logo

logo

logo

logo

logo

تحويل لابلاس

تحويل لابلاس

Laplace transform -

 تحويل لابلاس

تحويل لابلاس

 التعريف الرياضي لتحويل لابلاس  تحويل لابلاس العكسي
 تاريخ تحويل لابلاس   منطقة التقارب ومخطط الأقطاب والأصفار 
 خصائص تحويل لابلاس  تطبيقات تحويل لابلاس في العلوم والهندسة
 تحويل لابلاس للتوابع الأساسية  
 

تحويل لابلاس Laplace transform مُؤَثِّر operator خطي يحوّل تابعاً f(t) لمتغير حقيقي t إلى تابع آخر F(s) لمتغير s (أو p ) يكون عقدياً complex في الحالة العامة.

وتحويل لابلاس تحويل تكاملي integral transform شائع الاستخدام في حلِّ المسائل الفيزيائية، ويحتل المرتبة الثانية من حيث الاستخدام بعد تحويل فورييه Fourier transform. ويفيد تحويل لابلاس في دراسة المنظومات الخطية؛ وعلى الأخص في حلّ المعادلات التفاضلية differential equations العادية كتلك التي تظهر عند تحليل الدارات الكهربائية على سبيل المثال.

التعريف الرياضي لتحويل لابلاس

 ليكن f(t) تابعاً مستمراً قِطَعياً piecewise continuous؛ أي تابعاً للزمن، له عدد منته من الفواصل breaks ولا يسعى إلى اللانهاية في أي مكان (الشكل 1).

الشكل (1) تابع مستمر قِطَعياً.

يُعرّف تحويل لابلاس الوحيد الجانب unilateral، والذي يرمز إليه بالرمز L، ويشار إليه عادةً باسم تحويل لابلاس، بالعلاقة (1).

حيث معرّف في حالة ، و تابع لمتغير variable لابلاس s، ويُطلق عليه تابع في مجال لابلاس. أما المتغير s فيطلق عليه تردد (تواتر) العدد العقدي ويُعطى بالعلاقة (2).

وفيها و w عددان حقيقيان.

ويتعلق معنى التكامل المعطى بالعلاقة (1) بنوع التابع المدروس. وتجدر الإشارة إلى أن الشرط اللازم لوجود هذا التكامل أن يكون التابع f قابلاً للتكامل على المجال ؛ فعلى سبيل المثال في حالة التوابع التي تتضاءل عند اللانهاية أو من النوع الأسي؛ يمكن عدُّ هذا التكامل على أنه تكامل لوبيغ Lebesgue.

ومن ثمَّ فإن تحويل لابلاس يأخذ تابعاً في المجال الزمني ويحوله إلى تابع في مجال لابلاس .

ويمكن النظر إلى التابعين و على أنهما تمثيلان للظاهرة ذاتها؛ فبفرض أن تمثيل إشارة في المجال الزمني هو فيكون تمثيلها في المجال الترددي. وكلُّ المعلومات عن هذه الإشارة موجودة في التمثيلين؛ لكن رؤية بعضها أسهل في تمثيل دون الآخر. ويوفر استخدام كلا التمثيلين أداة فعالة وقوية لفهم الإشارات والمنظومات.

ثمة تعريف آخر لتحويل لابلاس هو تحويل لابلاس الثنائي الجانب bilateral؛ لكنه قليل الاستخدام ويعطى بالعلاقة ( 3).

ولتحويل لابلاس من الناحية العملية مجموعة من الفوائد منها:

- أنه يجعل السلوك الطويل الأمد للتابع جلياً.

- أنه يحول المعادلات التفاضلية إلى معادلات جبرية.

- أنه يحول صيغة غرين Green -وهي تكامل طي convolution معقد في المجال الزمني- إلى بيان جبري بسيط في المجال الترددي.

- أن التمثيل الترددي يمكن تلخيصه بمخطط يدعى مخطط الأقطاب والأصفار pole and zeros diagram، والذي يمكّن بنظرة سريعة من معرفة استقرار المنظومة واستجابتها الترددية.

وباختصار فإن تحويل لابلاس أداة تحليل وتصميم هندسي بالغة الأهمية.

تاريخ تحويل لابلاس

لتحويل لابلاس تاريخ طويل؛ إذ تعدّ مقالة أولر Euler عن حلِّ المعادلات، والتي نشرها في العام 1737 الأساس الذي ارتكز عليه تحويل لابلاس. وأسهم على مر العقود العديد من أشهر علماء الرياضيات في الوصول إلى تحويل لابلاس بالصيغة المتداولة في الوقت الراهن، وعلى الأخص لاغرانج Lagrange بدراسته لتوابع الكثافة الاحتمالية وبعض الصيغ التكاملية، وسبيتزر Spitzer بتطويره لأعمال أولر. وقد قادت أعمال بيير- سيمون لابلاس Pierre- Simon Laplace (1749-1827) في حساب التفاضل والتكامل calculus واستخدامه تحويلاً لحل المعادلات ذات الفروق المنتهية في نهاية المطاف؛ إلى وضع تحويل لابلاس وتطويره؛ لذا أطلق اسمه على هذا التحويل تكريماً لمساهمته. أما الصيغة الحديثة لتحويل لابلاس فيعود الفضل في وضعها إلى دويتش Doetsch في العام1973.

خصائص تحويل لابلاس

لتحويل لابلاس خصائص عديدة منها:

- خاصية الخطية linearity

ليكن و تابعين، وتحويل لابلاس لكلٍّ منهما موجود في حالة s أكبر من a1، وs أكبر من a2 على الترتيب؛ فتكون العلاقة (4) محقّقة في حالة .

حيث c1 وc2 ثابتتان

أي إن تحويل لابلاس مؤثر خطي.

- خاصية تحويل لابلاس لمشتقات التابع f

ليكن تابعاً مستمراً ومشتقه مستمراً قِطَعياً على أي مجال ، وبفرض وجود ثوابت M
و
a و بحيث يتحقق الشرط في حالة ؛ فيكون تحويل لابلاس لمشتق -أي - موجوداً في حالة ، ويعطى بالعلاقة (5).

ويمكن تعميم تحويل لابلاس إلى المشتق من المرتبة n؛ فبفرض أن التابع f ومشتقاته جميعها من المرتبة الأولى وحتى المرتبة - أي من إلى - مستمرة، وأن مشتقه من المرتبة n مستمر قِطَعياً على المجال ؛ فإن تحويل لابلاس للمشتق من المرتبة n يكون موجوداً في حالة ، ويعطى بالعلاقة (6).

- خاصية الانسحاب translation

إذا كان تحويل لابلاس للتابع - وهو - موجوداً في حالة ؛ فإن تحويل لابلاس للتابع في حالة ؛ يعطى بالعلاقة (7).

حيث c عدد ثابت

- خاصية الضرب بالمقدار tn

إذا كان تحويل لابلاس للتابع - وهو - موجوداً في حالة؛ فإن تحويل لابلاس للتابع يعطى بالعلاقة (8).

ويبيّن الجدول (1) بعض الخصائص الأخرى لتحويل لابلاس.

الجدول ( 1) بعض خصائص تحويل لابلاس.

الاسم

Name

العملية في حقل الزمن

Operation in time domain

العملية في حقل التردد

Operation in frequency domain

1- الخطية linearity

2- التفاضل differentiation

3- التكامل integration

4- الإزاحة في s s-shift

5- التأخير delay

6- الطي convolution

7- الضرب product

8- القيمة الابتدائية (شريطة وجود النهاية)

initial value (provided limits exist)

9- القيمة النهائية (شريطة وجود النهاية)

final value (provided limits exist)

10- ضبط الأبعاد زمنياً time scaling

تحويل لابلاس للتوابع الأساسية

- تابع الخطوة الواحدية unit step function

يعطى تحويل لابلاس لتابع الخطوة الواحدية -يرمز إليه أحياناً -، والمبيّن في الشكل (2)؛ وبالعلاقة (9).

الشكل (2) تابع الخطوة الواحدية

- النبضة الواحدية unit impulse

يعطى تحويل لابلاس للنبضة الواحدية (الشكل3) التي يطلق عليها اسم نبضة ديراك Dirac impulse؛ بالعلاقة (10).

 

الشكل (3) النبضة الواحدية.

 

- التابع الأسي exponential

بفرض أن التابع الأسي السببي causal المعرّف في حالة القيم الموجبة فقط للمتغير t، والذي يعبر عنه بالعلاقة (11).

فإن تحويل لابلاس لهذا التابع يعطى بالعلاقة (12).

ويبيّن الجدول (2) تحويلات لابلاس لبعض التوابع الأخرى ومنطقة التقارب region of convergence (ROC).

الجدول (2) تحويل لابلاس لأهم التوابع.

ROC

F(s)

All s

1

1-

2- u(t)

3- t

4-

5-

6-

7-

8- sin bt

9- cos bt

10-

11-

12- t sin bt

13- t cos bt

تحويل لابلاس العكسي

إذا كان تحويل لابلاس للتابع هو F(s) أي ؛ فإن تحويل لابلاس العكسي inverse Laplace transform هو . والتحويل العكسي هو مؤثر خطي.

ويعطى تحويل لابلاس العكسي في أبسط صيغه بالعلاقة (13) التي يطلق عليها اسم تكامل برومويتش Bromwich integral.

 

إذ يقيّم التكامل على طول المسار من إلى لأي قيمة حقيقة c بحيث يقع المسار ضمن منطقة التقارب.

وتجدر الإشارة إلى أن تحويل لابلاس العكسي ليس وحيداً؛ إذ يمكن إيجاد تابعين لهما تحويل لابلاس ذاته؛ فعلى سبيل المثال فإن تحويل لابلاس للتابع المعطى بالعلاقة (14) هو .

 

وكذلك فإن تحويل لابلاس للتابع هو ؛ أي إن للتابعين تحويل لابلاس ذاته.

وعادة ما تكون الطريقة الفعالة في حساب تحويل لابلاس العكسي هي استخدام تقنيات جبرية، وتعتمد على تحليل (تفريق) التابع الذي يدرس إلى توابع مُنْطقة rational functions؛ أي نسب كثيرات حدود polynomials في المتغيرs، ثم استخدام جدول تحويلات لابلاس لإيجاد التحويل العكسي لكلِّ حدٍّ بالمطابقة والاستعانة بخصائص الخطية والانسحاب translation العكسي (العلاقة 15) والإزاحة shift العكسية (العلاقة 16) وتكامل الطي.

 
 

منطقة التقارب ومخطط الأقطاب والأصفار

إن تحويل لابلاس هو تابع للمتغير العقدي العام s، وفي حالة أي إشارة معطاة يتقارب تحويل لابلاس في مجال من قيم المتغير s، ويطلق على هذا المجال اسم منطقة التقارب؛ إذ يؤدي دوراً مهمّاً في تحديد تحويل لابلاس المرتبط بإشارة معينة. وبصورة خاصة يمكن لإشارتين مختلفتين امتلاك تحويلي لابلاس، لهما عبارات جبرية متماثلة؛ لكنهما يختلفان في منطقة التقارب فقط؛ أي في مجال قيم المتغير s الذي تكون فيه العبارة صالحة.

تُمثَّل معظم الإشارات عادة بتحويلات لابلاس، وتكون العبارة الجبرية لها على شكل نسبة كثيري حدود في المتغير العقدي s. ويطلق على جذور roots كثير الحدود في البسط اسم أصفار zeros تحويل لابلاس، ويطلق على جذور كثير الحدود في المقام اسم أقطاب poles تحويل لابلاس. ومن المألوف تمثيل تحويل لابلاس بيانياً في المستوي s العقدي، وذلك بتأشير موقع الأقطاب بعلامة x وبتأشير موقع الأصفار بعلامة 0. ويحدد مخطط الأقطاب والأصفار العبارة الجبرية لتحويل لابلاس باستثناء معامل سلمي إجمالي overall scale factor. كذلك يجب الدلالة على منطقة التقارب كما هو مبيّن في الشكل (4).

 

الشكل ( 4) مثال على مخطط الأقطاب والأصفار في المستوي .s

 

تطبيقات تحويل لابلاس في العلوم والهندسة

تحويل لابلاس أداة رياضية قوية جداً مستخدمة في مجالات مختلفة من الهندسة والعلوم مثل: هندسة التحكم، هندسة الاتصالات، تحليل الإشارات، تحليل المنظومات وتصميمها، ميكانيك الموائع fluid mechanics، التصوير الطبي medical imaging، المطيافية spectroscopy، حلّ

حيث:

المعادلات التفاضلية. ومع التعقيد المتزايد للمسائل الهندسية يساعد تحويل لابلاس على حل مسائل معقدة بمقاربة بسيطة كتطبيق توابع النقل في حل المعادلات التفاضلية العادية.

وعلى سبيل المثال يستخدم تحويل لابلاس في الفيزياء لإيجاد الاهتزازات التوافقية harmonic لذراع beam لها ارتكاز في طرفيها. ويستخدم تحويل لابلاس في الدارات الكهربائية لحلّ ظاهرة التأرجح العابر switching transient phenomena في الدارات من الدرجة الأولى ومن الدرجة الثانية. كما يستخدم في منظومات القدرة الكهربائية power systems لحلّ مسائل التحكم بالتردد والحمل load frequency control (LFC) والمنظمات الآلية للجهدautomatic voltage regulator (AVR). ويستخدم تحويل لابلاس أيضاً في النمذجة الرياضية لتدفق الغاز gas flow في منظومة قياس.

محمد خالد شاهين

مراجع للاستزادة:

- R. J. Beerends, Fourier and Laplace Transforms, Cambridge University Press, 2003.

- B. Davies, Integral Transforms and their Applications, Springer, 2002.

- Ph. Dyke, An Introduction to Laplace Transforms and Fourier Series, Springer, 2014.

- U. Graf, Applied Laplace Transforms and Z-Transforms for Scientists and Engineers, Springer, 2004.

 


التصنيف : تقانات الفضاء والفلك
المجلد: المجلد السابع
رقم الصفحة ضمن المجلد :
مشاركة :

اترك تعليقك



آخر أخبار الهيئة :

البحوث الأكثر قراءة

هل تعلم ؟؟

عدد الزوار حاليا : 36
الكل : 13785471
اليوم : 7972