التحليل الحقيقي

أ ب ت ث ج ح خ د ذ ر ز س ش ص ض ط ظ ع غ ف ق ك ل م ن هـ و ي

التحليل الحقيقي

تحليل حقيقي

Real analysis -

نبيه عوده

القياس والتفاضل والتكامل على حقل الأعداد الحقيقية	فضاءات باناخ
القياس	فضاء هلبرت
الاستمرار والتفاضل	التطبيقات في العلوم والهندسات
تكامل لوبيغ

يختص التحليل الحقيقي real analysis بالتعامل مع مجموعة الأعداد الحقيقية ℝ والتوابع (الدوال) المعرّفة عليها، فهو يهتم بدراسة المتتاليات العددية وكذلك دراسة التوابع الحقيقية التي تشتمل على مفاهيم مثل النهاية والاستمرار والتفاضل والتكامل، إضافةً إلى دراسة متتاليات التوابع وتقاربها. واصطلح على تسمية التحليل الحقيقي مع التحليل العقدي التحليل الرياضي.

يُعدّ مفهوم التقارب أساسياً في التحليل الحقيقي؛ إذ يمكن اعتماداً على مفاهيم تقارب المتتاليات والمتسلسلات العددية وتقارب متتاليات التوابع اشتقاق العديد من النتائج التي تربط خواص الأعداد الحقيقية والتوابع المعرّفة عليها بعلاقات تسمح بدراسة التغيرات التابعية، إضافةً إلى حل المعادلات الجبرية والتفاضلية وحساب التكاملات العددية.

القياس والتفاضل والتكامل على حقل الأعداد الحقيقية:

1- القياس:

لتكن مجالات حقيقية، تُسمّى مجموعة الجداء الديكارتي (تجاوزاً) مجالاً من الفضاء الإقليدي . ويرمز عادةً بالكتابة لقياس (حجم) المجال.

يعرّف القياس الخارجي outer measure لمجموعة بأنّه الحدّ الأدنى لمجموع قياسات متتالية من المجالات في تشكّل تغطيةً معدودة للمجموعة ، ويرمز إليها بالكتابة كما هو مبيّن بالعلاقة (1):

يمتلك القياس الخارجي عدداً من الخواص، من أهمّها:

إذا كان فإنّ .
إذا كان (اجتماع معدود) فإنّ
أياً كان المجال فإنّ .
تتحقق المساواة عندما تكون المجموعتان و مغلقتين ومحدودتين ومنفصلتين.
يُقال عن مجموعة إنّها قابلة للقياس وفق لوبيغ Lebesgue إذا حققت الشرط:

أياً كان توجد مجموعة مغلقة ومجموعة مفتوحة بحيث تكون العلاقة (2) محققة:

من النتائج المهمة المتعلّقة بهذا التعريف النقاط الآتية:
إذا كانت مجموعة قابلة للقياس وفق لوبيغ فإن تقبل القياس وفق لوبيغ.
إذا كانت كلٌّ من المجموعتين و قابلتين للقياس وفق لوبيغ فإن المجموعة تقبل القياس وفق لوبيغ.
كل مجال يقبل القياس وفق لوبيغ.
كل مجموعة مهملة تقبل القياس وفق لوبيغ.
تشكّل المجموعات القابلة للقياس وفق لوبيغ جبراً تامّاً أيْ إنّها تحقق الشروط الآتية:

وتجدر الإشارة إلى أن كل المجموعات البوريليّة Borel sets (عناصر الجبر التّام المولّد بالمجموعات المفتوحة في ) هي مجموعات قابلة للقياس وفق لوبيغ. ويُرمز عادةً إلى الجبر التام المكوّن من المجموعات البوريلية في بالكتابة .

بفرض جبراً تاماً مكوّناً من أجزاء تُسمّى الثنائية فضاء قابلاً للقياس. وإذا كان و فضاءين قابلين للقياس، وكان يُقال عن التطبيق إنّه قابل للقياس إذا وفقط إذا تحقق الشرط المبيّن بالعلاقة (3):

ومن ثمَّ إذا كان فضاء قابلاً للقياس يكون التطبيق قابلاً للقياس إذا وفقط إذا تحقق الشرط المعطى بالعلاقة (4):

ليكن جبراً تاماً مكوّناً من أجزاءيُعرّف القياس على الجبر التام بأنّه تطبيقٌ من الشكل يحقق الشرطين الآتيين:

أياً كانت المتتالية من عناصر الجبر التام المنفصلة مثنىً مثنىً فإنّ العلاقة (5) محققة:

تسمّى الثلاثية فضاء مقيساً.

2- الاستمرار والتفاضل

لتكن ، مجموعتين مفتوحتين من و على الترتيب. وليكن يُقال عن التطبيق إنّه مستمر عند نقطة إذا وفقط إذا تحقق الشرط: أياً كانت المتتالية من عناصر - والتي تتقارب من النقطة - فإنّ المتتالية تتقارب من النقطة .

كما يُقال عن التطبيق إنّه يقبل التفاضل عند نقطة إذا وُجد تطبيق خطّي يحقق الشرط المعطى بالعلاقة (6):

أو بشكلٍ مكافئ إذا وُجد عددٌ وتطبيقٌ يحقق بحيث تكون العلاقة (7) محققة:

وينجم عن ذلك أنه إذا كان التطبيق يقبل التفاضل عند النقطة فإنّ هذا التطبيق يكون بالضرورة مستمراً عند هذه النقطة.

يُرمز إلى تفاضل التطبيق عند النقطة بالكتابة أو بالكتابة ، ويُلاحظ أنّ التفاضل عند نقطة هو تطبيق خطّي أيْ . وفي الحالة التي يكون فيها التطبيق قابلاً للتفاضل عند كلّ نقطة يُقال إنّه يقبل التفاضل على المجموعة المفتوحة ، وعندها يُمثل تفاضل تطبيقاً يُعبّر عنه بالعلاقة (8) والعلاقة (9):

وإذا كان التطبيق مستمراً على يُقال عن إنّه يقبل التفاضل مع الاستمرار على المجموعة المفتوحة ، أو بشكلٍ مكافئ يقال إنّ من الصف على المجموعة .

بوجه عام ليس من الضروري أن يكون التطبيق مستمراً، كما يبيّن المثال المعطى بالعلاقة (10):

بفرض تطبيقاً يقبل التفاضل عند نقطة ، ولتكن المركبّات الإحداثيّة للتطبيق ، عندئذٍ، يُمثّل التطبيق الخطي بالأساس القانوني لكلّ من الفضاءين
و بالمصفوفة المعطاة بالعلاقة (11)، والتي تسمى مصفوفة جاكوبي Jacobi:

3- تكامل لوبيغ

تُعرّف التوابع البسيطة بأنّها توابع من الشكل حيث و تغطية لفضاء الأعداد . يُلاحظ أنّ التابع البسيط يكون قابلاً للقياس إذا وفقط إذا كانت المجموعات بوريليّة.

يعرّف تكامل تابع بسيط موجب بالعلاقة (12):

مع الاصطلاح .

وبوجهٍ عام إذا كانت مجموعة بوريليّة من يعرّف تكامل لوبيغ للتابع البسيط على كما هو مبيّن بالعلاقة (13):

يُقال عن إنّه يقبل التكامل وفق لوبيغ على المجموعة البوريليّة إذا كان .

كما يُعرّف تكامل تابع قابل للقياس وموجب بالعلاقة (14):

ويُقال عن التابع إنّه يقبل التكامل وفق لوبيغ على إذا تحقق: .

ليكن و تابعين حقيقيين قابلين للقياس يحققان ، عندئذٍ، تكون العلاقة (15) محققة:

وعلى نحو خاص إذا كان يقبل التكامل وفق لوبيغ فإنّ يقبل بدوره التكامل وفق لوبيغ، ويُطلق على هذه الخاصية اسم معيار قابليّة التكامل. وعلى سبيل المثال يقبل التابع المبيّن بالعلاقة (16) القياس:

وهو تابعٌ موجب ومحدود من الأعلى بالتابع الثابت على المجال ، ومن ثمّ فهو يقبل التكامل وفق لوبيغ على هذا المجال وقيمة تكامله أصغر من .

لتكن متتالية من التوابع الموجبة والقابلة للقياس والمحققة للشرطين المبيّنين بالعلاقتين (17) و(18):

عندئذٍ تكون العلاقة (19) محققة:

ويُطلق على هذه المبرهنة اسم مبرهنة لوبيغ في التقارب المتزايد.

وفي الحالة العامّة ليكن تابعاً قابلاً للقياس، وليكن و تابعين حقيقيين معرّفين بالعلاقة (20):

يُلاحظ أنّ كلاً من التابعين و موجبان، ويقبلان القياس ويرتبطان بالعلاقة (21):

ويُلاحظ أيضاً أنّ العلاقة (22) محققة:

تسمّى التوابع و الجزء الموجب والجزء السالب للتابع على الترتيب.

بفرض تابعاً قابلاً للقياس يُقال إنّ يقبل التكامل وفق لوبيغ إذا قبل كلُّ من و التكامل، وعندها تكون العلاقة (23) محققة:

يُرمز بالكتابة إلى فضاء التوابع الحقيقيّة التي تقبل التكامل على .

فضاءات باناخ

ليكن فضاء شعاعياً حقيقياً (مجموعة مؤثّراته حقل الأعداد الحقيقية ) ومزوداً بنظيمٍ ، ولتكن متتالية من عناصر هذا الفضاء، يُقال عن هذه المتتالية إنّها كوشيّة Cauchy، إذا وفقط إذا حققت الشرط المعطى بالعلاقة (24):

يُلاحظ هنا أنّه إذا كانت المتتالية متقاربة نحو عنصر فإنّ هذه المتتالية تكون كوشيّة والعكس ليس صحيحاً بوجهٍ عام.

ليكن فضاء شعاعياً منظّماً، إذا كانت جميع المتتاليات الكوشية في هذا الفضاء متقاربة فيه يُقال عن هذا الفضاء إنّه تام (كامل). ويُسمّى الفضاء في هذه الحالة بفضاء باناخ Banach space.

بدأ الاهتمام بِما بات يُعرف لاحقاً باسم فضاءات باناخ مع الدراسة التي عرضها ستيفان باناخ في أطروحة الدكتوراه في حزيران/يونيو 1920، وارتبط اسمه منذ ذلك الحين بهذه الدراسة.

ومن الأمثلة على فضاءات باناخ المثالان الآتيان:
فضاءٌ شعاعي منظّم وتام فهو فضاء باناخ، أيْ إنّ جميع المتتاليات الكوشية فيه متقاربة. وبوجه عام جميع الفضاءات هي فضاءات باناخ حيث و نظيمٌ شعاعي ما.
جميع فضاءات التوابع المبينة بالعلاقة (25):

مزوّدة بالنظيم المعرّف بالعلاقة (26):

هي فضاءات باناخ.

فضاء هلبرت:

ليكن فضاء باناخ. إذا كان النظيم موافقاً لجداءٍ سلّمي - أيْ إنّ العلاقة (27) محققة:

فإنّ هذا الفضاء يسمّى فضاء هلبرت Hilbert space. وقد أطلق هذا الاسم تكريماً للعالم الرياضي دافيد هلبرت.

ومن الأمثلة على فضاءات هلبرت المثالان الآتيان:
الفضاء الإقليدي مزوّداً بالجداء السلّمي الإقليدي ، والنظيم الموافق هو فضاء هلبرت.

الفضاء التابعي

هو فضاء هلبرت منسوباً إلى الجداء السلّمي، وهو معرَّف بالعلاقة (28):

وتجدر الإشارة إلى مجموعة من الخواص والنتائج المعروفة في فضاءات هلبرت، وهي:

(1) متراجحة كوشي-شوارتز Cauchy-Schwarz الشهيرة المعطاة بالعلاقة (29):

وتحصل المساواة في المتراجحة السابقة إذا وفقط إذا كان العنصران و مرتبطين خطياً.

(2) خاصّة متوازي الأضلاع المبينة بالعلاقة (30):

(3) مبرهنة فيثاغورث:

لتكن عناصر متعامدة مثنىً مثنىً من فضاء هلبرت ، أيْ إنّ العلاقة (31) محققة:

عندئذٍ تكون الخاصّة المبينة بالعلاقة (32) محققة:

(4) التقريب في مجموعة محدّبة من فضاء هلبرت: تعرّف المسافة بين عنصر ومجموعة بالعلاقة. تشكّل المبرهنة الآتية نتيجة مهمة تتعلق بمسألة التقريب في المجموعات المحدّبة: بفرض مجموعة مغلقة، محدّبة وغير خالية من فضاء هلبرت ، وليكن ، عندئذٍ يوجد عنصر وحيد يحقق شرط المسافة الأصغرية (أقرب عنصر إلى )المعطى بالعلاقة (33):

التطبيقات في العلوم والهندسات

يشغل التحليل الحقيقي -بوصفه مكوّناً رئيساً من مكوّنات التحليل الرياضي- حيزاً جوهرياً بالنسبة إلى بقيّة فروع الرياضيات والعلوم الهندسية عامةً. إذ تُعدّ الرياضيات روح العمل الهندسي لدورها في وضع النماذج والرسومات الهندسية ومحاكاة الواقع؛ كذلك الشأن بالنسبة إلى الإحصاء، فلا يكاد يخلو جزءٌ منه من المعادلات والحسابات واستخدام الأعداد في التقدير وتحليل المعطيات. وفي الاقتصاد تطبّق مفاهيم رياضيّة تستخدم الأعداد والقياسات في حل مسائل الإدارة والتخزين والإنتاج.

مراجع للاستزادة:

- R. F. Bass, Real Analysis for Graduate Students, CreateSpace, 2013.

- S. G. Krantz, Real Analysis and Foundations, Taylor & Francis Group, 2013.

- L. F. Richardson, Measure and Integration: A Concise Introduction to Real Analysis, Wiley, 2009.

- H. Royden, P. Fitzpatrick, Real Analysis, Pearson, 2010.