أخذ العينات

اخذ عينات

Sampling - Echantillonnage

أخذ العينات (الاعتيان)

أخّذ عينات الأشارات

التقطيع الزائد

التقطيع الناقص

تكمية العينات

العينة لغوياً هي جزء من المادة يُؤخذ منها نموذجاً لسائرها. أما علمياً فثمة مفهومان متميِّزان من حيث الأدوات والأغراض لأخذ العينات sampling:

أ - عيِّنات الإشارات الفيزيائية: الإشارة هي مقدار يُعبِّر عن ظاهرة فيزيائية غالباً ما تكون متغيِّرة مع الزمن، ومن أمثلتها الإشارة الكلامية وإشارة الصورة ودرجة الحرارة والضغط والسرعة وغيرها. في هذه الحالات ومثيلاتها تُحوَّل الظاهرة الفيزيائية إلى إشارة كهربائية بوساطة مُحسٍّ مثل المكرفون والكاميرا ومقياس الحرارة ومقياس الضغط. توصف تلك الإشارات بأنها تماثليةanalog ، وهي تحمل مقداراً لانهائياً من المعلومات عن الظاهرة في كل لحظة من الزمن. إلا أن التعامل مع هذه الإشارات مباشرةً يعاني  مشكلات كثيرة، أهمها حساسيتها العالية للضجيج؛ إضافة إلى أنها لا يمكن التعامل معها بالوسائل الرقمية الحديثة، سواء في مجال المعالجة الحاسوبية أم الاتصالات الرقمية. ولذا ينبغي تحويلها إلى إشارات رقمية، والخطوة الأولى في هذه العملية هي أخذ عينات منها، تليها عملية تكمية العينات وترميزها رقمياً.

ب - العيِّنات الإحصائية: ومثال ذلك عينات القمح أو الماء أو الدم أو المنتَج على خط الإنتاج  التي تُؤخذ لاختبار خواصها، والخروج باستنتاجات إحصائية عامة عن المادة التي تُؤخذ منها العينة. وعلى سبيل المثال في خطوط الإنتاج الكمي الواسع النطاق؛ لا يمكن- من حيث التكلفة والجهد والوقت- اختبار كل قطعة يجري إنتاجها، ولذا تُؤخذ عينات من القطع المنتَجة لدراستها، ومن ثمَّ تحديد حالة المنتَج برمته.

من الواضح في الحالتين أن العيّنة المأخوذة يجب أن تمثِّل أصلها بأمانة، وهذا يستوجب اتباع طرائق واستعمال تقانات تضمن أن ذلك التماثل صحيح. من ناحية أخرى، وفي حين أن أخذ عينات الإشارات هي عملية محكومة بعلاقات رياضية حتمية؛ فإن أخذ العينات الإحصائية محكومة بأدوات رياضية احتمالية وإحصائية. ويقتصر البحث على عينات الإشارات فقط.

أخذ عينات الأشارات

الشكل (1) : (أ) إشارة تماثلية. (ب) إشارة مقطعة تمثل عينات اللإشارة التماثلية المبينة

الشكل (2) : (أ) طيف الإشارة التماثلية الأصلية. (ب) طيف الإشارة بعد تقطعها بتردد أكبر من تردد نايكويست. (ج) طيف الإشارة بعد تقطعها بتردد أصغر من تردد نايكويست

X (f) الشكل (3) الطيف الترددي     fc للإشارة التماثلية يمتد إلى ترددات أعلى من التردد المرغوب في وجوده في الإشارة . وللتخلص من تلك الترددات العالية؛ يجب استعمال  مرشح تمرير ترددات منخفضة ذي استجابة ترددية   H(f) شديدة الانحدار في منطقة الترددات التي هي أعلى  من  fc

الشكل (4) : (أ) الطيف الترددي لإشارة تماثلية ذات حزمة ترددية عالية. (ب) طيف الإشارة بعد تقطعها

يبيّن الشكل (1-أ) إشارة تماثلية  ( x(t متغيَّرة مع الزمن t، يمثِّلها المنحني المستمر. ويوضح الشكل (2-ب) عينات الإشارة   ( x_s(t المأخوذة على فواصل زمنية مقدارها T_s. يُسمى الفاصل الزمني T_s دور أخذ العينات sampling period، أو دور التقطيع. وهذا الدور ثابت القيمة طوال مدة أخذ العينات.

يتضح جلياً أن الإشارة الموجودة بين العينات x_s (المنحني المقطَّع) قد اختفت، وبقيت من ذلك المنحني النقاط السوداء فقط. والسؤال: هل ضاعت المعلومات التي كانت تحملها الإشارة الأصلية فيما بين العينات، واختفت من سلسلة تلك العينات المتتالية؟ في الواقع يعتمد ذلك على قيمة T_s.

الإشارة المبيَّنة في الشكل (1-أ) هي الإشارة الفعلية التي يُعطيها المُحسّ، وتوصف بأنها موجودة في المستوى الزمني. بيد أن الإشارة   ( x(t  توصف أيضاً بأنها مجموع عدد من الإشارات الجيبية ذات المطالات والترددات والأطوار المختلفة. ويُعبَّر عن ذلك بوساطة تحويل فورييه Fourier transform المعطى بالعلاقة التالية:

(1) 

يُسمى  (   x( f طيف   ( x(t، وتُعطي قيمة  (   x( f عند تردد معيّن f₀ مركِّبة جيبية لـ   ( x(t عند ذلك التردد. ومن الواضح أن       (   x( f₀ مقدار عقدي يأخذ الصيغة  التي يُعبِّر فيها  عن مطال تلك المركِّبة، وتُعبِّرq عن طورها. ويمكن التعبير عن   ( x(t بدلالة  (   x( f أيضاً باستعمال تحويل فورييه العكسي:

(2)

يتضح من العلاقة (1) أن طيف  ( x(t  يمتد على جميع الترددات من ∞- حتى ∞+. وفي الواقع ليس هناك ترددات سالبة، وما ظهور تلك الترددات هنا إلا نتيجة لطبيعة تحويل فورييه الذي يُبسِّط العمليات الرياضية. أما فيما يخص امتداد الطيف بين اللانهايتين، فذلك يتعلق بالمدى الزمني للإشارة الأصلية  ( x(t  الذي يُحدِّد حدود التكامل في العلاقة (1)، وبطبيعة الإشارة نفسها. ومن الناحية العملية يكون ذلك الطيف محدوداً غالباً بين قيمتين f_c- و f_c+، أو على الأقل تكون قيمته خارج هذا المجال مهملة؛ أي إن f_c+ هو أعلى تردد في  . يبيّن الشكل (2-أ) مثالاً لمطال طيف واقعي لـ   ( x(t  ، أي .

ويجري تقطيع الإشارة  ( x(t  بفواصل زمنية ثابتة يساوي كل منها T_s؛ أي بتردد يساوي:

حيث  f_s تردد أخذ العينات، أو تردد التقطيع.

يبيِّن الشكلان (2-ب) و (2-ج) مطال طيف الإشارة المقطعة   ( x_s(t، أي  من أجل الحالتين:  f_s>2f_c و  f_s<2f_c. وفي الواقع يمكن البرهان على أن الطيفين الأخيرين هما تكرار لطيف الإشارة  ( x(tنفسه؛ أي ، موزوناً بـ  ويمتد ذلك التكرار من  حتى  بفواصل ترددية من مضاعفات تردد أخذ العينات .

يتضح من الشكل (2-ب) أنه يمكن استرجاع الإشارة الأصلية  ( x(t  من الإشارة المقطعةإذا مُرِّرت عبر مرشح تمرير ترددات منخفضة يمنع مرور كل الترددات التي هي أكبر من؛ أي جميع الترددات التي تحقق العلاقة: . ويُري الشكل (2-ج) حالة مشابهة لحالة الشكل 2)-ب) باستثناء أن . ومن الواضح أن هذا الشرط يؤدي إلى جعل ظلال  المتكررة تتراكب معاً في ظاهرة تسمى التزييف aliasing الترددي؛ بمعنى أن الترددات التي تقع في منطقة التراكب تنتمي الآن إلى طيفين مختلفين. طبعاً؛ يساوي الطيف في منطقة التراكب مجموع الطيفين. وهذا يعني أن عملية الترشيح المذكورة آنفاً لن تستعيد طيف الإشارة الأصلي تماماً، بل نسخة مشوهة منه، ولذا لن تكون الإشارة الزمنية الناتجة مطابقة لـ  ( x(t .

مما تقدَّم يتضح أن تردد التقطيع f_s  يجب أن يكون أكبر من- أو يساوي- ضعف أعلى تردد في الإشارة؛ أي:

(4)   fs ≥ f2         

وحينئذٍ تُمكِن استعادة الإشارة الأصلية من الإشارة المقطعة. يسمى التردد f_s=2f_c  بمعدَّل نايكويست Nyquist rate؛ نسبة إلى هارِّي نايكويست الذي وضع نظرية أخذ العينات sampling theorem مع كلود شانون Claude Shannon.

التقطيع الزائد

وفقاً لمعيار نايكويست المعطى بالعلاقة (4)؛ يكفي أن يساوي تردد التقطيع ضعف أعلى تردد في الإشارة الأصلية؛ لكي تُسترجع تلك الإشارة من عيناتها. يُضاف إلى ذلك أن استعمال تردد تقطيع أكبر يؤدي إلى زيادة معدَّل المعلومات الرقمية الناجمة عن الرقمنة؛ ومن ثمَّ  ضرورة استعمال قنوات اتصالات ذات حزمة ترددية أعرض في تطبيقات الاتصالات، أو سعات تخزين أكبر في تطبيقات خزن البيانات. ومع ذلك؛ ثمة تطبيقات يمكن أن يكون التقطيع الزائد oversampling مفيداً فيها، أهمها تخميد الترددات التي هي أعلى من المجال الترددي المرغوب فيه. لا يكون طيف الإشارة التماثلية  ( x(t عادةً محدوداً تماماً (الشكل 3)، بمعنى أنه ليس ثمة تردد f_c بحيث تكون مطالات الترددات العليا منه معدومة. لذا يجب إخضاع الإشارة التماثلية إلى عملية ترشيح قوي لتخميد الترددات التي هي أعلى من f_c، وهذا يتطلب استعمال مرشح تماثلي ذي استجابة ترددية  ( H(f شديدة الانحدار في منطقة المنع (انظر الشكل 3). بيد أن تنفيذ مرشح تماثلي بتلك المواصفات أمر صعب التحقيق عملياً، ولذا يجري تقطيع الإشارة باستعمال تردد عالٍ نسبياً من مضاعفات 2f_c، ومن ثمَّ تُرشَّح الإشارة رقمياً بمرشح مناسب. بعدئذٍ تُحذف العينات الإضافية؛ ليعود تردد التقطيع إلى القيمة 2f_c.

من ناحية أخرى، من الممكن زيادة تردد التقطيع قليلاً إذا كانت الترددات العالية مخمّدة بقدر كافٍ، وثمة رغبة في تقليل التزييف الترددي الناجم عنها. على سبيل المثال يمتد طيف ترددات الإشارة الكلامية الطبيعية إلى ما فوق 20 كيلو هرتز تقريباً، لكن فيما يخص الإشارة الكلامية الهاتفية، تتخامد الترددات التي تزيد على 3400 هرتز بسرعة كبيرة، بسبب ضيق عرض الحزمة الترددية للقناة الهاتفية. ولذا تُقطّع الإشارة الكلامية الهاتفية بتردد يساوي 8000 هرتز.

وثمة تطبيقات هامشية أخرى للتقطيع الزائد ذات صبغة تقانية. منها تحقيق مَيْز تكمية أعلى باستعمال مبدّلات تماثلية رقمية ذات ميْز منخفض نسبياً. بيد أن التطورات التقانية الإلكترونية المتسارعة وفرت مبدلات سريعة ودقيقة بتكلفة منخفضة، وهذا ما جعل هذا التطبيق عديم الأهمية.

التقطيع الناقص

التقطيع الناقص undersampling هو تقطيع الإشارة بتردد يقل عن ضعف أعلى تردد في طيفها. ويُعدّ ذلك خروجاً عن معيار نايكويست من حيث إنه يؤدي إلى تزييف ترددي يشوِّه الإشارة التماثلية المستعادة من الإشارة المقطَّعة. وفي الواقع صِيغَ معيار شانون لما يُسمى بإشارات الحزمة القاعدية baseband؛ أي الإشارات التي يمتد طيفها الترددي من الصفر حتى التردد f_c الذي يُعدّ أعلى تردد فيها. بيد أن ثمة إشارات طيفها يأخذ شكل حزمة من الترددات التي تقع بين ترددين f₁2، حيث f₁<0. تُسمى تلك الإشارات بإشارات الحزمة العالية. ومن الممكن استعادة هذه الإشارة كلياً من عيناتها إذا كان تردد تقطيعها مساوياً ضعف أعلى تردد فيها، أي 2f_h، تماماً على غرار إشارات الحزمة القاعدية. لكن خلافاً لإشارة الحزمة القاعدية؛ يمكن تقطيع إشارة الحزمة العالية بتردد تقطيع لا يحقِّق معيار نايكويست دون حصول تزييف ترددي، أي دون حصول تراكب بين نسخ طيف الإشارة الأصلي بعد التقطيع؛ وفقاً لما هو مبيَّن في الشكل (4). وهذا ممكن لانعدام الترددات المنخفضة في هذا النوع من الإشارات. وبالطبع فالإشارة التماثلية هي إشارة حقيقية، لا عقدية، ولذا توجد صورة طيفية سالبة للحزمة الترددية الموجبة. من ناحية أخرى يؤدي تقطيع الإشارة إلى إزاحة طيفها، بجزأيه الموجب والسالب بعدد صحيح من مضاعفات تردد التقطيع.

تُستغل ظاهرة إزاحة الطيف هذه في مستقبلات الإشارات الراديوية الرقمية. فمن المعروف أن المرسلات الراديوية تُحمِّل الإشارة القاعدية على تردد راديوي حامل لبثها. ويتجلى هذا التحميل في إزاحة الإشارة القاعدية إلى مجال الترددات الراديوية المختلفة. وفي طرف الاستقبال تُعكس العملية؛ حيث يُزاح طيف الإشارة الراديوية المستقبلة لإعادته إلى وضعه الأصلي الذي كان عليه قبل الإرسال. وتُستعمل عادةً لهذا الغرض تقانات المزج الترددي (ضرب الإشارة المستقبلة بإشارة جيبية)، وفيها يُزاح الطيف أولاً إلى ما يسمى مجال التردد الوسيط، ومن ثمَّ تُستكمل الإزاحة إلى الحزمة القاعدية. ومع ظهور التقانات الرقمية ودخولها عالم الاتصالات؛ استُعمل التقطيع الناقص لتحقيق الإزاحة الطيفية بدلاً من المزج الترددي المذكور.

تكمية العينات

عملياً- وبعد أخذ العينات- ينبغي تحويلها إلى بيانات رقمية قابلة للاستعمال في الحواسيب والنظم الرقمية الأخرى. لذا تُرمّز بالرماز الاثناني؛ أي بمجموعة من البتات. ويُستعمل لهذا الغرض مبدل تماثلي رقمي A/D يُعطي في خرجه قيمة رقمية للعينة المطبقة على دخله؛ مرمَّزة بعدد من البتات، وليكن n. ومن الواضح أن عدد القيم الأعظمي الممكن استعمالها للتعبير عن العينة يساوي . هذا يعني أن القيمة الرقمية للعينة لن تكون مساوية تماماً لقيمة الإشارة الأصلية في اللحظة التي تُؤخذ فيها العينة، بل تساوي أقرب قيمة لها من القيم الممكنة للكلمة الاثنانية. تسمى عملية تحويل القيمة الفعلية للعينة إلى قيمة رقمية بالتكمية quantization، ووفقاً لما تقدم؛ تؤدي هذه العملية إلى تدوير قيمة العينة الحقيقية إلى أقرب قيمة رقمية إليها. وينجم عن ذلك خطأ يتجلى على شكل ضجيج يسمى ضجيج التكمية quantization noise. ويمثِّل هذا الضجيج طبعاً تشويهاً للإشارة الأصلية حين استرجاعها.

يمكن تصغير ضجيج التكمية بتصغير خطأ التدوير، ويتحقَّق ذلك بزيادة عدد مستويات التكمية الذي يساوي ، وذلك بزيادة ؛ أي عدد البتات. ويمكن البرهان على أن نسبة استطاعة الإشارة المستعادة من الإشارة الرقمية إلى استطاعة ضجيج التكمية SQNR- مقدرة بالديسيبل dB- تُعطى في حالة الإشارة الجيبية بالعلاقة التالية:

في حالة الإشارة الكلامية الهاتفية تكون عادة n=8، ولذا تساوي نسبة الإشارة إلى ضجيج التكمية نحو 50 ديسيبل، وهذه نسبة عالية جداً. ولما كان تردد تقطيع هذه الإشارة يساوي 8 كيلو هرتز - وفقا لما ذُكر آنفاً - يكون معدل بتات الإشارة الكلامية الهاتفية الرقمية 64 كيلو بت في الثانية، وهذا هو المعدل الشائع في الشبكات الهاتفية.

الخلاصة

نظرية أخذ العينات، ومعها نظرية التكمية؛ تفيدان لتحويل الإشارات التماثلية التي تولِّدها المُحِسَّات الفيزيائية إلى بيانات رقمية يمكن تداولها في النظم الرقمية عموماً، وفي نظم الاتصالات على وجه الخصوص. ولكي تكون عملية التحويل دقيقة؛ يجب أن يحصل أخذ العينات من الإشارة بمعدَّل لا يقل عن ضعف أعلى تردد في طيفها. ولكي لا يُؤثِّر الضجيج الناجم عن التكمية في مواصفات الإشارة المرقمنة، يجب ترميز العينات بعدد كافٍ من البتات من دون إفراط.

حاتم النجدي

التصنيف : هندسة الاتصالات

النوع : هندسة الاتصالات

المجلد: المجلد الأول

رقم الصفحة ضمن المجلد : 414

آخر أخبار الهيئة :

البحوث الأكثر قراءة

اصدارات الموسوعة العربية

أسماء الباحثين

هل تعلم ؟؟

• - هل تعلم أن الأبلق نوع من الفنون الهندسية التي ارتبطت بالعمارة الإسلامية في بلاد الشام ومصر خاصة، حيث يحرص المعمار على بناء مداميكه وخاصة في الواجهات

• - هل تعلم أن الإبل تستطيع البقاء على قيد الحياة حتى لو فقدت 40% من ماء جسمها ويعود ذلك لقدرتها على تغيير درجة حرارة جسمها تبعاً لتغير درجة حرارة الجو،

• - هل تعلم أن أبقراط كتب في الطب أربعة مؤلفات هي: الحكم، الأدلة، تنظيم التغذية، ورسالته في جروح الرأس. ويعود له الفضل بأنه حرر الطب من الدين والفلسفة.

• - هل تعلم أن المرجان إفراز حيواني يتكون في البحر ويتركب من مادة كربونات الكلسيوم، وهو أحمر أو شديد الحمرة وهو أجود أنواعه، ويمتاز بكبر الحجم ويسمى الش

• هل تعلم أن الأبسيد كلمة فرنسية اللفظ تم اعتمادها مصطلحاً أثرياً يستخدم في العمارة عموماً وفي العمارة الدينية الخاصة بالكنائس خصوصاً، وفي الإنكليزية أب

• - هل تعلم أن أبجر Abgar اسم معروف جيداً يعود إلى عدد من الملوك الذين حكموا مدينة إديسا (الرها) من أبجر الأول وحتى التاسع، وهم ينتسبون إلى أسرة أوسروين

• - هل تعلم أن الأبجدية الكنعانية تتألف من /22/ علامة كتابية sign تكتب منفصلة غير متصلة، وتعتمد المبدأ الأكوروفوني، حيث تقتصر القيمة الصوتية للعلامة الك

شراء النسخة الورقية