الأمثلة

امثله

Optimzation - Optimisation

الأمثلة

عمر عامودي – عبدو ناصيف

بناء النموذج الرياضي

أنواع مسائل الأمثلة

فوائد الأمثلة

الأمثَلة optimization هي العملية التي تساعد المؤسسة على الوصول إلى أهدافها بأعلى درجات الكفاءة الممكنة مثل تعظيم الأرباح أو تقليل الاستهلاك والضياعات، وذلك باختيار الحلول الأفضل. فهي تدور حول استخدام التحليل الكمّي لمساعدة الإدارة في مؤسسة ما على اتخاذ القرارات المناسبة، أساساً لتوضيح المشكلة المراد دراستها من حيث المدخل الكمي والمعبر عنه بالأرقام والمعادلات الرياضية التي تسمى بالنموذج model الرياضي.

المفهوم العام للأمثَلة هو الحالة القصوى في تحقيق الامتيازات والأهداف بخصوص أمرٍ معينٍ أو مسألة معينة، وعادة يُستخدم مؤشر مهم يعرف بمؤشر الأمثَلة. ففي إطار المؤسسة الإنتاجية - على سبيل المثال- يكون مؤشر الأمثلة هو بلوغ أدنى مستوى من التكاليف أو أعلى مستوى ممكن من الأرباح، وتحقيق أفضل الصيغ لاستغلال مستلزمات الإنتاج الأساسية الذي على أساسه يُحدَّد الموقف بخصوص اختيار حل معين أو نتيجة معينة من بين مجموعة من الحلول والنتائج المتوفرة التي يجري التوصل إليها بخصوص المسألة المدروسة.

بناء النموذج الرياضي

النموذج هو عرض مبسط أو محاكاة لنظام حقيقي يراد دراسته، وهذا النظام يعمل في الحياة الواقعية. وهو مبسط لأن الواقع معقد بحيث لا يمكن نقله بالضبط، وعلى ذلك فإن بناء النموذج يهدف عادة إلى تحليل سلوك النظام لتحسين أدائه و/أو تحديد الشكل الأمثل للنظام في المستقبل.

ويشتمل النموذج على تابع الهدف المراد تحقيقه من خلال إظهار الواقع في صورة رياضية، وعلى القيود التي يراد في إطارها تحقيق تابع الهدف، ومن ثَمَّ فإن النموذح الرياضي يمثل مجموعة المتغيرات والعوامل التي تتداخل وتترابط فيما بينها بوساطة عدد من العلاقات الرياضية لكي تعبر عن مشكلة ما، أو حالة معينة. وكلما كان النموذج الرياضي مصوغاً بدقة كان هو الأقرب إلى الواقع العملي للمسألة.

يمكن صياغة المسائل المتعلقة بالأمثلة بحسب الصيغة العامة التالية:

حيث يجب تحديد قيم شعاع المتغيرات الحقيقية: ، الذي يجعل قيمة التابع(X) F  أصغرية، ويحقق المعادلتين التاليتين: و. تسمى هاتان المعادلتان قيود المسألة.

يسمى التابع (X) F تابع الهدف objective function، أو التابع الاقتصادي، أو تابع معيار التقييم أو تابع الكلفة cost function.

ويسمى الشعاع شعاع المتحولات/المتغيرات التي تمثل غالباً المتغيرات الاقتصادية، أو متغيرات التصميم، أو متغيرات القرار decision variables، وذلك بحسب طبيعة المسألة المطروحة.

فمثلاً عند طرح مسألة في التصميم الإنشائي الأمثل لبلاطة سقف بناء ما يجب صياغة مسألة التصميم بطريقة تسمح بالعثور على أفضل القيم لمتغيرات التصميم التي تعطي أقل كلفة، وتحقق شروط التصميم الإنشائي بحسب الكود المستخدم، وتأخذ بالحسبان الأهداف الوظيفية من إنشاء هذه البلاطة.

يمكن صياغة مسألة التصميم الأمثل هذه بعد تحديد نوع البلاطة الأمثل (أهي بلاطة هوردي، أم بلاطة مصمتة، أم فطرية، ...) بحيث يكون المطلوب هو تحديد ما يلي:

- ارتفاع البلاطة.

- كمية حديد التسليح.

- أقطار حديد التسليح المستخدم.

تعطي هذه القيم أقل كلفة لإنشاء البلاطة وهي تمثل مجموع الكلف التالية، وهذا هو تابع الهدف (X) F :

1 - كلفة كمية البيتون المستخدم للصب (من حيث الحجم).

2 - كلفة كمية حديد التسليح (من حيث الوزن).

3 - كلفة القالب المستخدم (من حيث المساحة المسطحة).

وفي الوقت نفسه، فإن شروط المسألة (قيود المسألة) هي:

- ألاّ تقل قيمة العزم الذي يتحمله المقطع عن العزم المطبّق من الأحمال الخارجية.

- ألاّ تزيد المسافة بين قضبان حديد التسليح على ما هو مطلوب في الكود المستخدم في التصميم.

- ألاّ يزيد مقدار السهم على القيم المسموحة.

- أن تزيد قيم متغيرات التصميم على القيم الدنيا المسموح بها، وألا تزيد على قيمها العليا المسموحة.

ثمة نوعان من العوامل يجب أن تؤخذ بالحسبان عند دراسة مسألة الأمثلة:

لجميع مشكلات الأمثلة الكثير من القواسم المشتركة: تابع الهدف، والقيود، والمتغيرات.

وتتوفر أنواع مختلفة من مشكلات الأمثلة، ويعتمد حل أي منها على طبيعة المتغيرات والقيود وطبيعة التابع (X) F وخصائصه من حيث قابليته للاشتقاق أو أنه تابع مستمر.

أنواع مسائل الأمثلة:

بحسب طبيعة المتغيرات والقيود، وبحسب طبيعة التابع الاقتصادي (X) F ، فإن هناك أنماطاً مختلفة من مسائل الأمثلة يمكن أن تُطرح للدراسة.

تختلف طرائق الحل لمسألة ما عن طرائق الحل لمسألة أخرى؛ لذلك ينبغي أولاً صوغ مسائل الأمثلة ضمن نماذج رياضية أو أنماط معينة لتحديد طرائق معالجة كل واحدة منها.

إن أولى الميزات الواجب أخذها بالحسبان تتعلق بالمتغيرات: أهي متغيرات مستمرة، أم منفصلة؟

في المرحلة الثانية يجب النظر إلى القيود: هل ثمة قيود في المسألة لأخذها بالحسبان؟ وإذا كان هناك قيود فهل هي قيود خطية، أم لا؟ وما المجال المقبول للحلول؟

أخيراً ينبغي النظر إلى شكل التابع (X) F  ،هل هو تابع خطي، أم لا؟ وهل له العديد من النهايات الصغرى؟ وهل يمكن تأكيد تقعره؟

إن الإجابة عن هذه الأسئلة عن طريق دراسة مبدئية لخصائص القيود وللتابع (X) F تمكن من اختيار الطريقة الفضلى للعثور على الحل الأمثل.

أظهرت تطبيقات بحوث الأمثلة في الواقع العملي (اقتصادياً وإدارياً) نماذج رياضية عديدة هدفها الوصول إلى مؤشر للأمثلة. وفيما يلي تصنيف للنماذج الرئيسية للأمثلة:

1) النماذج الرياضية المحدَّدة deterministic: وهي تتألف من عوامل ومتغيرات واضحة ومعروفة لدى متخذ القرار، أي إنها تكون بعيدة عن المؤثرات الاحتمالية التي تؤثر في صياغة المسألة المدروسة، ومن ثَمَّ في صياغة النموذج الرياضي للمسألة، ومنها:

أ- نموذج البرمجة الخطية linear programming

هي إحدى طرائق الأمثلة لإيجاد أفضل استخدام للموارد المتاحة. وتعبر الصفة «خطية» عن العلاقة بين متغيرين أو أكثر، وهذه العلاقة هي علاقة مباشرة وتتغير بالنسبة نفسها، أي إنه إذا تغيرت ساعات الإنتاج بنسبة 10% مثلاً فإن الإنتاج يتغير بالنسبة نفسها (10% أيضاً). فإذا كان معمل للحديد الصلب ينتج 300 طن في الساعة فإنه يمكنه إنتاج 1200 طن في أربع ساعات. وتعني كلمة «برمجة» استخدام طريقة رياضية معينة للوصول إلى الأمثلة (أفضل الحلول) لمشكلة تتصل بالموارد المحدودة.

وتُعدّ البرمجة الخطية تقنية قوية للتعامل مع مشكلة تخصيص الموارد المحدودة بين الأنشطة المتنافسة.

ب- نموذج البرمجة اللاخطية بلا قيود:

ج - نموذج البرمجة اللاخطية بقيود:

د - نموذج البرمجة (غير المستمرة/ المتقطعة) :discrete programming

هـ - نموذج مسألة النقل والتوريد transportation :and supply model

وهي ذات أهمية كبيرة بالنظر لما توفره الدراسة المتقنة لهذه المسألة من أموال. إذ تبحث هذه المسألة عن أقل كلفة لتحقيق نقل التوريدات من المواد أو البضائع أو الأشخاص أو الآليات؛ وذلك من جهة المصدر إلى جهة الهدف المخصصة للاستفادة من هذه التوريدات.

2) النماذج الرياضية الاحتمالية probalistic mathematical models: وهي النماذج التي تتألف من عوامل ومتغيرات غير واضحة ولا يسيطر عليها متخذ القرار، وهذا يعود إلى طبيعة المسألة التي تتصف بكونها ذات عوامل عشوائية. ومن هذه النماذج:

أ - نموذج الأرتال:

في هذا النموذج يجري اختيار الوحدات التي تصل إلى محطات الخدمة، حيث تأخذ مكانها في خط الانتظار على أساس ترتيب الوصول. وبالطريقة نفسها تُخدَّم الوحدات الموجودة في الخط تُخدِّم بحسب ترتيب وصولها. ويمكن الوصول بمعدل ثابت خلال مدة زمنية، ويمكن أن يكون عشوائياً. إن لنظرية الارتال - مثلها كمثل أي أسلوب رياضي- مصطلحاتها الخاصة وطرائق المعالجة الخاصة بها للوصول إلى الحل الأمثل. ويمكن استخدام أسلوب المحاكاة في حل مشكلات الأرتال في حالة التوزيع العشوائي للوصول إلى الخدمة أيضاً.

يمكن ذكر مثال على تطبيق نماذج الارتال، وهو ما تستخدمه بعض المحلات التجارية الكبرى supermarkets لتحديد عدد المحطات التي سيدفع فيها الزبائن حساباتهم checkout عند الخروج لضمان التشغيل الاقتصادي لهذه المحلات في مختلف الأوقات خلال اليوم.

ب - نموذج التخزين أو التنظيم storage and organization model

ويهدف إلى البحث عن المدة الأقل أو الأقصر لتنفيذ المهام، وذلك مع الأخذ بالحسبان قيود الاستمرار والتتابع، وكذلك محدودية الموارد. ثمة قراران أساسيان لنموذج التخزين:

- مقدار الكمية التي تُطلَب دفعة واحدة.

- لحظة طلب هذه الكمية.

والهدف الأكبر لسياسة تخزين ناجحة ينحصر في تخفيض التكاليف الكلية للمخزون (تكاليف الطلب + تكاليف التخزين). فتابع الهدف يتمثل في طلب كميات كبيرة لتخفيض تكاليف الطلب، وبحيث تكون هذه الكميات كافية للتشغيل، بحيث لا تُخزَّن مدة طويلة لتخفيض تكاليف التخزين. فيجب على الإدارة - لتجنب نفاد المخزون - اتخاذ الاحتياطات المتعلقة بنقطة إعادة الطلب لتجهيز طلب شراء جديد وسدّ العجز في كمية سلعة معينة.

ج - نماذج البرمجة الديناميكية dynamic programming هي أسلوب خاص للأمثَلة، وتمثل إحدى طرائق العثور على الحل الأمثل الرياضي ببناء سلسلة من العلاقات المرتبطة والمتشابكة للقرارات التي تحدِّد سير عملية تشغيل أي نظام، إذ إن عملية اتخاذ القرار للمراحل المتعددة multistage تتحول إلى سلسلة من المراحل المفردة لاتخاذ القرار. تبدأ البرمجة الديناميكية بجزء صغير من المسألة للوصول إلى الحل الأمثل لهذا الجزء، ثم تدريجياً يأخذ الحل جزءاً آخر من هذه المسألة للتوصل إلى حل نموذجي آخر مع أخذ الجزء الأول بالحسبان، وهكذا إلى أن تُحلّ المسألة على أكمل صورة ومن الأوجه جميعها.

تتبنى هذه النماذج عمل الأمثلة لتابع تسلسلي لتحقيقه في الزمن المحدَّد أو باستخدام المهارات المناسبة. وفيه تكون:

3) النماذج ذات الطبيعة الاستراتيجية: وهي النماذج التي تُصاغ من قبل متخذ القرار بناءً على موقف معين يصدر من قبل متخذ قرار آخر منافس له يعمل في البيئة نفسها أو المجال نفسه. وتتسم هذه النماذج بالبساطة إذا كانت المنافسة تجري بين اثنين فقط من متخذي القرار، في حين تزداد النماذج الرياضية تعقيداً إذا كان هناك عدد كبير من المتنافسين. ومن أهم هذه النماذج: نظرية الألعاب game theory أو المباريات. ويعني لفظ المباريات وجود صراع من نوع معين، بمعنى أن نجاح طرف معين يكون على حساب الطرف الآخر. ومن وجهة نظر الأطراف المشتركة تقوم هذه النظرية على أساس أن الوصول إلى اتفاق معين (من بين مجموعة كبيرة جداً من الاتفاقات البديلة) أفضل من عدم وجود أي اتفاق، ومن ثَمَّ فإن من مصلحة هؤلاء أن يتعاونوا جميعاً للوصول إلى قرار معين.

فوائد الأمثلة:

− الاستعانة بالمنطق العلمي في أثناء دراسة المسألة التي هي قيد البحث، وذلك باستخدام مجموعة من الطرائق الرياضية أو الإحصائية.

− إن استعمال الأمثلة في المواضيع التي تحتمل حلولاً متعددة يمكِّن من تحديد الحلول ذات الاحتمالات الأكثر استجابة والحلول ذات الاحتمالات الأقل استجابة، ليصار فيما بعد إلى اعتماد الحل الأمثل.

− تسمح الأمثلة بقراءة المستقبل وتقدير المتغيرات الاستراتيجية وآفاق تطورها المستقبلي.

− تعالج طرائق الأمثلة الموضوع معالجة متكاملة وعلى المستويات الاقتصادية والادارية والفنية كافة، وتحدِّد العلاقات المتبادلة بين هذه المستويات.

− العمل الجماعي: يتطلب حل مسألة بطريقة الأمثلة عملاً جماعياً يقوم به مجموعة من الأشخاص ذوي الاختصاصات المتعددة (الهندسة والرياضيات والفيزياء والاقتصاد وغيرها).

مثال تطبيقي:

لدى الشركة السورية للإنشاءات أربعة مشاريع يجري العمل فيها في الشهر القادم. المشكلة التي تواجه الشركة هي كون حجم المواد الواجب نقلها يزيد على طاقة أسطول الشركة، وبدلاً من شراء سيارات نقل إضافية وتعيين سائقين جدد قررت إدارة الشركة التعاقد مع بعض شركات النقل المحلية لنقل ما يمكن نقله من إجمالي الحجم المطلوب نقله. علماً أن احتياجات النقل - مقدرة بحمولة السيارة - المطلوبة لمواقع العمل الأربعة خلال الشهر القادم هي كما يلي:

وقد تقدمت ثلاث شركات بعروض أسعار، تشمل أسعار النقل لكل حمولة سيارة إلى كل موقع، وكذلك أقصى عدد من السيارات يمكن التعاقد عليه. وقد أضيفت تكاليف النقل لأسطول الشركة السورية للإنشاءات إلى المدة نفسها في الجدول نفسه لإجراء الدراسة اللازمة لاحقاً (الجدول 1 والرسم التوضيحي أسفله).

رسم توضيحي يبين أماكن شركات الإنشاء ومواقع المشاريع الأربعة

ونظراً لاختلاف تكلفة النقل إلى المواقع الأربعة يجب أن تحدِّد الشركة ما سيقوم أسطول الشركة بنقله، وما ستنقله أساطيل الشركات المتعاقد معها.

الخطوة الأولى لحل هذه المسألة، هي تحديد المشكلة، فمجموع طاقة النقل المتاحة للشركات الثلاث (A+B+C) إضافة إلى الشركة السورية للإنشاءات هو : 60+70+80+100 = 310 حمولة سيارة.

في حين تُقدَّر احتياجات مواقع العمل من المواد المطلوب نقلها : 65+75+90+60= 290 حمولة سيارة.

يتضح مما تقدم أن طاقة النقل المتاحة تزيد على احتياجات مواقع العمل في هذه المدة، ولعلاج هذه الحالة يُفترض وجود موقع وهمي (اصطناعي) يحتاج إلى 20 حمولة علماً أنه أحياناً توجد مشكلة أن الاحتياجات تزيد على طاقة النقل، وفي هذه الحالة يمثل الموقع الاصطناعي طلباً لم يتحقق. بإضافة هذا الموقع إلى باقي المواقع يصبح إجمالي احتياجات المواقع كالآتي:

20+60+75+90+60 = 310 حمولة.

ولحل مشاكل النقل يفضل استخدام خوارزمية النقل transportation algorithme؛ وهي مناظرة لخوازمية السمبلكس simplex، ولكنها أكثر ملاءمة عندما تحتوي المشكلة الخطية على الكثير من المتغيرات والقيود. وتتلخص هذه الطريقة فى تحديد الحلول الأساسية الممكنة ثم اختبار الأمثلية لكل منها حتى الوصول إلى الحل الأمثل للمشكلة.

يُرسم جدول يمثل مختلف التقلبات - من المصدر إلى الهدف – الممكنة، من الناحية العملية لهذه المسألة. يتم ملء الخلايا الرمادية أولاً (الجدول 2).

تُرسم مربعات صغيرة داخل خلايا الجدول السابق، بحيث تنقسم كل خلية إلى قسمين، يوضع في المربع الصغير (ذي اللون الأصفر) عدد الحمولات الواجب توجهها من كل شركة إلى الموقع المقابل لهذه الخلية، مع الأخذ بالحسبان الطاقة القصوى التي يمكن أن تتحملها كل شركة. وتوضع فيما تبقى من الخلية كلفة النقل من المصدر إلى الهدف. فالبحث عن حلٍ أمثل لمشكلة النقل هذه سيأخذ بالحسبان:

أ- أن يكون تطبيق الحل ممكناً، أي أن يؤمن الاحتياجات الموضحة بحافة الجدول.

ب- أن يعمل على تضخم تابع هدف مناسب أو تخفيضه.

فمثلاً إن طاقة الشركة (A) التي تقدر بحمولة 100 سيارة يمكن استخدامها كلياً أو جزئياً لمواجهة احتياجات أي من المواقع الأربعة، وجزء من هذه الطاقة (لغاية 20 حمولة سيارة) يمكن تخصيصها لمواجهة احتياجات الموقع الاصطناعي، أي إنه يمكن التعاقد على 80 حمولة فقط من الشركة (A). كما أن أي تخصيص من طاقة النقل للشركة A يكون مقبولاً مادام الإجمالي يساوى 100 وحدة. وبالمثل فإن احتياجات الموقع رقم/1/ و المقدر لها 60 حمولة سيارة يمكن مواجهتها من مختلف الشركات مادام المجموع يساوى 60.

يمكن استخدام برنامج الجداول الإلكترونية (إكسل Excel) لصياغة مشكلة النقل وحلها، سيكون هناك حاجة إلى جدولين، الأول يشبه الجدول المذكور سابقاً، يحتوي البيانات الخاصة بالاحتياجات والمتطلبات لكل من المصدر والهدف، أما الجدول الثاني فسيكون جدول الحل الذي يحتوي على الكميات المثلى التي ستنقل من المصدر إلى الهدف.

إن المعلومات الاقتصادية المتعلقة بالقرار هي التكاليف التي تصاحب تخصيص مصدر معين لطاقة نقل إلى موقع أو هدف، مثال ذلك أن تكلفة كل حمولة تنقلها الشركة A إلى الموقع رقم /1 / هي 6000 ل.س، وإذا نقلتها الشركة B فستكون التكلفة 3000 ل.س، وإذا نقلتها الشركة C فستكون التكلفة 6000 ل.س، أما إذا نقلتها شركة الإنشاءات فستكون الكلفة 5000 ل.س.

وبافتراض أن اقل تكلفة من المصدر إلى هذا الهدف هو الشركة B، فان اجمالى التكاليف تبلغ ل.س.

العمل الأخير في حل هذه المشكلة هو تحديد تابع الهدف. بافتراض أن مستوى الخدمة المقدم من كافة الشركات المتعاقدة معها سيكون متساوياً، فإن تخفيض إجمالي تكاليف النقل في هذا الشهر سيكون الهدف الذي سيبحث عنه. ومن ثَم يمكن كتابة نموذج البرمجة الخطية المكافئ لنموذج النقل المدروس كما يلي:

بشرط:

مع ملاحظة أن المتغير ijX يعبر عن عدد حمولات السيارات المنقولة من قبل إحدى الشركات إلى أحد مواقع العمل، أما ijC فيعبر عن تكلفة النقل للسيارة الواحدة من المصدر إلى موقع العمل. وعليه يُكتب النموذح الخطي الممثل لهذه المشكلة كما في الجدول (3). الخطوة الثانية تتمثل بتطوير حل أساسي (أولي) يكون قابلاً للتطبيق من الناحية العملية، أي يتماشى مع احتياجات كل موقع. هناك طرائق عديدة لإيجاد الحل الأساسي، منها:

الجدول (3) الاحتياجات الشركة C الشركة B الشركة A الشركة السورية للإنشاءات الموقع 60 حمولة1a :   14X   13X   12X   11X رقم /1/ 14C= 6000 ل.س 13C= 3000 ل.س 12C= 6000 ل.س 11C= 5000 ل.س 90 حمولة2a :   24X   23X   22X   21X رقم /2/ 24C= 5000 ل.س 23C= 6000 ل.س 22C= 6000 ل.س 21C= 3000 ل.س 75 حمولة 3a :   34X   33X   32X   31X رقم /3/ 34C= 4000 ل.س 33C= 4000 ل.س 32C= 7000 ل.س 31C= 5000 ل.س 65 حمولة 4a :   44X   43X   42X   41X رقم /4/ 44C= 3000 ل.س 43C= 5000 ل.س 42C= 7000 ل.س 41C= 6000 ل.س 20 حمولة 5a :   54X   53X   52X   51X الاصطناعي 54C= 0 53C= 0 52C= 0 51C= 0 310 حمولة 4b=70 3b=80 2b=100 1b= 60 طاقة النقل

أ- طريقة الركن الشمالي الغربي North West corner:

تتلخص خطوات إيجاد حل أولي ممكن لمشكلة النقل باستخدام طريقة الركن الشمالى الغربى بأن يتم البدء بالخلية الموجودة فى الركن الشمالى الغربى ومقارنة حجمي الطلب والعرض المناظرين لهذه الخلية، ويُخصص لهذه الخلية أيهما أقل، ثم تُطرح الكمية التي خُصِّصت لهذه الخلية من حجمي الطلب والعرض المناظرين لهذه الخلية فيتحول أحدهما إلى القيمة صفر، وفى هذه الحالة يجري التحرك أفقياً أو رأسياً في الاتجاه الذي فيه حجم الطلب أو العرض لا يساوي صفراً، ثم يستمر التخصيص بالطريقة نفسها حتى الحصول على الحل الأساسي الممكن. وبتطبيق هذه الطريقة على المثال السابق يتبين أن حمولة 60 سيارة المطلوبة للصف الأول أخذت من طاقة العمود الأول. أما احتياجات الصف الثاني (90 حمولة) فأخذت من العمود الثاني، والعشر حمولات الباقية أخذت لاستكمال الــ 75 حمولة المطلوبة للصف الثالث. وباقي الحمولة (65) أخذت من العمود الثالث، وبذلك تم توفير احتياجات الصف الثالث. بقي من طاقة العمود الثالث 15 حمولة سيارة، توضع في الصف الرابع. أخيرا تُستوفى الاحتياجات المتبقية للصف الرابع والموقع الاصطناعي. وبجمع الصفوف والأعمدة يتضح أنه تم التوصل إلى حل ممكن، غير أن هذا الحل تجاهل التكاليف؛ لذلك لابد من عمليات حسابية أخرى للوصول إلى الحل الأمثل (الجدول 4).

فيكون الحل الأولي بطريقة الركن الشمالى الغربى:

ب- طريقة أقل التكاليف least cost method:

تعالج هذه الطريقة مشاكل الطريقة السابقة؛ إذ تقوم بترتيب تكاليف النقل من المصدر إلى الهدف تصاعدياً بحيث يؤدي إلى إظهار التكلفة المتدنية بوضوح.

تتلخص هذه الطريقة في اختيار الخلية التي لها أقل تكلفة حيث تُخصص أكبر قيمة ممكنة لهذه الخلية، ويُكرر هذا الإجراء حتى تنتهي عملية التخصيص. وسيتضح هذا الأمر بتطبيق هذه الطريقة على المثال السابق :

- تُختار الخلية التي لها أقل تكلفة، فيتضح أنها الخلية الموجودة في الصف الأول (موقع /1/) وعمود الشركة (B)، تُعطى هذه الخلية الرمز (1،B). يُلاحظ أن الشركة B لديها 80 سيارة متاحة، ستخصص حمولة 60 سيارة في الخلية (1،B). ويتبقى حمولة 20 سيارة من طاقة الشركة متاحة لمواقع أخرى، ومن ثَم يُشطب السطر (و/ أو العمود) الذي أشبع، وهو في هذه الخطوة السطر الأول.

إن الخلية الثانية التي لها أقل تكلفة هي الخلية الموجودة في الصف الثاني والعمود الأول الممثل لشركة الإنشاءات، يُرمز لها بـ (2،Sy). وحيث أنه يوجد 60 سيارة متاحة فقط من أسطول الشركة، فإنه يمكن توفير حمولة الـ 30 سيارة الأخرى المطلوبة للموقع رقم /2/ ، من شركة أخرى.

بالطريقة نفسها يمكن ملاحظة أن الخلية التالية الأقل تكلفة هي الخلية (4،C)، وبمقارنة حجم الطلب والكمية المعروضة يتبين أن أكبر كمية يمكن تخصيصها لهذه الخلية هى 65 حمولة، فيُشطب السطر الرابع. وهكذا حتى يتم تخصيص جميع الكميات كما في الجدول (5).

فيكون الحل الأولي بطريقة أقل التكاليف

ج- طريقة فوجل التقريبية Vogel’s approximation method:

تتلخص طريقة فوجل التقريبية لإيجاد حل أولي ممكن لمشكلة النقل في الخطوات الآتية :

1 - يُحسب الجزاء (أو الغرامة (opportunity cost(:  لكل صف وعمود؛ وذلك بإيجاد الفرق بين أقل تكلفتين في هذا الصف أو العمود.

2 - يُحدد الصف أو العمود الذي له أكبر جزاء أو غرامة، وإذا وُجد صفان أو عمودان أو صف وعمود لهما الجزاء نفسه يُختار أحدهما عشوائياً، ثم تحدد الخلية التي لها أقل تكلفة في الصف أو العمود المختار، ويُخصص لها أكبر كمية ممكنة بالمقارنة بين مجموع الصف والعمود لهذه الخلية، وتُملأ بأقل المجموعين، وفي هذه الحالة يُشطب الصف أو العمود الذي نفد مجموعه ويُعدل المجموع الآخر. وإذا كان مجموع الصف يساوي مجموع العمود يُشطب أحدهما ويكون مجموع الآخر صفراً ويظل مفتوحاً.

3 - يُعاد حساب الجزاء أو الغرامة لكل صف وعمود غير مشطوب، وتُكرر الخطوات في (1) و (2) حتى يتم التخصيص كاملاً.

وللاستمرار في العمليات الحسابية لإيجاد الحل الأمثل، فإنه من الضروري أن يكون عدد الخلايا المستخدمة في المصفوفة المتمثلة بالجدول السابق متماشياً مع قاعدة الحافة ناقص واحد (rim minus one rule) أي إن عدد الخلايا المستخدمة = عدد الصفوف + عدد الأعمدة - 1

وحيث إنه يوجد خمسة صفوف وأربعة أعمدة، فإن فحص الجدولين الأخيرين يبين أنه توجد ثمان خلايا مستخدمة، وعلى ذلك فإن هذا الحل يهيئ للخطوة التالية في إيجاد الحل الأمثل.

هناك طريقتان لإيجاد الحل الأمثل لمشاكل النقل بالاعتماد على الحل الذي تم إيجاده في الخطوة (2) بعده حلاً أوليّاً، هما:

1 - طريقة المسار المتعرج stepping stone method

2 - طريقة عوامل الضرب multipliers method

حيث تقوم طريقة الحساب المختارة بتطوير الحل بطريقة فعالة إلى أن تصل إلى الحل الأمثل.

التصنيف :

المجلد: المجلد الثالث

رقم الصفحة ضمن المجلد : 0

آخر أخبار الهيئة :

البحوث الأكثر قراءة

اصدارات الموسوعة العربية

أسماء الباحثين

هل تعلم ؟؟

• - هل تعلم أن الأبلق نوع من الفنون الهندسية التي ارتبطت بالعمارة الإسلامية في بلاد الشام ومصر خاصة، حيث يحرص المعمار على بناء مداميكه وخاصة في الواجهات

• - هل تعلم أن الإبل تستطيع البقاء على قيد الحياة حتى لو فقدت 40% من ماء جسمها ويعود ذلك لقدرتها على تغيير درجة حرارة جسمها تبعاً لتغير درجة حرارة الجو،

• - هل تعلم أن أبقراط كتب في الطب أربعة مؤلفات هي: الحكم، الأدلة، تنظيم التغذية، ورسالته في جروح الرأس. ويعود له الفضل بأنه حرر الطب من الدين والفلسفة.

• - هل تعلم أن المرجان إفراز حيواني يتكون في البحر ويتركب من مادة كربونات الكلسيوم، وهو أحمر أو شديد الحمرة وهو أجود أنواعه، ويمتاز بكبر الحجم ويسمى الش

• هل تعلم أن الأبسيد كلمة فرنسية اللفظ تم اعتمادها مصطلحاً أثرياً يستخدم في العمارة عموماً وفي العمارة الدينية الخاصة بالكنائس خصوصاً، وفي الإنكليزية أب

• - هل تعلم أن أبجر Abgar اسم معروف جيداً يعود إلى عدد من الملوك الذين حكموا مدينة إديسا (الرها) من أبجر الأول وحتى التاسع، وهم ينتسبون إلى أسرة أوسروين

• - هل تعلم أن الأبجدية الكنعانية تتألف من /22/ علامة كتابية sign تكتب منفصلة غير متصلة، وتعتمد المبدأ الأكوروفوني، حيث تقتصر القيمة الصوتية للعلامة الك

شراء النسخة الورقية