logo

logo

logo

logo

logo

تحليل فورييه

تحليل فورييه

Fourier analysis -

تحليل فورييه

طلال حمود

أساسيات في الإشارات

متسلسلة فورييه

تحويل فورييه

تحويل فورييه السريع

تطبيقات فورييه

 

تحليل فورييه Fourier analysis تقنية تُستخدم لتحديد الأمواج الجيبية sine waves التي تتكوّن منها إشارة معينة، أي لتفكيك الإشارة إلى الأمواج الجيبية المكوّنة لها. ويستخدمه الناس يومياً من دون معرفة ذلك؛ إذ تشتمل على سبيل المثال الهواتف الخَلَوِيّة والأقراص الفيديوية الرقمية digital video disc (DVD) والمجموعة المشتركة لخبراء الصور joint photographic experts group (JPEG) على تحويلات فورييه المنتهية السريعة fast finite Fourier transforms.

ويعدّ تحليل فورييه بأشـكاله المختلفة -متسـلسـلة فورييه Fourier series وتحويل فورييه Fourier transform- عماد فهم الكثير من المسائل في مجال تحليل الإشارات وتصميم المرشحات الرقمية.

أساسيات في الإشارات

1- الإشارة الدورية

هي الإشارة التي تتكرر عند فترات (مسافات) زمنية متساوية، تسمى دور الإشارة T والذي يقدر بواحدة الزمن (الثانية)، والمعرّف بالعلاقة (1):

أما تردد (تواتر) الإشارة فهو مقياس لتكرار الإشارة خلال واحدة الزمن، ويقاس بواحدة التردد (الهرتز Hz)، وهو معرّف بالعلاقة (2):

وإذا لم يكن ثمة مقدار T يحقق العلاقة (1) لجميع قيم t؛ يُقال عن الإشارة إنها غير دورية aperiodic.

2- الإشارة المستمرة بالزمن

هي الإشارة المعرّفة عند أي لحظة زمنية على المجال ، ويبيّن الشكل (1) مثالاً على إشارة دورية ومستمرة continuous بالزمن.

الشكل (1) مثال على إشارة دورية ومستمرة بالزمن. 

3- الإشارة المتقطعة في الزمن

هي الإشارة المعرّفة عند لحظات زمنية محددة في مجال محدد ومتساوية التباعد (الشكل 2).

 

الشكل (2) مثال على إشارة متقطعة بالزمن.

 

يمكن الحصول على الإشارة المتقطعة discrete في الزمن من الإشارة المستمرة، وذلك بتقطيع (أخذ عينات) sampling الإشارة عند لحظات زمنية محددة ومتباعدة على نحو متساوٍ. ويُطلق على التردد الذي يجري تقطيع الإشارة وفقه تردد التقطيع (الاعتيان)، والذي يجب أن يحقق شرط نايكوست Nyquist المعرّف بالعلاقة (3):

 

حيث أكبر مركبة ترددية في طيف الإشارة. فإذا كانت إشارة مستمرة في الزمن تُعطى الإشارة المتقطعة في الزمن الناتجة منها بالعلاقة (4):

 

حيث دور التقطيع وهو مقلوب تردد التقطيع.

متسلسلة فورييه

تعدّ متسلسلة فورييه -التي وضعها الرياضي والفيزيائي الفرنسي جان بابتيست جوزيف فورييه Jean Baptiste Joseph Fourier في عام 1807- واحدة من أهم الأدوات الرياضية التي يستخدمها مهندسو الاتصالات في عملهم؛ إذ تسمح بكتابة أي تابع رياضي على صورة مجموعة من توابع الجيب sine والتجيب cosine.

تعدّ المتسلسلة ركيزة أساسيةً حتى تاريخه فى مجال تحليل الإشارات signal analysis، وتكوِّن مع منشور تايلور Taylor expansion أدوات التحليل الأساسية للمهندسين، ولاسيما الكهربائيين منهم.

فمتسلسلة فورييه هي إعادة تكوين للدوال (التوابع) functions بدلالة مركباتها الأساسية والتي قد تكون محدودة وقد تكون لانهائية. وتكمن أهمية متسلسلات فورييه في أنها تحلل الواقع الفيزيائي على أنه مجموعة لانهائية من الدوال المثلثية (الجيب والتجيب) والتي يمكنها أن تكوّن مختلف أشكال الإشارات الدورية مثل الموجات المربعة والمثلثية (سن المنشار)، والدوال غير الدورية التي يمكن عدّها دورية عند اللانهاية.

1- صيغة فورييه للإشارات المستمرة الدورية ذات الدور

لتكن f(x)إشارة دورية دورها ، يمكن تعريف هذه الإشارة على أنها مجموعة من دوال الجيب والتجيب (جيب التمام) وفق العلاقة (5):

 

حيث و و هي معاملات فورييه، وتحسب استناداً إلى العلاقات (6) و(7) و(8):

 
 
 

يُطلق على المجموع في العلاقة (5) اسم متسلسلة فورييه للدالة .

2- صيغة فورييه للإشارات المتقطعة الدورية ذات الدور N

لتكن الإشارة المتقطعة في الزمن دورية ودورها N، أي إن العلاقة (9) محققة:

تُعطى متسلسلة فورييه لهذه الإشارة بالعلاقة (10).

 

وتحسب المعاملات في متسلسلة فورييه اعتماداً على العلاقة (11).

 

3- الخواص الأساسية لمتسلسلة فورييه

لتكن x(t), y(t)إشارتين دوريتين دورهما T وترددهما الزاوي الأساسي، وبفرض معاملات متسلسلة فورييه لكل منها ak وbk، تكون الخواص المبيّنة في الجدول (1) محققة.

 الجدول (1) بعض خصائص متسلسلات فورييه.

تحويل فورييه

يمثل تحويل فورييه لإشارة غير دورية طيف spectrum هذه الإشارة. ويُعطى هذا التحويل لإشارة غير دورية مستمرة في الزمن بالعلاقة (12):

أما تحويل فورييه العكسي فيُحسب اعتماداً على العلاقة (13):

 

في حين يُعطى تحويل فورييه لإشارة غير دورية متقطعة في الزمن بالعلاقة (14):

 

ويُحسب تحويل فورييه العكسي من العلاقة (15).

 

يبيّن الجدول (2) أهم خواص تحويل فورييه للإشارات المستمرة في الزمن.

الجدول (2) بعض خواص تحويل فورييه للإشارات المستمرة. 

في حين يبيّن الجدول (3) أهم خواص تحويل فورييه للإشارات المتقطعة في الزمن.

الجدول (3) بعض خواص تحويل فورييه للإشارات المتقطعة.  

الخاصية

المجال الزمني

المجال الترددي

الخطية

الانزياح بالزمن

الانعكاس

الانزياح بالتردد

الالتفاف الدوري

الضرب

المتمم العقدي

التعديل

تحويل فورييه السريع

تحويل فورييه السريع Fast Fourier Transform (FFT) هو خوارزمية فعالة وسريعة لحساب تحويل فورييه المتقطع Discrete Fourier Transform (DFT)، ويعود السبب في سرعة هذه الخوارزمية إلى عدم قيامها بحساب الأجزاء التي يساوي مجموعها صفراً في تحويل فورييه المتقطع. وتُنسب الخوارزمية إلى جيمس كولي James W. Cooley وجون تيوكي John W. Tukey اللذين قاما بنشرها في عام 1965 بالصيغة المعروفة حالياً.

وفيما يأتي بيان هذه الخوارزمية:

1- الحالة الأولى: خوارزمية التقسيم في الزمن decimation in time FFT algorithm

حيث إن تحويل فورييه المتقطع DFT يُعطى بالعلاقة (16).

 

وتُعطى الأمثال بالعلاقة (17):

يُلاحظ أن حساب كل معامل من معاملات تحويل فورييه يحتاج إلى N عملية ضرب عقدية، وN-1 عملية جمع عقدية. ومن ثمَّ يحتاج حساب كل المعاملات إلى عملية ضرب عقدية و عملية جمع عقدية. بفرض الحالة الخاصة حيث k عدد صحيح، تُقسّم المتسلسلة إلى متسلسلتين بطول لكل منها بحيث تضم الأولى قيم للقيم الزوجية لـ n، وتضم الثانية قيم للقيم الفردية
لـ n، كما هو مبيّن بالعلاقة (18).

 

وبفرض متحول جديد r بحيث في حالة المجموع الأول، و في حالة المجموع الثاني تُكتب هذه العلاقة وفق الصيغ المبيّنة بالعلاقات (19) و(20) و(21) و(22).

ثم تؤخذ كل متسلسلة جزئية ويُطبق عليها الإجرائية ذاتها حتى الحصول على متسلسلتين كل منها مكوّنة من عنصر واحد فقط.

تطبيقات فورييه

ثمة كثير من التطبيقات التي يُستخدم فيها تحويل فورييه منها:

- التحليل الطبقي للأرض: وهو يسمح بتحديد نوع كل طبقة وعمقها، وذلك بتطبيق إشارة كهربائية في نقطة ما؛ واستقبال الإشارة في نقطة أخرى على مسافة معينة من الأولى. وبتطبيق خوارزمية تحويل فورييه السريع على الإشارة يمكن استنتاج مواصفات كل طبقة وعمقها.

- التحليل الطيفي للإشارات: وهو يسمح بمعرفة المركِّبات الترددية للإشارة، ومن ثمَّ تصميم المرشح المناسب لتمرير بعض هذه المركبات ومنع بعضها الآخر، وذلك بإيجاد الاستجابة الترددية للمرشح بعد معرفة الاستجابة الزمنية للمنظومة، وهي خرج المنظومة عند تطبيق نبضة ديراك باعتبارها إشارة دخل. وتكون الاستجابة الترددية للمنظومة هي تحويل فورييه للاستجابة ، واستناداً إلى هذه الاستجابة يُحدد نوع المرشح الرقمي المناسب: تمرير منخفض، أو تمرير عالٍ، أو تمرير مجال، أو منع مجال.

- معالجة الصور image processing: تهدف إلى تحويل الصورة الأصلية إلى شكل أكثر ملاءمة من أجل غرض محدد. وتشتمل معالجة الصورة على إجراء عدة عمليات منها: تحويل الصورة إلى المجال الترددي باستخدام تحويل فورييه، ثم ضرب الصورة الناتجة بتابع الاستجابة الترددية، وثم تحويل الصورة الناتجة إلى المجال الحقيقي (الزمني) بتطبيق تحويل فورييه العكسي. وتحتوي الصورة المحوَّلة باستخدام تحويل فورييه على ترددات عالية عند الحافات، وعلى ترددات منخفضة عند نقاط الخلفية ذات القيم المتقاربة. وتحتاج بعض التطبيقات إلى كشف حافات الصورة، وثم يمكن تطبيقها على مرشح تمرير عالٍ للتخلص من الترددات المنخفضة، في حين يسمح التخلص من الترددات العالية بالحصول على صورة أنعم smoother (خالية من الضجيج) في المجال الزمني.

- التحليل الطيفي للأشعة تحت الحمراء: يُعدّ التحليل الطيفي لامتصاص الأشعة تحت الحمراء Infrared Radiation (IR) من الطرائق الأساسية المستخدمة في تعرف تركيب الجزيئات، كما يمكن استخدامه في الكشف عن التغيرات التي تحدث للجزيئات نتيجة تفاعلها وتكوين جزيئات جديدة.

ومن التطبيقات الأخرى أيضاً ترشيح الصوت sound filtering وضغط المعطيات data compression وحل المعادلات التفاضلية الجزئية partial differential equations.

مراجع للاستزادة:

- L. Grafakos, Classical Fourier Analysis, Springer, 2008.

-V. Ingle, J. Proakis, Digital Signal Processing Using MATLAB, Cengage Learning, 2011.

- E. Stade, Fourier Analysis, John Wiley & Sons, 2011.

-E. M. Stein, R. Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction, Princeton University Press, 2011.


التصنيف : تقانات الفضاء والفلك
النوع : تقانات الفضاء والفلك
المجلد: المجلد السادس
رقم الصفحة ضمن المجلد : 0
مشاركة :

اترك تعليقك



آخر أخبار الهيئة :

البحوث الأكثر قراءة

هل تعلم ؟؟

عدد الزوار حاليا : 506
الكل : 29640954
اليوم : 20964