logo

logo

logo

logo

logo

الأعداد (منظومات-)

اعداد (منظومات)

Number systems - Systèmes des nombres

الأعداد (منظومات ـ)

نبيه عودة

 

تُعرّف منظومة أعداد number systemفي الرياضيات بأنّها مجموعة من الأعداد المزوّدة بعدد من العمليات الداخليّة كالجمع والضرب. من المجموعات العدديّة المألوفة: الأعداد الطبيعيّة، والصحيحة، والمُنْطَقة (الكسرية)، والحقيقيّة، والعقديّة.

البناء المنطقي لمنظومات الأعداد المألوفة

آ- الأعداد الطبيعيّة: يُرمز إليها بالرمز N. حدّد عالم الرياضيات بيانو Peano الموضوعات المنطقيّة الخاصّة بالأعداد الطبيعيّة كما يأتي:

- الموضوعة الأولى: هناك عددٌ طبيعي (صفر) يُرمز إليه بـالرمز الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135075.jpg.

- الموضوعة الثانية: هناك لكل عدد طبيعي الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135084.jpgعددٌ طبيعي لاحق يُرمز إليه بـالرمزالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135093.jpg.

- الموضوعة الثالثة: ليس هناك عددٌ طبيعي يكون العدد اللاحق له العدد الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135101.jpg.

- الموضوعة الرابعة: يكون لكل عددين طبيعيين مختلفين عددان لاحقان مختلفان، وهذا يعني أنّ الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135109.jpgيكافئ الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135116.jpg.

- الموضوعة الخامسة: إذا تحققت خاصّة ما عند العدد الطبيعي الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135126.jpgوتحققت أيضاً عند كلّ عدد لاحق لعدد طبيعي تتحقق عنده هذه الخاصة؛ فإنّ هذه الخاصّة تكون محققة عند كل الأعداد الطبيعيّة.

انطلاقاً من هذه الموضوعات يمكن تعريف مجموعة الأعداد الطبيعيّة بالعلاقة (1):

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135136.jpg

تُعرّف العمليات الحسابيّة على مجموعة الأعداد الطبيعيّة، ومن هذه العمليات على سبيل المثال:

1 - الجمع: يعتمد على تطبيق متكرر لموضوعة لاحق العدد:

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135146.jpg

ينتج من هذا التعريف أنّ:

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135153.jpg

وهذا يبرر استخدام الكتابة الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135160.jpgعوضاً عن الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135168.jpg.

2 - الضرب: يعتمد على تطبيق متكرر لعمليّة جمع عددين طبيعيين:

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135177.jpg

وهذا يعرّف بالتدريج ناتج ضرب العدد الطبيعي الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135186.jpgبأي عدد طبيعيالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135194.jpg.

يُكتب ناتج الضرب الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135203.jpgأيضاً بأحد الأشكال: الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135210.jpg.

ب- الأعداد الصحيحة: يُرمز إليها بالرمز Z. تُوَسّع مجموعة الأعداد الطبيعيّة N بأن يُنسب إلى كل عدد طبيعي مغاير للصفرالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135220.jpgعدد صحيح يرمز إليه بالرمزالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135230.jpg. كما يُوسّع مجال تعريف التابع اللاحق لعدد طبيعي ليشمل الأعداد الصحيحة من خلال القاعدة الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135238.jpg.

تُعرّف عمليّة جمع عددين صحيحين كما يأتي:

• أياً كان العددان الطبيعيان الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135245.jpg،الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135252.jpg فإنّ:

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135260.jpg.

• أياً كان العدد الصحيح الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135269.jpgفإنّ: الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135278.jpg.

• أياً كان العدد الصحيح الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135286.jpgالمغاير للصفر فإنّ:الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135294.jpg.

تُعرّف عمليّة ضرب عددين صحيحين كما يأتي:

أياً كان العددان الطبيعيان الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135301.jpg،الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135311.jpg فإنّ:

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135321.jpg

وانطلاقاً من هذا يمكن إثبات صحّة الخاصّة:الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135329.jpg.

جـ- الأعداد المُنْطَقة (الكسرية): يرمز إليها بالرمز Q. تُوسّع مجموعة الأعداد الصحيحة Z بإضافة مجموعة جديدة من الأعداد المُنْطَقة التي تُعرّف انطلاقاً من أزواج مرتّبة الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135336.jpg، حيث الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135343.jpgعددٌ صحيح والوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135351.jpgعددٌ طبيعي مغاير للصفر. يُرمز إلى العدد المُنْطَق الموافق للثنائيّة الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135360.jpgبالكتابةالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135370.jpg.

• تُعرّف المساواة بين عددين مُنْطَقين كما يأتي:

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135378.jpgإذا وفقط إذا كانالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135386.jpg

• إضافةً إلى ذلك، يُصْطلح أن يكون الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135393.jpgأياً كان العدد الصحيح الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135403.jpg.

د- الأعداد الحقيقيّة: يُرمز إليها بالرمز R. يمكن تعريف مجموعة الأعداد الحقيقيّة باستخدام متتاليات كوشي Cauchy المكوّنة من الأعداد المُنْطَقة Q. إذا كانت الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image177510.jpgمتتالية من الأعداد المُنْطَقة Q فإنّها تشكل متتالية كوشي إذا وفقط إذا كانت تحقق الشرط المبين بالعلاقة (2):

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image192721.jpg

تُعرِّف العلاقة (3):

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135428.jpg

علاقة تكافؤ على مجموعة متتاليات كوشي في حقل الأعداد المُنْطَقة. تُعَرّف الأعداد الحقيقيّة بأنّها مجموعة صفوف التكافؤ الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image206869.jpgلهذه العلاقة. تُشكِّل صفوف التكافؤالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image2068691.jpgحقلاً تبديلياً يُمثّل الأعداد الحقيقيّة R.

هـ- الأعداد العقديّة: يرمز إليها بالرمز الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135435.jpg. هي مجموعة الأعداد التي تكتب بالشكل الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135443.jpgحيث الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135452.jpgو الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135461.jpgعددان حقيقيان و الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135469.jpgيرمز إلى عدد )تخيّلي( مربّعه يساوي (-1).

تمثيل الأعداد حاسوبياً

ليكن الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135477.jpgعدداً طبيعياً )غالباً ما يكون زوجياً( يسمّى أساس التمثيل.

آ- تمثيل الأعداد الطبيعيّة: يعتمد تمثيل الأعداد الطبيعيّة حاسوبياً على الخاصّة الآتية:

كل عدد طبيعي الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135484.jpgيكتب بطريقة وحيدة بالشكل المبين بالعلاقة (4):

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image186487.jpg

يكتب تمثيل العدد الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135504.jpgبالشكلالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135512.jpg. فعلى سبيل المثال الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135519.jpgيُمثّل العدد 13 بالأساس 2 حيث:

13 = 1×23 + 1×22 + 0×21 +1

إنّ قيم الأساس الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135526.jpgالأكثر استخداماً في المنظومات الحاسوبيّة هي الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135534.jpg، الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135543.jpg، الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135552.jpg،الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135560.jpg.

يجري تعيين التمثيل لعدد طبيعيالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135568.jpgبأساسٍ الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135575.jpgبإجراء عمليات قسمة إقليديّة متتابعة وفق الخوارزميّة الآتية:

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image547287.jpg

مثال: بتطبيق هذه الخوارزميّة في حالة العددالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135595.jpg وفق الأساسالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135603.jpg يمكن الحصول على ما يلي:

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135617.jpg

ومنه يُكتب على التمثيل الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135625.jpg.

ب- تمثيل الأعداد الحقيقيّة: أياً كان العدد الحقيقي الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135634.jpgفإنّه هناك عددٌ صحيحٌ الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135643.jpgبحيث يكون الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135651.jpg، وهذا يعني أنّه هناك عددٌ وحيد الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135666.jpgبحيث يكون:

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image248330.jpg

أي إنّ العدد الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135688.jpgيكتب بطريقةٍ وحيدة بالشكل:

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135696.jpg

يسمّى العدد الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135703.jpgدليل العددالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135710.jpg. تعتمد طريقة التمثيل بالنقطة العائمة floating-point representation على اختيار عددٍ صحيح الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135718.jpgيسمّى دقّة التمثيل precision إضافةً إلى عددين آخرينالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135727.jpg والوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135736.jpg يحدّدان مجال تغيّر الأسالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135744.jpg. يُعرّف عدد النقطة العائمة floating-point number بأنّه العدد المُنْطَق الذي يكتب بالشكل المبين بالعلاقة (5):

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image552996.jpg

إنّ تمثيل الأعداد بطريقة النقطة العائمة ليس وحيداً، فعلى سبيل المثال تمثل الكتابتان: 0.01×101 و 1.00 ×10-1 العددالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135769.jpg. لكي يكون تمثيل الأعداد الحقيقيّة بطريقة النقطة العائمة وحيداً يُشترط في هذا التمثيل أن يكون فيه الرقم الأوّل من يسار دليل العددالوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image135779.jpg غير معدوم؛ وعندئذٍ يأخذ تمثيل العدد الشكل المبين بالعلاقة (6):

الوصف: D:\d\المجلد الثاني للتقانة اخراج\بوك 2 تقانة\537\Image561413.jpg

تُسمّى طريقة التمثيل السابقة طريقة التمثيل بالنقطة العائمة القياسيّة normalized floating-point، تُسمّى الأعداد التي تُكتب وفق هذا الشكل أعداداً قياسيّة normalized numbers، فعلى سبيل المثال الكتابة 1.00 ×10-1 قياسيّة في حين أنّ الكتابة 0.01 ×101 ليست كذلك.

مراجع للاستزادة:

- E. Landau, Foundations of Analysis, American Mathematical Soc., 2001.

- M. L. Overton, Numerical Computing with IEEE Floating Point Arithmetic, SIAM, 2001.


التصنيف :
المجلد: المجلد الثاني
رقم الصفحة ضمن المجلد : 0
مشاركة :

اترك تعليقك



آخر أخبار الهيئة :

البحوث الأكثر قراءة

هل تعلم ؟؟

عدد الزوار حاليا : 1173
الكل : 36081847
اليوم : 273806