logo

logo

الجبر ونظرية الأعداد | الأعداد الصحيحة

اعداد صحيحه

Integers - Entiers relatifs

 الأعداد الصحيحة

الأعداد الصحيحة

بناء الأعداد الصحيحة

خصائص الأعداد الصحيحة

 

برزت مجموعة الأعداد الصحيحة integers ويرمز إليها الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138302.jpg نتيجة الحاجة إلى حل معادلات رياضية من الشكل: الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138284.jpg التي ليس لها دوماً حل في مجموعة الأعداد الطبيعية الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138294.jpg، وتتكون المجموعة الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image1383021.jpg من الأعداد الطبيعية ومن الأعداد السالبة الخالية من الكسور العادية أو العشرية، أي إن الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image481050.jpg 

بناء الأعداد الصحيحة:

ليكن الجداء الديكارتي Cartesian product:

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image491536.jpg .

تُعّرفُ على هذه المجموعة العلاقة relation الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138327.jpg كما يأتي: الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138334.jpg إذا وفقط إذا كان الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138352.jpg، وهي علاقة تكافؤ equivalence relation لذلك فهي تجزئ الجداء الديكارتيالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138359.jpg إلى صفوف تكافؤ، وتسمى مجموعة صفوف التكافؤ هذه بمجموعة الأعداد الصحيحة، ويرمز لصف تكافؤ الزوجالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138369.jpg بالرمز الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138377.jpg وهو يمثل عدداً صحيحاً هوناتج الطرح الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138387.jpg.

يُبين هذا المفهوم ماهية الاستخدام السائد للأعداد الصحيحة، فعلى سبيل المثال:

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138414.jpg

يُستعمل a عموماً للتعبير عن الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138421.jpg كما يستعمل –a للتعبير عنالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138428.jpg .

 الجمع على الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138438.jpg : يُعرّف مجموع عددين صحيحين الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image499058.jpg بالشكل:

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image502031.jpg

وهذه العملية تبادلية وتجميعية ولها عنصر محايد هوالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138462.jpg .

ولكل عدد الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138470.jpg نظير جمعي الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138480.jpg، أي إن الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138488.jpg

- الضرب علىالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138498.jpg:

يُعرّف الضرب علىالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138506.jpg بالشكل:

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image451131.jpg

وعملية الضرب تبادلية وتجميعية وقابلة للتوزيع على الجمع من اليمين واليسار، ولها عنصر محايد هو الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image461595.jpg .

حلقة الأعداد الصحيحة ring of integers:

تشكل المجموعة الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138529.jpg بالنسبة إلى عمليتي الجمع والضرب حلقة واحدية تبادلية خالية من قواسم الصفر يرمز لها بالرمزالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138537.jpg، وعليه فإنها منطقة تكامليةintegral domain . يُقصدُ بالحلقة الواحدية ring with identity، الحلقة التي تملك عنصراً محايداً بالنسبة إلى عملية الضرب، وتسمى الحلقة تبادلية إذا كانت عملية الضرب تبادلية، وأما القولإن الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138544.jpg خالية من قواسم الصفر فلأنها تحقق الآتي:

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image465998.jpg

خصائص الأعداد الصحيحة:

يُفضل التعامل مع الاستخدام السائد للأعداد الصحيحة عند دراسة خصائصها. وفيما يأتي أهم خصائص الأعداد الصحيحة:

-1 علاقة الترتيب على الأعداد الصحيحة: تُعرّفُ على المجموعة الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138561.jpg علاقة الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138571.jpg بالشكل الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138579.jpg إذا وفقط إذا كان b-a عدداً صحيحاً موجباً أو a=b ، وهذه علاقة ترتيب لأنها منعكسة ومتعدية ومتخالفة، كما تُعرّفُ على الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138589.jpgعلاقة ترتيب دقيقة  الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138597.jpg بالشكل:الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138604.jpg إذا وفقط إذا كان b-a عدداً صحيحاً موجباً.

2- القسمة في الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138611.jpg: تُعدُّ مجموعة الأعداد الصحيحة غير مغلقة بالنسبة إلى عملية القسمة، ولكن يمكن لبعض الأعداد الصحيحة أن يقسم أحدها الآخر وينتج في هذه الحالة خصائص مهمة، ولهذا يبين الآتي:

- يُقال إن العدد الصحيح a يقسم العدد الصحيح b إذا وفقط إذا أمكن إيجاد عدد صحيح c بحيث الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image478516.jpg لذلك أياً كان العدد الصحيح a فإن a يقسم الصفر

ومن أجل أي عدد صحيح b فإن الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138628.jpg يقسم b و الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138635.jpg يقسم b. يُرمز لعلاقة القُسمة هذه بالشكل:الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138645.jpg .

- ينتج من تعريف قابلية القسمة أنها علاقة منعكسة ومتعدية ومتخالفة فهي علاقة ترتيب علىالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138653.jpg .

- يُعرّف العدد الأولي prime number كالآتي:

يكون العدد الصحيح p>1 أولياً إذا وفقط إذا كانت قواسمه فقط هيالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138663.jpg و الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138671.jpg.

- التقسيم العددي أو الإقليدي:

إذا كان a و b عددين صحيحين موجبين وكان الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138681.jpg عندئذٍ يوجد عددان صحيحان غير سالبين qو r بحيث الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image490149.jpg وحيث الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138696.jpg، يسمى q حاصل قسمة a على b كما يسمى r باقي القسمة.

القاسم المشترك الأعظم:

يُعرّف القاسم المشترك الأعظم greatest common divisor (G.C.D) لعددين صحيحين a و b لا يساوي كلاهما الصفر على أنه العدد الصحيح الموجب b d=D(a، الذي يحقق الشرطين الآتيين:

أ- d يَقسِمُ كلاً من a و bأي الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image497013.jpg

ب- إذا كان c يَقسِمُ كلاً من a و b فإن c يَقسِمُ d أيضاًالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138712.jpg.

ومن نتائج ذلك:

- لكل عددين صحيحين a و b لا يساوي كلاهما الصفر قاسم مشترك أعظم وحيد يُكتب على الشكل:

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image501256.jpgحيث الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image521754.jpg.

- يكون العددان a و b أوليين فيما بينهما relatively prime إذا وفقط إذا كانالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138736.jpg .

 يمكن كتابة كل عدد صحيح أكبر من الواحد كحاصل ضرب عوامل أولية موجبة بغض النظر عن الترتيب الذي تأتي به هذه المضاريب.

المضاعف المشترك الأصغر:

يُعرَّف المضاعف المشترك الأصغر common multiple (LCMleastلعددين صحيحين a و b بأنه عدد صحيح موجب m يحقق الشرطين:

أ – يَقسِمُ كل من a و b العدد m أي

.الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138744.jpg

ب – إذا كان كل من a و b يَقسِمُ العدد الصحيح الموجب k، فإن m يَقسِمُ k. 

ويعرف بطريقة مشابهة المضاعف المشترك الأصغر لعدة أعداد.

توافق (تطابق) الأعداد الصحيحة:

يكون العددان الصحيحانa و b متوافقين قياسالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image138754.jpg congruent moduloإذا وفقط إذا كان m يقسم a-b أو a-b = k.m حيث k عدد صحيح، وتكتب علاقة التوافق بالشكل:

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\25\Image5012561.jpg

وينتج من هذه العلاقة خصائص كثيرة تختص بها نظرية الأعداد.

 

يوسف الوادي 

 

 

مراجع للاستزادة:

- J. B. Fraleigh, Abstract Algebra, Addison-Wesley-Publ. Comp. 1994.

- I. N. Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell Publishing Company 1964.

- K. H. Rosen, Discrete Mathematics, McGraw-Hill, 2007.

 




التصنيف : الجبر ونظرية الأعداد
النوع : الجبر ونظرية الأعداد
المجلد: المجلد الثاني
رقم الصفحة ضمن المجلد :
مستقل

الإترات الكبريتية

 الإترات الكبريتية الإترات الكبريتية الخواص الفيزيائية للإترات الكبريتية واستحصالها الخواص الكيميائية للإترات الكبريتية أهم الإترات الكبريتية واستعمالاتها الإترات الكبريتية (الثيوإترات) thioethers - وتسمى أيضاً الكبريتيدات العضوية organic sulfides - هي مركبات عضوية لها الصيغة العامة R-S-R´ حيث R وR´ جذور ألكيلية أوأريلية. للإترات الكبريتية الطيارة رائحة كريهة، وتستخدم مواد متوسطة في الاصطناع العضوي، ولها استخدامات في صناعة اللدائن والمطاط والصناعات البتروكيميائية، كما تستخدم ملدِّنات. توجد الوظيفة العضوية للإترات الكبريتية في مركبات عديدة في الطبيعة...

المزيد »