعرّف كما يلي:
1) إذا كانت n = 1 كانت المصفوفة A = [a11] وكان محدِّدها det A = a11.
2) إذا كانت n > 1 كان محدِّد المصفوفة A =[aij] هو:
det A = a11 det A11 - a12 det A12 + a13 det A13 - … + (-1) n+1 a1n det A1n
حيث الرمز Aij يعني المصفوفة الجزئية من A؛ والناتجة من حذف السطر i والعمود j من المصفوفة A.
يعطي هذا التعريف معنى للمحدِّد من المرتبة (n > 1) n بدلالة المحدِّد من المرتبة (n – 1) وهكذا بصورة تراجعية ...
كما يرمز غالبًا لمحدِّد المصفوفة A = [aij] بالرمز |aij|؛ أي إن det [aij] يكتب |aij|.
إن العلاقة التي استخدمت لتعريف قيمة المحدِّد det A يمكن تسميتها عملية نشر المحدِّد وفق سطره الأول. ويمكن البرهان على أن قيمة المحدِّد لا تتغير إذا نُشر بالنسبة لأي سطر من أسطره، أو أي عمود من أعمدته. أي إنه إذا كانت A = [aij] مصفوفة مربعة من المرتبة n على حقل F )أي (A Î Mn(F) كان:
مثال (1) : آ) إن محدِّد المصفوفة A = [- 5] هو det A = - 5.
ب) محدِّد المصفوفة
ج) محدِّد المصفوفة
خواص المحدِّدات
(1) إذا كانت A = [aij] مصفوفة مربعة من المرتبة n على حقل F )أي (A Î Mn(F)، وكانت B المصفوفة الناتجة من A بعد ضرب أحد أسطرها (أو أحد أعمدتها) بعدد λ من F (أي λ Î F)؛ فإن:
det B = λ det A.
مثال (2): إذا كانت
هي المصفوفة الناتجة من A بعد ضرب عمودها الأول بالعدد (- 2) فإن det A = - 39 وdet B = (-2) (- 39) = 78.
(2) يمكن إخراج عامل مشترك بين عناصر سطر (أو عمود) في محدِّد، خارج المحدِّد.
(3) إذا كانت A = [aij] مصفوفة مربعة من المرتبة n على حقل F، وكانت λ من F (أي λ Î F) فإن: det (λA) = λn. det A.
مثال (3):
حيث تم أولاً إخراج العامل المشترك (2) من العمود الأول، ثم إخراج العامل المشترك (11) من السطر الثاني، ثم إخراج العامل المشترك (-5) من السطر الأول والعامل المشترك (3) من العمود الثاني.
(4) إذا تم التبادل بين سطرين (عمودين) مختلفين في مصفوفة A، فنتجت مصفوفة B؛ فإن: det B = - det A (أي إن التبادل بين سطرين أو عمودين يغير إشارة الناتج).
مثال (4): إن
(5) إذا تساوى سطران ( أو عمودان ) في مصفوفة A؛ فإن det A = 0 .
مثال (5): إن
(6) إذا تناسب سطران ( أو عمودان ) في مصفوفة A فإن det A = 0.
مثال (6): إن
(7) إذا كانت A = [aij] وB = [bij] وC = [cij] ثلاث مصفوفات من Mn(F) لها العناصر نفسها؛ عدا عناصر السطر k في كل منها (أو عمود)، حيث:
akj = λ bkj + m ckj ; j = 1, 2, 3, … , n ; λ, m ε F
فإن det A = λ .det B + m .det C .
مثال (7): إن
(8) إذا أضفنا إلى سطر (عمود) مضاعف سطر (عمود) آخر في محدِّد؛ لا تتغير قيمته.
مثال (8): إن
(9) إذا حوى محدِّد على سطر (عمود) صفري؛ فإن المحدِّد يساوي الصفر.
(10) إذا كانت A = [aij] مصفوفة مربعة من المرتبة n على حقل F، فإن محدِّد المصفوفة A يساوي محدِّد منقولها AT. (أي det A = det AT).
مثال (9): إن
محدِّد مصفوفة مثلثية
يقال عن مصفوفة مربعة: إنها مثلثية عليا إذا كانت جميع عناصرها الواقعة تحت قطرها الرئيسي تساوي الصفر.
أي إن المصفوفة المربعة A = [aij] مثلثية عليا إذا كان aij = 0 لكل i > j.
ويقال عن مصفوفة مربعة إنها مثلثية دنيا إذا كانت جميع عناصرها الواقعة فوق قطرها الرئيسي تساوي الصفر. (عناصر القطر الرئيسي هي aii حيث i = 1, 2, …, n).
أي أن المصفوفة المربعة A = [aij] مثلثية دنيا إذا كانت aij = 0 لكل i < j.
مثال (10):
محدِّد مصفوفة مثلثية (عليا أو دنيا) يساوي حاصل جداء عناصر قطرها الرئيسي.
مثال (11):
تطبيقات المحدِّدات في حساب المساحات والحجوم
أ ) في حساب المساحات
ليكن المثلث ABC المرسوم في المستوي المنسوب للجملة الإحداثية المتعامدة oxy. ولتكن A (a1, a2) وB (b1, b2) وC (c1, c2). من المعلوم أن مساحة هذا المثلث هي نصف القيمة المطلقة للجداء المتجهي
ومن تعريف الجداء المتجهي (الخارجي) [ر. المتجه] تكون المساحة:
|
الشكل (1) |
مثال (12): إن مساحة متوازي الأضلاع ABCD حيث :
D (- 2, 9) وB (7, 5) و A (- 5, 2)
|
الشكل (2) |
مثال (13): إن مساحة الشكل الرباعي ABCD حيث: A (3, 1) وB (16, 4) وC (13, 9) وD (6, 10) هي مجموع مساحتي المثلثين ABC وACD ومن ثم فمساحة الشكل الرباعي هي:
|
الشكل (3) |
ب ) في حسابات الحجوم
ليكن متوازي السطوح ABGCDEFH المرسوم في الفراغ المنسوب للجملة الإحداثية المتعامدة oxyz. ولتكن: A (a1, a2, a3) وB (b1, b2, b3) وC (c1, c2, c3) وD (d1, d2, d3). إن حجم متوازي الشطوح هو القيمة المطلقة للجداء المختلط
|
الشكل (4) |
مثال (14): إن حجم متوازي السطوح ABCDA’B’C’D’ حيث: A (1, 10, 2) وB (-3, 18, 7) وA’ (-2, 5, 10) وD (-8, 12, 5)
تطبيقات المحدِّدات في حل جملة معادلات خطية
إن كل معادلة من الشكل a1x1 + a2x2 + … + anxn = b، حيث a1, a2, …, an, b تنتمي لحقل F تدعى معادلة خطية على F في المتحولات x1, x2, …, xn.
إن مجموعة المعادلات الخطية:
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
an1x1 + an2x2 + … + annxn = bn
المؤلفة من m معادلة خطية ذات n مجهول تدعى جملة معادلات خطية.
وقد استخدم الرياضي كرامر Gabriel Cramer مابين(1704-1752) المحدِّدات في إيجاد الحلول لجملة معادلات خطية ذات عدد من المجاهيل يساوي عدد المعادلات.
طريقة كرامر في حل جملة n معادلة خطية في n مجهول
لحل جملة n معادلة خطية ذات n مجهول
ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn = bi ; i = 1. 2. …. n
يحسب محدِّد مصفوفة الأمثال:
فإذا كانت ت م 0 ¹ D فإن للجملة حلاً وحيداً:
حيث ∆i هو محدِّد المصفوفة Ai الناتجة عن مصفوفة الأمثال A بعد حذف عمودها i وإبداله بالعمود [b1 b2 … bn]T.
فمثلاً لحل جملة المعادلتين الخطيتين:
a x + b y = c
a’ x + b’ x = c’
يحسب محدِّد الأمثال
فإذا كان م 0 ¹ D ، يحسب كل من المحددِّين
ويكون للجملة حل وحيد
أما إذا كان م 0 = D فنميز حالتين:
فيوجد عدد لا نهائي من الحلول إذ أن المعادلتين غير مستقلتين في هذه الحالة، فهناك معادلة واحدة فقط، ومن ثم يوجد مجهول اختياري؛ والآخر يحسب بدلالته، فمجموعة الحل هي:
{(α, β) Î R2 : α a + β b = c}.
فالجملة مستحيلة الحل، ومجموعة الحل هي المجموعة الخالية f.
مثال (15): لحل جملة المعادلتين الخطيتين:
X3x + 2 y = 0 وx15x + 3 y = 19n
نحسب محدِّد الأمثال
ثم نحسب كلاً من :
ويكون للجملة حل وحيد:
مثال (16): لحل جملة المعادلتين الخطيتين:
X3x - 2 y = 5 وx15x - 10 y = 9n
نحسب محدِّد الأمثال
ثم نحسب كلاً من :
فالجملة مستحيلة الحل، ومجموعة الحل هي f.
وهذا واضح لأنه إذا ضُرِب طرفا المعادلة
x3x - 2 y = 5 بالعدد 5؛ فينتج x15x - 10 y = 25 ومن المعادلتين نجد أن 25 = 9 وهذا مستحيل .
مثال (17): لحل جملة المعادلات الخطية:
x - z = 4
x2x + y - z = 4
x + 2y + 5z = 8
نحسب محدِّد الأمثال
فنحسب كلاً من:
فللجملة حل وحيد:
مثال (18): لحل جملة المعادلات الخطية:
x + 2y + 3z - 2u = 6
x2x - y - 2z - 3u = 8
x3x + 2y - z + 2u = 4
x2x - 3y + 2z + u = - 8
نحسب محدِّد الأمثال:
حيث ضُرب السطر الأول بالعدد -2، وجُمع للسطر الثاني، ثم ضُرب السطر الأول بالعدد -3، وجُمع للسطر الثالث، ثم ضُرب السطر الأول بالعدد -2، وجُمع للسطر الرابع، ونُشر بعد ذلك بالنسبة للعمود الأول؛ فنتج محدِّد ثلاثي، إذا نُشر تم الحصول على الجواب.
وبما أن م 0 ¹ D تفيُحسب كل من المحدِّدات:
أنور توفيق اللحام
الموضوعات ذات الصلة: |
المتجه ـ المصفوفات.
مراجع للاستزادة: |
ـ إلهام الحمصي، الجبر 2 (منشورات جامعة دمشق، 1984).
- HAROLD M. EDWARDS, Linear Algebra (Springer 1994).
- L. W. JOHNSON, R. D. RIESS and J. T. ARNOLD, Introduction to Linear Algebra (Addison-Wesley 2003).
- BERNARD KOLMAN and DAVID HILL, Elementary Linear Algebra (Prentice- Hall 2004).
التصنيف : الرياضيات و الفلك
النوع : علوم
المجلد: المجلد السابع عشر
رقم الصفحة ضمن المجلد : 885
مشاركة :اترك تعليقك
آخر أخبار الهيئة :
- صدور المجلد الثامن من موسوعة الآثار في سورية
- توصيات مجلس الإدارة
- صدور المجلد الثامن عشر من الموسوعة الطبية
- إعلان..وافق مجلس إدارة هيئة الموسوعة العربية على وقف النشر الورقي لموسوعة العلوم والتقانات، ليصبح إلكترونياً فقط. وقد باشرت الموسوعة بنشر بحوث المجلد التاسع على الموقع مع بداية شهر تشرين الثاني / أكتوبر 2023.
- الدكتورة سندس محمد سعيد الحلبي مدير عام لهيئة الموسوعة العربية تكليفاً
- دار الفكر الموزع الحصري لمنشورات هيئة الموسوعة العربية
البحوث الأكثر قراءة
هل تعلم ؟؟
الكل : 57133883
اليوم : 90284
المجلدات الصادرة عن الموسوعة العربية :
-
المجلد الأول
-
المجلد الثاني
-
المجلد الثالث
-
المجلد الرابع
-
المجلد الخامس
-
المجلد السادس
-
المجلد السابع
-
المجلدالثامن
-
المجلد التاسع
-
المجلد العاشر
-
المجلد الحادي عشر
-
المجلد الثاني عشر
-
المجلد الثالث عشر
-
المجلد الرابع عشر
-
المجلد الخامس عشر
-
المجلد السادس عشر
-
المجلد السابع عشر
-
المجلد الثامن عشر
-
المجلد التاسع عشر
-
المجلد العشرون
-
المجلد الواحد والعشرون
-
المجلد الثاني والعشرون