logo

logo

logo

logo

logo

الأعداد المنطقة

اعداد منطقه

Rational numbers - Nombres rationnels

 الأعداد المُنْطَقة

الأعداد المُنْطَقة

التعريف الرياضي للأعداد المُنْطَقة

الخصائص الجبرية للأعداد المُنْطَقة

 

 

العدد المُنْطَق rational number عدد يمكن كتابته على الشكل الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image86164.jpg ، حيث p و q عددان صحيحان و q لا يساوي الصفر. وحيث إن q يمكن أن يساوي الواحد فإن أي عدد صحيح هو عدد مُنْطَق.

التعريف الرياضي للأعداد المُنْطَقة:

لتكن Z مجموعة الأعداد الصحيحة، ولتكن K مجموعة الثنائيات المرتَّبة والمعرّفة بالعلاقة (1):

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image143424.jpg

ولتعرّف على هذه المجموعة العلاقة الثنائية الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image281668.jpg على النحو الآتي:

لأي ثنائيتين الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image143451.jpgوالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image143459.jpg تنتميان إلى K، يكون الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image143481.jpgإذا وفقط إذا تحقق الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image143491.jpg.

ويمكن للصفر أن يظهر في المُركّبة الأولى في أي ثنائية (s , m)، لكنه لا يظهر مطلقاً في المُركّبة الثانية منها.

ويُبرهن بسهولة على أن العلاقة الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image2816681.jpg هي علاقة تكافؤ، ومن ثَم فهي تجزئ K إلى مجموعة صفوف تكافؤ. ويُرمز لصف التكافؤ الذي يحوي الثنائية (sm) بالرمز [sm] الذي يُعرّف بالعلاقة (2):

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image143538.jpg

ويسمى [sm] عدداً مُنْطَقاً (كسرياً أو نسبياً)، وتدعى الثنائية (sm) كسراً حدّاه s و m. ويُرمز للعدد المُنْطق عادة بالرمز s/m، حيث يدعى s البسط وm المقام. وتسمى مجموعة صفوف تكافؤ العلاقة الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image2816682.jpg على K مجموعة الأعداد المُنْطَقة، ويُرمز لها بالرمز Q.

الخصائص الجبرية للأعداد المُنْطَقة:

ليكنالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image307536.jpgأي إن x يقابل [sm] حيث الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image308812.jpg. يقال عن x إنه موجب إذا وفقط إذا كان: الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image143605.jpg ويُرمز بالرمز Q+ للمجموعة الجزئية من Q المؤلفة من كل الأعداد المُنْطَقة الموجبة. كما يقال عن x إنه سالب إذا وفقط إذا كان الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image143634.jpg. ويرمز بالرمز Q- للمجموعة الجزئية من Q المؤلفة من كل الأعداد المُنْطَقة السالبة. وحيث إن الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image143650.jpg أو الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image93999.jpg أو الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image143687.jpg، فإن أي عدد من Qهو موجب أو سالب أو صفر.

بافتراض الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image143697.jpg ، تُعرّف عمليتا الجمع والضرب على Q بالعلاقتين (3) و (4):

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image143707.jpg

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image143717.jpg

تُعرَّف كل عملية جيداً في Q، وكلٌّ منهما تبديلية وتجميعية، وتقبل عملية الضرب التوزيع على الجمع. وتتحقق لكل الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image143728.jpg العلاقتان (5) و (6):

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image143744.jpg

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image143761.jpg

أي إن [0 , 1] هو المحايد لعملية الجمع ويُرمز له بالرمز 0 وهو وحيد، و [1 , 1]هو المحايد لعملية الضرب، ويُرمز له بالرمز 1 وهو وحيد أيضاً.

يوجد لكلالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image326669.jpgنظير لعملية الجمع، وهو الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image143779.jpg ، كما يوجد له نظير (مقلوب) لعملية الضرب، وهو الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image143799.jpg شريطة أن يكون الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image218198.jpg، وكلا النظيرين وحيد. يتبين مما سبق أن (Q , + , ×) تشكل حقلاً field.

بافتراض الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image143809.jpg ، يمكن تعريف عملية الطرح وعملية القسمة على Q بالعلاقتين (7) و (8):

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image143819.jpg

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image143830.jpg


وذلك شريطة أن يكون 
الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image143846.jpg . إن كلاًّ من عمليتي الطرح والقسمة المبينتين بالعلاقتين (7) و (8) ليست تجميعية ولا تبديلية.

بافتراض الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image143863.jpg ، تكون العلاقة الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image143881.jpg المعرَّفة على Q على النحو الآتي: الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image143901.jpg- إذا وفقط إذا كان الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image143923.jpg - علاقة ترتيب كلي على Q.

إن حلقة الأعداد الصحيحة Z مُضَمَّنة embedded في حقل الأعداد المُنْطَقة Q؛ أي إن Q تحوي حلقة جزئية تماثل الحلقة Z، حيث إن التطبيق الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image143934.jpg المعرّف - لكل zمن Z - بالعلاقة الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image354527.jpgيكون تشاكلاً homomorphism ومتبايناً. ويسمى Q عادة حقل النسب. بافتراض الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image143958.jpg فإن الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image143975.jpg إذا وفقط إذا كان الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image143985.jpg.

بافتراضالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image143995.jpgعددين مُنْطَقين بحيث الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image106438.jpg، يوجد عدد مُنْطَق z يحقق الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image108401.jpg. في حين لا يمكن في Q إيجاد عدد مُنْطَق مثل r بحيث يكون r2 = 2.

إذا كان الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image144053.jpg، تُعرَّف القيمة المطلقة absolute value للعدد x - التي يُرمز لها بالرمز |x| - بالعلاقة (9):

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image109285.jpg

ويكونالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image144078.jpg لكلالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\28\Image144098.jpg.

إيمان الخوجة

 

مراجع للاستزادة:

- MArtinAlgebra, Pearson, 2010.

JABeachy and William DBlair, Abstract Algebra, Waveland Press, 2006.

 

 


التصنيف : الجبر ونظرية الأعداد
النوع : الجبر ونظرية الأعداد
المجلد: المجلد الثاني
رقم الصفحة ضمن المجلد :
مشاركة :

اترك تعليقك



آخر أخبار الهيئة :

البحوث الأكثر قراءة

هل تعلم ؟؟

عدد الزوار حاليا : 537
الكل : 27463147
اليوم : 73184