logo

logo

logo

logo

logo

التحكم الأمثل

تحكم امثل

Optimal control -

التحكم الأمثل

هيام خدام

المفهوم الأساسي للأمثَلة

التحكم الأمثل

أنماط التحكم الأمثل

التحكم التربيعي الأمثل quadratic optimal control

 

التحكم الأمثل optimal control هو تصميم للمتحكم الذي يحقق خواص محددة للنظام بأفضل شكل ممكن وباستخدام معايير محددة، كتصميم متحكم يحقق أقل خطأ ساكن static error أو يحقق أسرع استجابة ممكنة للنظام. وقد يكون الهدف من التحكم الأمثل هو الحصول على أحد متغيرات النظام في الحلقة المغلقة الذي يحقق خاصة محددة للنظام بشكل أمثلي كقيمة معدل التخامد damping ratio الذي يجعل استجابة النظام أسرع ما يمكن.

المفهوم الأساسي للأمثَلة

إن مفهوم الأمثَلة optimization هو مفهوم عام يرد في الكثير من العلوم، وهو يعني الحصول على الأفضل وفق معيار محدد، أو الحصول على المتغيرات التي تحقق الأفضل وفق معيار محدد كالحصول على أعلى طاقة من مولد، أو أقل استهلاك للطاقة لآلة ما، أو الحصول على أعلى إنتاجية زراعية، أو توزيع مجموعة من المهام على عدد من المعالجات للحصول على أقل زمن تنفيذ.

تتم عمليات الأمثلة رياضياً بتعظيم maximization أو تصغير minimization تابع يسمى دليل الأداء performance index، ويمثل الخاصية المراد أمثلتها، فمثلاً عندما يكون دليل الأداء هو مردود الإنتاج لآلة ما يكون الهدف من عملية الأمثلة هو الحصول على القيمة العظمى maximum value لهذا الدليل، وعندما يكون دليل الأداء هو مقدار الخطأ المرتكب في إنجاز عمل ما يكون الهدف من عملية الأمثلة هو الحصول على القيمة الصغرى minimum value لهذا الدليل.

تتطلب مسائل الأمثلة حساب المحدد (الوسيط) parameter أو مجموعة المحددات التي تحقق القيمة العظمى أو الصغرى لدليل الأداء؛ وهذا يقتضي إدخال هذا المحدد (أو المحددات) في تشكيل دليل الأداء ثم حساب القيمة العظمى أو الصغرى لدليل الأداء.

الخطوة الأولى في عملية الأمثلة هي الحصول على دليل الأداء الممثل للخاصية المراد أمثلتها بصفته تابعاً لمحدِّدات النظام، ثم حساب قيم المحددات التي تجعل من هذه الخاصية أفضل ما يمكن عن طريق تعظيم دليل الأداء أو تصغيره.

يمكن توضيح مفهوم الأمثلة بالمثال الهندسي التالي:

بفرض أن هناك عملية أو منظومة ممثلة بنموذج رياضي، ودليل الأداء لهذه العملية يمثل التكلفة الصغرية فيكون الهدف من مسألة الأمثلة هو إيجاد قيم متغيرات المنظومة التي تعطي أفضل قيمة لدليل الأداء (التكلفة الصغرية). وهكذا تتكون مسألة الأمثلة من عنصرين: المنظومة (أو النموذج)، ودليل الأداء.

1- دليل الأداء:

يعتمد دليل الأداء على طبيعة المسألة المدروسة، ويكون عادة إحدى الدوال التالية:

الربح الأعظمي، التكلفة الصغرية، الجهد الأصغري، الخطأ الأصغري، الضياعات الصغرى، زمن التنفيذ الأصغري، جودة الإنتاج الفضلى.

2- الوصف الرياضي لمسألة الأمثلة:

يمكن صياغة مسألة الأمثلة كما يلي:

إيجاد القيمة الصغرى لتابع الكلفة أو دليل الأداء f(x) بحيث تتحقق الشروط التالية:

حيث: هو شعاع الحالة، ومؤلف من n متحولاً () . h(x) شعاع ذو بعداً من المعادلات (المساواة). g(x) شعاع ذو بعداً من المتراجحات.

3- خطوات حل مسائل الأمثلة:

أ - توصيف العملية أو المنظومة وتحليلهما لتحديد قائمة بجميع المتغيرات.

ب - تحديد شرط الأمثلة: تابع الهدف أو دليل الأداء.

ج - وضع نموذج رياضي للعملية لتحديد شروط المساواة والمتراجحات.

د- تبسيط المسألة قدر الإمكان في حال كون الصياغة الناتجة للمسألة معقدة.

هـ- تطبيق تقنية الأمثلة المناسبة للمسألة.

و- التحقق من النتائج، وفحص الحساسية تجاه التغيرات في محددات (بارامترات) النموذج والفرضيات الموضوعة.

التحكم الأمثل

ظهرت الحاجة إلى التحكم الأمثل لعدة أسباب، منها:

1- قد لا يعطي التصميم بالاعتماد على طريقة توضع الأقطاب placement حلاً وحيداً. وذلك وفق نظرية التحكم بالتغذية الراجعة وتوضع الأقطاب في المستوى العقدي s-plane، بحيث تقابل القيم الخاصة للاستجابة بالاستناد إلى تابع النقل transfer function.

2- صعوبة تحديد الموقع الأفضل لأقطاب النظام.

تستخدم تطبيقات التحكم الأمثل في مجالات مختلفة، منها: الفضاء، تحكم العمليات، الروبوتية، الهندسة الطبية، الاقتصاد، المال، علوم الإدارة.

يهدف التحكم الأمثل إلى زيادة مردود النظام بتكلفة أصغرية. وبوجه عام تهدف مسألة التحكم الأمثل إلى إيجاد إشارة التحكم u التي تجعل من النظام الممثل بالمعادلات (1 و2):

يلاحق المسار الأمثل الذي يحقق القيمة الصغرى لدالة الأداء أو تابع التكلفة التالي:

تعد هذه المسألة واحدة من مسائل إيجاد القيمة الصغرى المشروطة لتابع، وهناك عدة طرق لحلها، منها:

1- حساب التفاضل والتكامل التغييري variational calculus: وهو يستخدم للحصول على معادلات تفاضلية تعرف بمعادلات أويلر- لاغرانج Euler- Lagrange.

2- المبدأ الأعظمي لبونترياغن maximum principle of Pontryagin: باستخدام تابع هاملتون Hamiltonian function.

3- طريقة بيلمان للبرمجة الديناميكية dynamic programming method of Bellman: باستخدام المعادلات التفاضلية الجزئية لهاملتون وجاكوبي Hamilton-Jacobi partial differential equation.

يتم تطبيق معادلات أويلر-لاغرانج وبونترياغن على الأنظمة الممثلة بمعادلات حالة state equations لاخطية متغيرة مع الزمن وبدليل أداء غير تربيعي ومتغير مع الزمن. أما معادلات هاملتون- جاكوبي فتستخدم في حالات خاصة للأنظمة الخطية غير المتغيرة مع الزمن وبدليل إنجاز تربيعي، وتأخذ صيغة معادلة ريكاتي المصفوفية Riccati matrix equation، ويكون قانون التحكم في هذه الحالة تابعاً خطياً لمركبات شعاع الحالة.

أنماط التحكم الأمثل

1- التحكم النهائي: يهدف هذا النوع من التحكم إلى نقل النظام قدر الإمكان إلى حالة نهائية محددة ضمن مدة محددة سلفاً. مثلاً: يكون الهدف من التحكم الأمثل في نظام الهبوط الآلي للطائرة هو الوصول إلى القيمة الصغرى للأخطاء في شعاع الحالة عند نقطة الهبوط.

2- التحكم بالزمن الأصغري minimum time control: يستخدم هذا التحكم للوصول إلى الحالة النهائية بأقصر مدة ممكنة، يبدأ التحكم في هذه الحالة بتطبيق إشارة تحكم أعظمية، وعند زمن محدد تستبدل بهذه القيمة قيمة صغرى. مثلاً: في طريق السفر الطويل ينطلق سائق السيارة بسرعة قصوى وتبقى قدمه على دواسة البنزين طوال الطريق، وعند الوصول إلى نقطة النهاية يقوم بالضغط على مكابح السيارة بأقصى سرعة.

3- التحكم بالطاقة الصغرى minimum energy control: يستخدم لنقل النظام من حالة ابتدائية إلى حالة نهائية بأقل استهلاك لطاقة التحكم، وهو يستخدم في التحكم بالأقمار الصناعية.

4- الضبط regulation: يستخدم هذا النوع من التحكم الأمثل في الحالة التي يعاني فيها النظام في البداية من الانزياح عن حالة الاتزان، وعندها يكون الهدف من التحكم هو إعادة النظام إلى حالة الاتزان بطريقة معينة بحيث يكون دليل الأداء المعطى أصغرياً.

5- الملاحقة tracking: يهدف التحكم في هذه الحالة إلى جعل حالة النظام تلاحق مساراً معيناً بأقل خطأ ممكن بحيث يكون دليل الأداء المعطى أصغرياً.

التحكم التربيعي الأمثل quadratic optimal control:

ينطوي هذا النوع من التحكم الأمثل على تصميم متحكم في فضاء الحالة يحقق أفضل أداء للنظام المتحكم به، وهو يدعى التحكم التربيعي؛ لأن دليل الأداء فيه يمثل بتابع تربيعي. يمكن حل مسألة التحكم التربيعي الأمثل بالاعتمـاد عـلى طـريقة ليابونوف Lyapunov.

إن التحكم الأمثل بمفهوم ليابونوف هو تصميم متحكم في فضاء الحالة، (أو الحصول على محدد ما) يحقق أفضل استقرار للنظام وفق مفهوم ليابونوف.

يمكن تصميم المتحكم في فضاء الحالة باستخدام طريقة توضيع الأقطاب حيث تستبدل بأقطاب النظام في الحلقة المفتوحة أقطاب الحلقة المغلقة التي تحقق خصائص محددة للنظام كالاستجابة العابرة أو الدائمة أو متطلبات الاستقرار.

يقتضي تصميم المتحكم بهذه الطريقة حساب مصفوفة التغذية الخلفية K التي يعاد فيها شعاع الحالة X(t) من خرج النظام إلى دخله بتغذية خلفية سالبة تحققها المصفوفة K (المتحكم). وفي هذه الحالة تصبح إشارة الدخل للنظام u خطية، وهي تعطى بالقانون (العلاقة 3):

أما دليل الأداء J في التحكم التربيعي الأمثل فيكون تابعاً لشعاع الحالة ولإشارة دخل النظام، ويمثل بالمعادلة (4):

حيث:

L : تابع تربيعي في شعاع الحالة X.

:u الدخل، وهو بوجه عام شعاع طوله r.

وهكذا يكون الهدف من مسألة الأمثلة هو إيجاد إشارة التحكم التي تجعل النظام يعمل بالشكل الأمثل. يمكن استخدام الطريقة المباشرة لدراسة الاستقرار وفق ليابونوف لأمثلة دليل الأداء، إضافة إلى الطرق المذكورة آنفاً.

التحكم التربيعي الأمثل في النظم المتقطعة الخطية: quadratic optimal control in linear discrete time control systems

بوجه عام يوصف نظام التحكم المتقطع الخطي في فضاء الحالة بالمعادلة (5):

حيث:

:X(k) شعاع الحالة عند العينة k، وهو بطول n.

:u(k) شعاع التحكم عند العينة k، وهو بطول r.

:G مصفوفة n×n.

:H مصفوفة n×r.

  يهدف التحكم التربيعي الأمثل إلى إيجاد قانون لحساب شعاع التحكم لإنقاص دليل أداء تربيعي محدد. يعطى دليل الأداء التربيعي في نظم التحكم المتقطعة بالعلاقة (6):

حيث و هي مصفوفات مربعة متناظرة.

يشير الحد الأول من دليل الأداء إلى أهمية الوضع النهائي للنظام، ويشير الحد الأول من المجموع إلى الأهمية النسبية للخطأ خلال عملية التحكم، ويمثل الحد الثاني من المجموع طاقة إشارة التحكم.

يعطى قانون التحكم الأمثل الناتج من إنقاص دالة الأداء بالمعادلة (7):

حيث هو الربح المتغير مع الزمن، ويحسب بالعلاقة (8):

حيث تحقق المصفوفة p(k)معادلة ريكاتي Riccati التالية (العلاقة 9):

تُحلُّ هذه المعادلة عكسيّاً ابتداءً من القيمة النهائية لـ حتى القيمة الابتدائية ،

وتكون دالة الأداء المثلى (العلاقة 10):

إضافة إلى الطرق التحليلية والرقمية المستخدمة في حساب القيمة الصغرى أو العظمى لدالة الأداء يمكن استخدام طرق أخرى للبحث عن القيمة المثلى كاستخدام الخوارزميات الجينية genetic algorithms (GA) للبحث عن أفضل حل من بين مجموعة من الحلول الأولية الممكنة لمسألة معينة، وهنا يكون دليل الأداء هو تابع الملاءمة fitness function.

مراجع للاستزادة:

-R. S. Burns, Advanced Control Engineering, Butterworth- Heinemann, 2001.

-G. C. Goodwin, et al., Control System Design, Prentice Hall, 2000.

- D. E. Kirk, Optimal Control Theory: An Introduction Indigo, USA 2004.


التصنيف : كهرباء وحاسوب
النوع : كهرباء وحاسوب
المجلد: المجلد السادس
رقم الصفحة ضمن المجلد : 0
مشاركة :

اترك تعليقك



آخر أخبار الهيئة :

البحوث الأكثر قراءة

هل تعلم ؟؟

عدد الزوار حاليا : 559
الكل : 29579606
اليوم : 34522