الأعداد المنطقة
اعداد منطقه
Rational numbers - Nombres rationnels
الأعداد المُنْطَقةالتعريف الرياضي للأعداد المُنْطَقة
الخصائص الجبرية للأعداد المُنْطَقة
العدد المُنْطَق rational number عدد يمكن كتابته على الشكل ، حيث p و q عددان صحيحان و q لا يساوي الصفر. وحيث إن q يمكن أن يساوي الواحد فإن أي عدد صحيح هو عدد مُنْطَق.
التعريف الرياضي للأعداد المُنْطَقة:
لتكن Z مجموعة الأعداد الصحيحة، ولتكن K مجموعة الثنائيات المرتَّبة والمعرّفة بالعلاقة (1):
ولتعرّف على هذه المجموعة العلاقة الثنائية على النحو الآتي:
لأي ثنائيتين و
تنتميان إلى K، يكون
إذا وفقط إذا تحقق
.
ويمكن للصفر أن يظهر في المُركّبة الأولى في أي ثنائية (s , m)، لكنه لا يظهر مطلقاً في المُركّبة الثانية منها.
ويُبرهن بسهولة على أن العلاقة هي علاقة تكافؤ، ومن ثَم فهي تجزئ K إلى مجموعة صفوف تكافؤ. ويُرمز لصف التكافؤ الذي يحوي الثنائية (s, m) بالرمز [s, m] الذي يُعرّف بالعلاقة (2):
ويسمى [s, m] عدداً مُنْطَقاً
(كسرياً أو نسبياً)، وتدعى الثنائية (s, m) كسراً حدّاه s و m. ويُرمز للعدد المُنْطق عادة بالرمز s/m، حيث يدعى s البسط وm المقام. وتسمى مجموعة صفوف تكافؤ العلاقة على K مجموعة الأعداد المُنْطَقة، ويُرمز لها بالرمز Q.
الخصائص الجبرية للأعداد المُنْطَقة:
ليكنأي إن x يقابل [s, m] حيث
. يقال عن x إنه موجب إذا وفقط إذا كان:
ويُرمز بالرمز Q+ للمجموعة الجزئية من Q المؤلفة من كل الأعداد المُنْطَقة الموجبة. كما يقال عن x إنه سالب إذا وفقط إذا كان
. ويرمز بالرمز Q- للمجموعة الجزئية من Q المؤلفة من كل الأعداد المُنْطَقة السالبة. وحيث إن
أو
أو
، فإن أي عدد من Qهو موجب أو سالب أو صفر.
بافتراض ، تُعرّف عمليتا الجمع والضرب على Q بالعلاقتين (3) و (4):
تُعرَّف كل عملية جيداً في Q، وكلٌّ منهما تبديلية وتجميعية، وتقبل عملية الضرب التوزيع على الجمع. وتتحقق لكل العلاقتان (5) و (6):
أي إن [0 , 1] هو المحايد لعملية الجمع ويُرمز له بالرمز 0 وهو وحيد، و [1 , 1]هو المحايد لعملية الضرب، ويُرمز له بالرمز 1 وهو وحيد أيضاً.
يوجد لكلنظير لعملية الجمع، وهو
، كما يوجد له نظير (مقلوب) لعملية الضرب، وهو
شريطة أن يكون
، وكلا النظيرين وحيد. يتبين مما سبق أن (Q ,
+ , ×) تشكل حقلاً field.
بافتراض ، يمكن تعريف عملية الطرح وعملية القسمة على Q بالعلاقتين (7) و (8):
وذلك شريطة أن يكون . إن كلاًّ من عمليتي الطرح والقسمة المبينتين بالعلاقتين (7) و (8) ليست تجميعية ولا تبديلية.
بافتراض ، تكون العلاقة
المعرَّفة على Q على النحو الآتي:
- إذا وفقط إذا كان
- علاقة ترتيب كلي على Q.
إن حلقة الأعداد الصحيحة Z مُضَمَّنة embedded في حقل الأعداد المُنْطَقة Q؛ أي إن Q تحوي حلقة جزئية تماثل الحلقة Z، حيث إن التطبيق المعرّف - لكل zمن Z - بالعلاقة
يكون تشاكلاً homomorphism ومتبايناً. ويسمى Q عادة حقل النسب. بافتراض
فإن
إذا وفقط إذا كان
.
بافتراضعددين مُنْطَقين بحيث
، يوجد عدد مُنْطَق z يحقق
. في حين لا يمكن في Q إيجاد عدد مُنْطَق مثل r بحيث يكون r2 = 2.
إذا كان ، تُعرَّف القيمة المطلقة absolute value للعدد x - التي يُرمز لها بالرمز |x| - بالعلاقة (9):
ويكون لكل
.
إيمان الخوجة
مراجع للاستزادة: - M. Artin, Algebra, Pearson, 2010. - J. A. Beachy and William D. Blair, Abstract Algebra, Waveland Press, 2006.
|
التصنيف : الجبر ونظرية الأعداد
النوع : الجبر ونظرية الأعداد
المجلد: المجلد الثاني
رقم الصفحة ضمن المجلد :
مشاركة :اترك تعليقك
آخر أخبار الهيئة :
- شهر الكتاب السوري
- توصيات مجلس الإدارة
- صدور المجلد السابع من موسوعة الآثار في سورية
- صدور المجلد الثامن عشر من الموسوعة الطبية
- فوز الأستاذ الدكتور محمود السيد بجائزة مجمع الملك سليمان العالمي للغة العربية
- إعلان..وافق مجلس إدارة هيئة الموسوعة العربية على وقف النشر الورقي لموسوعة العلوم والتقانات، ليصبح إلكترونياً فقط. وقد باشرت الموسوعة بنشر بحوث المجلد التاسع على الموقع مع بداية شهر تشرين الثاني / أكتوبر 2023.
- الدكتورة سندس محمد سعيد الحلبي مدير عام لهيئة الموسوعة العربية تكليفاً
- دار الفكر الموزع الحصري لمنشورات هيئة الموسوعة العربية
البحوث الأكثر قراءة
هل تعلم ؟؟
الكل : 45597622
اليوم : 142603