logo

logo

logo

logo

logo

تحويل الإشارة

تحويل اشاره

Signal Transform -

 تحويل الإشارة

تحويل الإشارة

أهمية تحويل الإشارة تحويلات المويجة 
الجداء الداخلي تحويلات الدورية
الترابط والترابط الذاتي التطبيقات في العلوم والهندسة
تحويل فورييه   
 

تحويل الإشارة signal transform هو نمذجة الإشارة من حيث كونها مجموعة من أشكال الموجة في صيغة معينة. يمكن أن تكون أشكال الموجة منحنيات الجيب sinusoids كما في حال تحويل فورييه Fourier transform، أو مويجات أم mother wavelets كما في حال تحويلات المويجة، أو توابع أساسية دورية periodic كما في حال تحويلات الدورية periodicity. تعتمد هذه الطرائق جميعها على استخدام الجداءات الداخلية inner products كقياس قاعدي للتشابه بين الإشارات من عدمه.

والإشارة هي مجموعة معطيات (بيانات) data أو معلومات information. ويمكن القول: إن الإشارة هي تابع يمثل كمية فيزيائية أو متغيراً فيزيائياً؛ ويحتوي نموذجياً على معلومات عن سلوك الظاهرة أو طبيعتها. ومن الأمثلة على الإشارات: إشارة الهاتف أو التلفاز، وهي إشارات تابعة للزمن؛ وكثافة الشحنة، وهي إشارة تابعة للمكان.

أهمية تحويل الإشارة

إن تمثيل الإشارة في نطاقها domain الأصلي ليس بالضرورة أفضل تمثيل لها؛ بالنسبة إلى الكثير من تطبيقات معالجة الإشارة. ويطلق على تغيير تمثيل الإشارة من صيغة form ما إلى صيغة أخرى -بتطبيق تحويلات رياضية- اسم تحويل الإشارة. ففي بعض التطبيقات يكون النطاق الأصلي هو الأكثر ملاءمة لمعالجة الإشارة المعنية، وفي بعضها الآخر يكون نطاق التحويل هو الأنسب للمعالجة. تسعى التحويلات عادة إلى ترزيم pack وأخذ كسر fraction كبير من طاقة الإشارة في مكوّنات قليلة نسبياً عند التحويل.

وفي معظم التحويلات يُحافَظ على المعلومات المحمولة من قبل الإشارة حتى ما بعد إجراء التحويل، وهو أمر بديهي بدليل أنه يمكن الحصول على الإشارة مجدداً بتطبيق التحويل العكسي. يوفر نطاق التحويل تسوية ممتازة بين التعقيد الحوسبي والأداء، حيث إن المعالجة بسيطة في نطاق التحويل، وقد تكون في بعض الأحيان أكثر ملاءمة من العمليات في النطاق الزمني. كما يمكن عدّ التحويل وسيلة للبحث عن شكل pattern تابع الأساس للتحويل من أجل إشارة معينة.

ونظراً للثورة في النطاق الحوسبي، تتوفر معظم هذه التحويلات في صيغة متقطعة أيضاً. ولكل تقنية تحويل مجال فريد من التطبيقات، ولكل منها إيجابياتها وسلبياتها. تختلف هذه التحويلات فيما بينها من حيث توابع الأساس المستخدمة والخصائص التي تحققها. وفي حين يقوم التحويل الأمامي forward بتحليل الإشارة في النطاق الزمني؛ يقوم التحويل العكسي reverse بتركيب الإشارة.

الجداء الداخلي

الجداء الداخلي هو طريقة لتكمية quantifying التشابه similarity (أو عدم التشابه) بين إشارتين. ويمكن استخدامه في إيجاد خصائص إشارة مجهولة، وذلك بمقارنتها مع إشارة معلومة أو أكثر. وهذه التقنية تعدّ أساس الكثير من طرائق تحويل الإشارة الشائعة. ويرتبط الجداء الداخلي ارتباطاً وثيقاً بالترابط correlation، وهو شكل بسيط من مواءمة الأنماط الذي يفيد في مراصفة aligning الإشارات في الزمن. ويعدّ الترابط الذاتي autocorrelation حالة خاصة من حالات الترابط، وهو طريقة قياسية للبحث عن أي تكرار أو دورية. كذلك يقدم الجداء الداخلي التعاريف الأساسية لطيف من تقنيات التحويل، مثل تحويلات فورييه والمويجة وكذلك تحويلات الدورية غير المتعامدة.

توفر الزاوية بين شعاعين مؤشراً جيداً لمدى تراصفهما، فإذا كانت الزاوية صغيرة؛ يؤشر الشعاعان في الاتجاه نفسه تقريباً، أما إذا كانت الزاوية قريبة من 90 درجة؛ فيؤشران في اتجاهين مختلفين كلياً (زوايا قائمة). ويعتمد تعميم هذه الأفكار والإشارات على الجداء الداخلي لتعريف «الزاوية» بين شعاعين. فإذا كان الجداء الداخلي كبيراً تكون المتتاليات sequences متماثلة تقريباً (تشيران إلى الاتجاه نفسه)، في حين إذا كان الجداء الداخلي معدوماً (إذا كانا متعامدين)؛ فيكونان كشعاعين بينهما زاوية قائمة.

يعطى التعريف الأكثر شيوعاً للجداء الداخلي بين شعاعين x و y بالعلاقة (1).

ويعرّف طول length (أو نظيم norm) الشعاع بأنه الجذر التربيعي لمجموع مربعات عناصر الشعاع، ويعبر عنه بدلالة الجداء الداخلي كما هو معطى بالعلاقة (2).

فعلى سبيل المثال: بفرض الشعاع x=(2,1) والشعاع y=(1,0) المبيّنين بالشكل (1)، فإن طول الشعاع الأول هو وطول الشعاع الثاني ؛ فيكون الجداء الداخلي لهما ، وتكون الزاوية بين الشعاعين معطاة بالعلاقة (3).

الشكل (1) مثال على حساب الزاوية بين شعاعين اعتماداً على الجداء الداخلي. 

ومن أجل الشعاعين في الشكل (1) يكون ، ومن ثمَّ فإن الزاوية تساوي 0.46 راديان أو 26 درجة تقريباً.

يأخذ الجداء الداخلي أهميته لكونه يوسع فكرة الزاوية (وبصورة خاصة الزاوية القائمة) إلى طيف واسع من الإشارات. وتعرّف العلاقة (4) الجداء الداخلي لتابعين x(t) و y(t) بإبدال التكامل بالجمع في العلاقة (1).

وهنا أيضاً إذا كان الجداء الداخلي معدوماً؛ يقال: إن الإشارتين متعامدتان orthogonal.

وبفرض مجموعة من الإشارات التي لها النظيم نفسه، بحيث يكون من أجل قيم i و k؛ وبفرض إشارة ما y، يمكن استخدام الجداء الداخلي لتحديد أي من مجموعة الإشارات هي أقرب إلى y، حيث يعرّف القرب على أنه نظيم الفرق، والمعطى بالعلاقة (5).

وحيث إن و ثابتان، فإن i الذي يخفض إلى الحد الأدنى النظيم في الطرف الأيسر من العلاقة (5) هو نفسه الذي يزيد إلى الحد الأعلى الجداء الداخلي .

الترابط والترابط الذاتي

يعطى الترابط (أو الترابط المتقاطع cross-correlation) بين إشارتين x(t) و y(t)من أجل انزياح shift قدره
، والذي يرمز إليه بالرمز ، بصورة مباشرة -أو بوساطة الجداء الداخلي- بالعلاقة (6).

وعندما يكون الترابط كبيراً تشير x وy في الاتجاه نفسه تقريباً، أما إذا كان الترابط صغيراً (قريباً من الصفر) فتكون x وy متعامدتين تقريباً. ويمكن تفسير الترابط أيضاً من وجهة نظر التشابه أو القرب؛ فقيمة الترابط الكبيرة تدل على أن و متشابهتان (أو قريبتان بعضهما من بعض)، في حين تدل القيمة الصغيرة للترابط على أنهما مختلفتان (بعيدتان بعضهما عن بعض).

وفي الزمن المتقطع discrete time يعرّف الترابط بين المتتاليتين x[k] و y[k+j] - حيث j هو الانزياح الزمني - بالعلاقة (7).

يقوم الترابط بإزاحة إحدى السلسلتين في الزمن، ويحسب مدى المواءمة (التوافق) matching بينهما (وذلك بإجراء ضرب نقطة بنقطة ثم الجمع) عند كل انزياح. وعندما يكون المجموع صغيراً تكون السلسلتان عديمتي التشابه، أما إذا كان المجموع كبيراً؛ فإن الكثير من الحدود تكون متشابهة. ويبيّن الشكل (2) سبعة أزواج من التوابع x(t)و y(t)وترابطهم المتقاطع. في (أ) يجري حساب ترابط قطار من النتوءات spikes مع نبضة غاوصية Gaussian pulse، وينجم عن الترابط إعادة إنتاج النبضة من أجل كل نتوء. وفي (ب) يستعاض عن قطار النتوءات بمنحني الجيب، وينجم عن الترابط هنا تلطيخ smears النبضة الغاوصية وعكسها inverts مع كل تموج undulation للموجة الجيبية. أما في (ج) فيجري حساب الترابط بين قطارين من النبضات. وفي (د) يحسب الترابط بين موجتين جيبيتين. وفي (هـ) يحسب الترابط بين قطار من النتوءات وقطار من النبضات. وفي (و) يجري توليد إشارتين عشوائيتين، وينتج أن ترابطهما صغير (وعشوائي)؛ لأن السلسلتين العشوائيتين مستقلتان. وأخيراً يبيّن (ز) أن الترابط بين إشارة x(t)وإشارة y(t)هو نسخة مزاحة عن .x(t) ويُعدّ الترابط أداة مثالية لمراصفة (محاذاة) aligning الإشارات في الزمن.

 
الشكل (2) أمثلة على الترابط المتقاطع بين إشارتين. 
 

ثمة حالة خاصة مفيدة للغاية؛ وهي عندما تكون الإشارتان x و y هما الإشارة نفسها. في هذه الحالة يطلق على الترابط اسم الترابط الذاتي للإشارة x، ويرمز إليه بالرمز . وتوافق أعظم قيمة للترابط المتقاطع دوماً حالة ، أي عندما لا تكون هناك إزاحة. وهذا مفيد خاصة عندما تكون الإشارة دورية؛ إذ يكون للإشارة ذرا عند القيم التي توافق الدور تماماً.

تحويلات فورييه

- تحويل فورييه

يعرّف تحويل فورييه Fourier Transform (FT) لتابع x(t)رياضياً بالعلاقة (8).

 

ولبيان مدلول تحويل فورييه المعطى بالعلاقة (8)؛ تجدر الإشارة أولاً إلى أن X(f)تابع للتردد (للتواتر) frequency، ومن أجل كل قيمة للتردد f يجري تقييم التكامل المعرّف بالجداء الداخلي للحصول على عدد عقدي القيمة؛ طويلته (قيمته المطلقة) magnitude هي m، وزاويته angle هي θ. وحيث إن X(f) هو الترابط (الجداء الداخلي) بين الإشارة x(t)وتابع (منحني) الجيب الذي تردده f فإن m هي طويلة (و θ طور phase) الموجة الجيبية الأقرب للتابع x(t)؛ وفق مفهوم القرب المعطى بالعلاقة (5). وحيث إن الأمواج الجيبية من ترددات مختلفة هي متعامدة orthogonal - لأن جداءها الداخلي يساوي التابع دلتا delta function كما هو مبيّن بالعلاقة (9)، وأن هذا التابع δ(z) مساحته area واحدية، وهو يساوي الصفر من أجل كل القيم عدا القيمة z=0 - فإنه ليس ثمة تفاعل بين الترددات المختلفة. ومن ثمَّ يسمح تحويل فورييه بتفريق decompose التابع x(t) بصورة فريدة إلى مجموع توابع (دالات) جيبية (وإعادة بنائه reconstruct من ذلك المجموع).

 

أما الخاصية الثانية المهمّة فهي أن تحويل فورييه قَلوب (قَابل للقلب) invertible؛ ويعطى تحويل فورييه العكسي بالعلاقة (10). وتعكس هذه العلاقة دور متحولَي الزمن والتردد، وتضمن أن التحويل لا ينشئ معلومات، ولا يتلفها.

 

- تحويل فورييه المتقطع

بفرض متتاليةx[k] طولها N؛ يعرّف تحويل فورييه المتقطع Discrete Fourier Transform (DFT) لهذه المتتالية، والذي يرمز إليه بالرمز X[n] بالعلاقة (11).

 
 

من أجل كل قيمة n يجري في العل اقة (11) ضرب كل حد من المعطيات بأسّ عقدي complex exponential ثم إجراء الجمع. أما في تحويل فورييه؛ فمن أجل كل قيمة للتردد f يجري في العلاقة (8) ضرب كل نقطة من شكل الموجة بأسّ عقدي ثم إجراء التكامل. ومن ثمَّ فإن X[n]هو تابع للتردد كما أن X(f) هو تابع للتردد. والحد هو منحني جيب متقطع زمنياً ذو تردد يتناسب طرداً مع n.

يقوم تحويل فورييه المتقطع - شأنه في ذلك شأن تحويل فورييه - بتحليل الإشارة إلى عناصر منحنيات الجيب المكوّنة لها. كما أن تحويل فورييه المتقطع هو أيضاً تحويل قَلوب يحافظ على المعلومات. ويعطى تحويل فورييه المتقطع العكسي Inverse Discrete Fourier Transform (IDFT) بالعلاقة (12).

 
 

يختلف تحويل فورييه المتقطع عن تحويل فورييه في ثلاث نقاط؛ الأولى أنه يطبق على المتتاليات المتقطعة زمنياً، والتي يمكن تخزينها ومعالجتها مباشرة في الحواسيب (بأسرع من معالجة التوابع أو أشكال الموجة التماثلية). ونقطة الاختلاف الثانية هي أنه مجموع عوضاً من تكامل، وهو ما يسهل تنفيذه برمجياً أو عتادياً. والنقطة الثالثة أنه يعمل على تسجيل معطيات منتهية عوضاً من العمل على تابع ينبغي تعريفه على كامل الزمن.

وتجدر الإشارة إلى أنه يمكن أيضاً كتابة علاقة تحويل فورييه المتقطع Ak، لإشارة an حيث ، بالشكل المعطى بالعلاقة (13).

 
 

ويطلق على الحدود من أجل الجذور N للواحد unity؛ لأنه في الحساب العقدي مهما تكن k. وهي تشكل رؤوس المضلع المحاط بالدائرة الواحدية في المستوي العقدي. ويبيّن الشكل (3) تمثيل جذور الواحد لثلاث حالات: N = 2 (تحويل فورييه المتقطع الثنائي النقاط Two-point DFT)، وN = 4 (الرباعي النقاط) وN = 8 (الثماني النقاط) في المستوي العقدي.

 
الشكل (3) تمثيل جذور الواحد في المستوي العقدي لثلاث حالات للموسط N.
 

وباستخدام المخطط المبيّن في الشكل (4) للدلالة على عمليتي ضرب وجمع عقديتين، يمكن على سبيل المثال الحصول على مخطط تحويل فورييه المتقطع الرباعي النقاط كما هو مبيّن في الشكل (5).

 

الشكل (4) تمثيل عملية ضرب وجمع عقديتين.

 

 

الشكل (5) مخطط تحويل فورييه المتقطع الرباعي النقاط.

 

- تحويل فورييه السريع

تحويل فورييه السريع Fast Fourier Transform (FFT) هو خوارزمية algorithm سريعة لحساب تحويل فورييه المتقطع. فبأخذ كل من تحويل فورييه المتقطع الثنائي النقاط وتحويل فورييه المتقطع الرباعي النقاط وتعميمهما إلى الثماني النقاط والست عشري نقطة وهكذا دواليك إلى نقطة؛ يُحصَل على خوارزمية تحويل فورييه السريع. يتطلب حساب تحويل فورييه المتقطع لمتتالية من N نقطة باستخدام العلاقة (13) عملية ضرب وجمع؛ في حين يحسب تحويل فورييه السريع تحويل فورييه المتقطع باستخدام O(N logN) عملية ضرب وجمع.

ثمة أشكال مختلفة لخوارزمية تحويل فورييه السريع، من أشهرها خوارزمية تحويل فورييه السريع بإنقاص عينات الزمن decimation-in-time للمتتاليات التي أطوالها من قوى العد اثنان ( حيث r عدد صحيح). ويبيّن الشكل (6) مخطط تحويل فورييه السريع ثماني النقاط 8-point FFT، من أجل قيمة W المعطاة بالعلاقة (14).

 
 

الشكل (6) مخطط تحويل فورييه السريع ثماني النقاط.

- تحويل فورييه القصير الأمد

يستخدم تحويل فورييه القصير الأمد Short-Time Fourier Transform (STFT) في الغالب عندما تكون الإشارة طويلة جداً؛ ليجري تحليلها بتحويل وحيد، أو إذا كان مطلوباً الحصول على مَوْضَعة زمنية time- localization أفضل. ويقوم التحويل على استخدام تابع نافذة window function يُرمز إليه بالرمز w(t)يصفر zeroes كل القيم عدا مجال زمني قصير. ومن ثمّ تجري مَوضَعة كل الأحداث في تحويل فورييه السريع في ذلك المجال. ويجري تشكيل النوافذ بحيث يكون مجموعها عندما تتراكب overlapped (مع إزاحة بمقدار S عينة ثم جمعها) هو ثابتاً مهما تكن t.

ويبيّن الشكل (7) استخدام مجموعة من النوافذ المتراكبة لتصفير الإشارة باستثناء مُقْتَطَع segment قصير. ويمكن بعد ذلك تطبيق تحويل فورييه السريع على ذلك المقتطع بهدف مَوضَعة الأحداث زمنياً. ويظهر الشكل (7) حالة معامل تراكب 2؛ ويغلب استخدام معامل 4 في الكثير من التطبيقات.

 
الشكل (7) مجموعة من النوافذ المتراكبة لتصفير الإشارة باستثناء مُقْتَطَع قصير.

تحويلات المويجة

يجري في تحويل فورييه القصير الأمد استخدام منحنيات الجيب كتوابع الأساس basis functions واستخدام نوافذ لمَوضَعة الإشارة في مجال زمني معيّن. أما في تحويلات المويجة Wavelet Transforms (WTs)؛ فيجري دمج incorporate النوافذ مباشرة مع التوابع الأساس، وثمة أنواع كثيرة لتوابع الأساس (المويجات الأم mother wavelets) شائعة الاستخدام؛ يظهر الشكل (8) عدداً منها: (أ) مويجة القبعة المكسيكية Mexican Hat، (ب) مويجة مورلت العقدية complex Morlet، (ج) مويجة كويفلتز Coiflets، (د) مويجة دوبيتشيز Daubechies، (هـ) المويجة الغاوصية العقدية complex Gaussian، (و) مويجة قدة (خدة) ثنائية التعامد biorthogonal spline.

 

الشكل (8) مجموعة من المويجات الأم.

 

يستخدم تحويل المويجة الأم كما يستخدم تحويل فورييه القصير الأمد منحني الجيب النافذي windowed؛ ويوصِّف موسط parameter أول أين تتمركز المويجة في الزمن (مشابه لتطبيق نافذة windowing)، في حين يمط stretches أو يضغط compresses موسطٌ ثانٍ المويجة. ويطلق على الموسط الأخير تدريج (مقاس) scale المويجة، وهو مناظر للتردد في تحويل فورييه القصير الأمد. بفرض أن ψ(t)المويجة الأم هي إحدى المويجات المبيّنة في الشكل (8)، وأن ψa,b(t) معرّفة بالعلاقة (15).

 

يقوم الموسط b بإزاحة المويجة في الزمن، في حين يدرج الموسط a المويجة بمطها أو ضغطها (وكذلك بضبط المطال).

ويبيّن الشكل (9) أثر هذين الموسطين من أجل عدة قيم لهما؛ وذلك من أجل مويجة مورلت العقدية – وهي منحني الجيب العقدي القيمة المطبق عليه نافذة غلاف غاوصي - والمنحنيات المبيّنة هي للقسم الحقيقي من مويجة مورلت من أجل عدة قيم إزاحة وعدة قيم تدرج. ويلاحظ أنه بتناقص b تتحرك المويجة يميناً، وبتناقص a تنضغط المويجة، وتزداد مطالاً.

 
الشكل (9) أثر تغيير قيم موسطيّ المويجة في حالة مويجة مورلت العقدية.
 

ويستخدم تحويل المويجة المستمر التوابع المزاحة والمتدرجة كأساس لتمثيل إشارة x(t) بوساطة الجداء الداخلي، كما هو معطى بالعلاقة (16).

 

ومن أجل كل زوج (a,b) يمثل المعامل W(a,b) الجداء الداخلي للإشارةx(t) مع تابع الأساس ψa,b(t) المتدرج والمزاح بصورة مناسبة. وعندما تتراصف الإشارة مع تابع الأساس (أي عندما تكون x(t)تشبه موضعياً تابع الأساس)؛ يكون المعامل كبيراً. أما عندما تكون الإشارة مختلفة كثيراً عن تابع الأساس (والحالة الحدية أن تكون متعامدة معه) فيكون المعامل صغيراً. ومع تغير a وb يمسح الجداء الداخلي الإشارة بحثاً عن أماكن (في الزمن) وقيم (في التدرج) تترابط عندها الإشارة جيداً مع المويجة. وهذا يشير إلى أن توفر معلومات مسبّقة عن شكل الإشارة أو السمات العامة لها يمكن استثماره بصورة مفيدة من قبل تحويل المويجة؛ وذلك بتكييف المويجة مع الإشارة. وعندما تكون المويجة ذات قيم حقيقية يكون المعامل W(a,b) حقيقياً، وعندما تكون المويجة عقدية يكون المعامل عقدياً.

ويبيّن الشكل (10) رسم الطويلة والطور الناجمين عن تطبيق المويجة الغاوصية العقدية على إشارة قطار من النتوءات ذات التباعد 1 ثانية فيما بينها. ويمكن رؤية المواضع الزمنية للنتوءات بجلاء (الخطوط العمودية) في رسمَي الطويلة والطور على حد سواء.

 

الشكل (10) رسم الطويلة والطور (الزاوية) الناجمين عن تطبيق المويجة الغاوصية العقدية على إشارة قطار من النتوءات.

تحويلات الدورية

يقوم تحويل الدورية Periodicity Transform (PT) بتفريق المعطيات إلى مجموع متتاليات دورية، وذلك بالإسقاط على مجموعة من الفضاءات الجزئية الدورية periodic subspaces، مما يبقي على رواسب residuals حُذفت دورياتها. وكما يدل الاسم، يجري إنجاز التفريق مباشرة اعتماداً على متتاليات دورية؛ وليس على التردد أو التدرج، كما في تحويلات فورييه والمويجة. ومن ثمَّ فإن التمثيل خطي في الدور، عوضاً عن كونه خطيّاً بالتردد أو خطيّاً بالتدرج. وبخلاف أغلب التحويلات لا تُحدد مجموعة الأشعة الأساس مسبّقاً، بل يبحث تحويل الدورية عن أفضل مجموعة من العناصر الأساس الخاصة به. إلا أن الفضاءات الجزئية الدورية تفتقد إلى التعامد؛ مما يشكل أساس قوة تحويل الدورية وصعوبتها. من الناحية التقنية تشكل جماعة كل الفضاءات الجزئية الدورية إطاراً ، هي مجموعة باسطة spanning أكثر من تامة more-than-complete. ويحدد تحويل الدورية طرائق معالجة معقولة للتكرار redundancy، وذلك باستغلال بعض الخصائص العامة للفضاءات الجزئية الدورية.

ويقال عن متتالية من الأعداد الحقيقيةx(k) : إنها دورية وفق p p-periodic؛ إذا وجد عدد صحيح p يحقق x(k+p) = x(k) من أجل جميع الأعداد الصحيحة k. وهندسياً يكون التابع دورياً وفق p؛ إذا كان مبيانه graph يبدو ذاته عند إزاحته p وحدة شاقولياً. بفرض Pp مجموعة كل المتتاليات الدورية وفق p، و P مجموعة كل المتتاليات الدورية. في الواقع يتضمن شعاع معطيات x عناصر عددها N. ويمكن عدّه دوراً وحيداً لعنصر
PN xNP، والهدف إيجاد أصغر دورية ضمن XN. تقوم الاستراتيجية على إسقاط xN على الفضاءات الجزئية Pp من أجل p < N. وعندما يكون xN قريباً من فضاء جزئي ما Pp؛ فإن ثمة عنصراً دورياً وفق p هو
xp Pp، قريب من x الأصلية. و xp هذا خيار مثالي عند العمل على تفريق x.

- تحويل التجيب والجيب المتقطعين

ينتمي تحويل التجيب المتقطع Discrete Cosine Transform (DCT) وتحويل الجيب المتقطع Discrete Sine Transform (DST) إلى عائلة تدعى التحويلات الواحدية الجيبية sinusoidal unitary transforms. والتحويل الواحدي الجيبي هو تحويل خطي قَلوب نواته kernel معرّفة بمجموعة من توابع أساس تجيب متقطع و/أو جيب متقطع متعامدة orthogonal/متعامدة مُنظَّمة orthonormal تامة. وينتمي إلى هذا الصف من التحويلات الواحدية تحويل كارهونن- لويف Karhunen- Loève Transform (KLT)، وتحويل فورييه المتقطع المعمم generalized DFT، وتحويل هارتلي المتقطع المعمم generalized Discrete Hartley Transform (DHT)، أو تحويل المويجة المتقطع المعمم، وأنواع مختلفة من تحويلات التجيب المتقطع DCT وتحويلات الجيب المتقطع DST. والمجموعة الكاملة من تحويلات التجيب المتقطع والجيب المتقطع، والتي تدعى التحويلات المثلثاتية المتقطعة discrete trigonometric transforms، تتكوّن من ثمانية إصدارات من تحويل التجيب المتقطع وثمانية إصدارات موافقة من تحويل الجيب المتقطع. وكل إصدار يصنف على أنه زوجي even أو فردي odd من النوع الأول أو الثاني أو الثالث أو الرابع. ويتمثل الجانب الحرج لقابلية تطبيق تحويلات التجيب والجيب المتقطعين في إيجاد خوارزميات سريعة تسمح بحوسبة فعالة لها مقارنة بضرب المصفوفات-الأشعة المباشر. ويوازي تاريخ خوارزميات تحويل التجيب المتقطع وتحويل الجيب المتقطع تاريخ خوارزميات تحويل فورييه المتقطع. وقد جرى على مدى أربعة عقود تطوير الكثير من الخوارزميات السريعة للحوسبة الفعالة لتحويلات التجيب والجيب المتقطعين الأحادية البعد والثنائية البعد. وتعتمد هذه الخوارزميات عموماً على الحوسبة غير المباشرة (بوساطة تحويلات متعامدة متقطعة أخرى) أو الحوسبة المباشرة (بتطبيق التحليل إلى عوامل factorization للمصفوفات غير الكثيفة sparse العودي recursive على مصفوفة التحويل)، والتي تصنف بصورة عامة كخوارزميات أساس اثنان radix-2 وأساس مشطور split-radix، وأساس مختلط mixed-radix، والطول الفردي odd-length، والطول المركَّب composite-length، والمعامل الأوَّليّ prime-factor. إلا أن المتطلب الأكثر أهمية هو امتلاك خوارزميات التجيب والجيب المتقطعين السريعة لاستقرار عددي ممتاز.

التطبيقات في العلوم والهندسة

ثمة كثير من التحويلات الشائعة الاستخدام في مجالات شتى من العلوم والهندسات؛ كما أنه ثمة عدد كبير من الخوارزميات المطروحة لتنفيذ تلك التحويلات.

تمتاز تحويلات فورييه بأنها أكثر التحويلات الخطية فائدة في التقدير الكمي quantifying للمحتوى الترددي للإشارات، وفي تحليل معالجة الإشارات في المنظومات الخطية غير المتغيرة زمنياً. ويُعدّ تحويل فورييه الأبسط مقارنة بالتحويلات الأخرى؛ ويمتاز بكونه أقل استهلاكاً للزمن، ويجد تطبيقات كثيرة في الاتصالات والشبكات، ومعالجة الصور، وتحليل المعطيات، والهواتف الخلوية، وفي الهندسة الكهربائية عموماً، إضافةً إلى منظومات توزيع الطاقة الكهربائية وفي المنظومات الميكانيكية وغيرها. وتُستخدم تحويلات فورييه بكثرة في مجالات الفيزياء؛ كتحليل صوت محرك هوائي للكشف عن مسنن عاطل، أو تحليل تخطيط قلب كهربائي للكشف عن خلل في القلب، أو تحليل منحني ضوء نجم متغير دوري لتحديد الأسباب الفيزيائية الكامنة وراء تغيره.

أما تحويلات المويجة فتجد تطبيقاتها في ضغط المعطيات، وإزالة الضجيج من المعطيات وتنعيمها smoothing، وحذف الخلفية والخطوط القاعدية baseline، وتحسين الميْز resolution، والانكفاء regression، والمعايرة، والتصنيف، وتعرّف الأشكال. كما تجد تحويلات المويجة تطبيقات في الكيمياء الفيزيائية؛ بهدف استخلاص معلومات نمطية مدفونة في الإشارات، وإجراء محاكاة بوساطة حل المعادلات التفاضلية التي تحكم الظاهرة المراقبة. كما أن تحويلات المويجة أداة رياضية مفيدة للتوصيف الكمي للاهتزازات الفائقة superoscillations؛ ولتوابع الاهتزاز الفائق تطبيقات مهمّة في ميكانيك الكم ومعالجة الإشارة والبصريات.

في حين تجد تحويلات الدورية تطبيقات في تجميع الأشكال الإيقاعية rhythmic patterns في قطعة موسيقية، وفصل الإشارات، وإيجاد قالب نمطي توافقي harmonic template، والبحث عن أنماط في المعطيات الفلكية وغيرها.

أما تحويل التجيب المتقطع وتحويل الجيب المتقطع؛ فيجدان تطبيقات لهما في معالجة الإشارة الرقمية والصور، لاسيما في منظومات الائتمار الفيديوي videoconferencing والهواتف الفيديوية والتلفزة عالية الوضوح. ويُعدّ تحويل التجيب المتقطع مكوّن المعالج الأساسي في مقاييس الترميز الفيديوي العالمية. وقد جرى طرح كثير من الخوارزميات وبنيان التكامل واسع النطاق للحوسبة السريعة لتحويل التجيب المتقطع الأحادي البعد والثنائي البعد.

محمد خالد شاهين

مراجع للاستزادة:

- S. Allen BroughtonK. Bryan, Discrete Fourier Analysis and Wavelets: Applications to Signal and Image Processing, Wiley 2018.

- J. Astola, L. Yaroslavsky, Advances in Signal Transforms: Theory and Applications, Hindawi, 2007.

- G. Bi, Y. Zeng, Transforms and Fast Algorithms for Signal Analysis and Representations, Birkhäuser, 2004.

- M. Corinthios, Signals, Systems, Transforms, and Digital Signal Processing with MATLAB, CRC Press, 2009.

- H. M. Ozaktas Z. Zalevsky M. A. Kutay ,The Fractional Fourier Transform: with Applications in Optics and Signal Processing, Wiley, 2001. 

- W. Wasylkiwskyj, Signals and Transforms in Linear Systems Analysis, Springer, 2013.

 


التصنيف : تقانات الفضاء والفلك
المجلد: المجلد السابع
رقم الصفحة ضمن المجلد :
مشاركة :

اترك تعليقك



آخر أخبار الهيئة :

البحوث الأكثر قراءة

هل تعلم ؟؟

عدد الزوار حاليا : 546
الكل : 29594195
اليوم : 49111