logo

logo

logo

logo

logo

التعويض

تعويض

Substitution - Substitution

التعويض

 

التعويض substitution من س هو أي تقابل مثل تا: س ¬ س، حيث س أيّ مجموعة منتهية وغير خالية. ويمكن، للسهولة، عَدُّ س=(1، 2،..، ن) وهذا لا يؤثر في عمومية المناقشة. ويسمى عَدَدُ عناصر س درجة تا. ويمكن تمثيل أي تعويض تا من الدرجة ن، الذي يحول هـ إلى تا (هـ) لأجل هـ= 1،...، ن، بعدّة أشكال متكافئة ومتساوية، كُلٌّ منها جَدْوَلٌ ذو سطرين، يدعى الأول منهما مُنطلق تا، ويدعى الثاني مُستقره، حيث يُكتب تا(هـ) تحت هـ مباشرة في الجدول. ويكون كل من سَطري الجدول مرتباً ترتيباً ما، أي إنه تَبديلٌ لـ س من الدرجة ن. ويمكن رَدُّ كُلِّ شكلٍ لـ تا إلى الشكل المحدَّد الآتي، الذي عناصرُ سطرِهِ الأول مرتَّبةٌ ترتيبها الطبيعي:   وبالتالي يتعين تا تماماً بسطره الثاني الذي هو التبديل ]تا(1) تا(2) ...تا(ن)[. إذن فعدد التعويضات من الدرجة ن يساوي عدد التباديل لـ س من الدرجة ن، أي يساوي ن!.

يُفْتَرضُ فيما يأتي أن ن 1 وأن س = { 1، 2، ....، ن } وأن كل تعويض من الدرجة ن، مالم يذكر خلاف ذلك.

الزمرة التناظرية: لتكن ظ ن مجموعة التعويضات. يمكن تزويد ظ ن بقانون تشكيل داخلي تجميعي o ألا وهو تركيب التطبيقات، الذي يدعى، عادة، جداء التعويضات أو حاصل ضربها. فإذا كان تا، ها أي عنصرين من ظ ن فعندئذٍ: تا ها = تا o ها = لا ' ظ ن،

حيث لا(س) = تا (ها(س)) لأجل أيّ س من س. ويوجد في ظ ن عنصر محايد هو التعويض المطابق

حيث تا م ن = م ن تا = تا. وأيضاً يوجد لـ تا مقلوب في ظ ن هو التطبيق المعاكس تا-1، حيث تا تا-1 = تا-1 تا = م ن. ويمكن الحصول على تا-1 بالمبادلة بين سطري تا. وبذلك تكون ظ ن [بالنسبة لجداء التعويضات] زمرة منتهية، مرتبتها ن! وتدعى الزمرة التناظرية من الدرجة ن. وتكون هذه الزمرة تبديلية عندما يكون ن 2 وغير تبديلية عندما ن 3.

تفريق تعويض

تعاريف: بفرض تا أيّ تعويض. إن مَرْتَبَة تا هي أصغر عدد صحيح موجب مثل ص. بحيث يكون تاص = م ن في الزمرة ظ ن، حيث تاص = تا ... تا [تا مكررة ص مرة].

يقال عن تا إنه دورة ذات الطول هـ، حيث 1 < هـ ن إذا وجدت في س مجموعة جزئية مثل ع بحيث يتحقق ما يأتي:

1ـ ع مكونة من هـ عنصراً.

"ع 'ع فإن ع ¹ تا(ع) 'ع.

3- " ب ' س - ع فإن ب = تا(ب).

فإذا كانت ع = } حـ، د، ...، ق{ = } أ1، أ2، ...، أهـ{  وكان تا (أ ك) = أ ك+1 لأجل ك' { 1،....، هـ -1 }، تا(أ هـ) = أ1 فإنه يرمز لهذه الدورة بـ1 أ2 ... أهـ-1 أهـ).

ومن الواضح أنّ: 1 أ2 ... أهـ-1 أهـ)= (أ2 أ3 ... أهـ أ1)= ... = (أهـ أ1 ... أهـ-2 أهـ-1). وينظر إلى التعويض المطابق من بأنه دورة ذات الطول هـ =1 والتي يرمز لها بـ (س)، حيث س أي عنصر من س. كما تدعى أي دورة، بطول 2، مُنَاقَلَة.

إذا كانت1 أ2 ... أهـ-1 أهـ)، (ب1، ب2، ... بك) دورتين بحيث إن: }أ1 ... أهـ ءÇ ء }ب1 ... بك{ = نф

 فيقال إنهما دورتان مستقلتان، ومن الواضح أن جداءهما تبديلي.

مثال(2): إذا كان ن = 5 فإن:

2ـ خواص التعويضات:

أ ـ كل تعويض يساوي (أو يَتَفَرَّق إلى) جداء عدد منته من الدورات المستقلة مثنى مثنى، وهذا التفريق وحيد (بغَضّ النظر عن ترتيب المضاريب فيه).

مثال توضيحي يبين طريقة برهان هذه الخاصة وطريقة استخدامها:

إنّ تا(1) =3، تا(3) =5، تا(5) =7، تا(7) =1 وبذا تنتج الدورة (1 3 5 7). ثم يكرر مثل هذا العمل حتى يصبح كل عنصر من المجموعة {1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، {8 قد شارك في واحدة فقط من الدورات التي نتجت.

وبذلك يكون: تا = (1 3 5 7) (2 4 6 8).

ويمكن حذف الدورة (3) لأنها تساوي م4، فيصبح ها = (4 2 1)، وذلك عندما لا ترتبط المناقشة بعدد الدورات المستقلة جميعها. وينسجم هذا مع ترميز الدورة عندما عرفت أعلاه.

ب ـ مرتبة أي دورة تساوي طولها.

حـ ـ مرتبة أي تعويض تساوي المضاعف المشترك الأصغر لأطوال جميع الدورات المستقلة مثنى مثنى والتي جداؤها يساوي هذا التعويض.

د ـ إذا كانت (أ1 أ2... أهـ) أي دورة ذات الطول هـ فإنه يمكن تفريقها إلى جداء (هـ -1) مناقلة بإحدى الطريقتين الآتيتين:

1 أ2 أ3 ... أهـ-1 أهـ) = (أ1 أهـ) (أ1 أهـ-1) ... (أ1  أ3) (أ1 أ2)

1 أ2 أ3 ... أهـ-1 أهـ) = (أ1 أ2) (أ2 أ3) ... (أهـ-1  أهـ)

[ملاحظة: إن المناقلات، في كل من الطرفين الأيسرين، غير مستقلة، فترتيب المضاريب له أهميته].

هـ ـ إذا كان ن 2 وكانت د دورة بطول 1، فإنّ:

د = م ن = (أ ب) (أ ب) = (أ ب) (أ ب) (أ ب) (أ ب) = ...

حيث أ،ب، أي عنصرين مختلفين من س.

وـ بافتراض أ،ب، حـ، د، أي أربعة عناصر مختلفة مثنى مثنى من س فإنّ:

(أ ب)-1 = (أ ب) عندما ن 2

(أ حـ د) = (أ ب د) (أ ب د) (أ ب حـ) (أ ب د) ن 4

زـ كل تعويض يتفرق إلى جداء عدد منته من المناقلات، وذلك بطرق كثيرة ومختلفة [ولكن هذا العدد لا يتعين بشكل وحيد عندما ن 2].

مثال: إذا كان ن = 5 فإنّ:

ح ـ إذا كان ن 2 فكل تعويض يمكن أن يفرق إلى جداء مناقلات منتمية إلى المجموعة } (1 2)، (1 3)، ...، (1 ن){

طـ ـ إذا كان أ، ب عنصرين من س بحيث ب = أ + هـ > أ + 1  فإن المناقلة (أ ب) تساوي:

(أ + هـ) = (أ – هـ -1  أ + هـ) (أ + هـ -2  أ + هـ -1) ..................

                            (أ +1  أ +2) (أ  أ +1) (أ +1  أ +2) ................

                               (أ + هـ -2  أ + هـ -1) (أ + هـ -1  أ + هـ)؛

وبالتالي فكل مناقلة (س ع) تساوي جداء عدد من المناقلات ذوات الشكل (ص ص +1).

ي ـ يمكن تفريق أي تعويض تا إلى جداء (ن- ك) من المناقلات، حيث ك هو عدد جميع الدورات المستقلة مثنى مثنى والتي يتفرق التعويض تا إلى جدائها.

 ويتم إثبات ذلك بالاستفادة من الخاصتين أ، د.

يقال عن العدد D = (ن - ك) إنه تناقص التعويض تا.

نوعية التعويض

تعاريف: ليكن ل أي تبديل لـ س. يقال إن عددين، من العداد الداخلة في ل، يحدثان انقلاباً فيه إذا كان أكبرهما واقعاً على يمين أصغرهما فيه.

ويدعى عدد الأزواج، التي كل منها يحدث انقلاباً في ل، عدد الانقلابات في ل.إذا تَمَّت مبادلة موضعي عددين في ل وتركت بقية الأعداد في مكانها، فيقال إنه أُجري تَنقيلٌ في ل.

تعريف نوعية التبديل: يقال عن التبديل ل إنه زوجي (فردي) إذا وإذا فقط كان فيه عدد زوجي (فردي) من الانقلابات.

فمثلاً، التبديل [1 2 … ن] زوجي لأن فيه \ انقلاباً، أما التبديل [2 6 1 5 3 4]، حيث ن =6، فهو فردي لأن فيه 7 انقلابات.

تعريف نوعية التعويض: يقال عن التعويض تا إنه زوجي [فردي] إذا وإذا فقط كان تا(ق) = ق [تا(ق) = - ق].

هذا ويمكن أن ينظر إلى التعويض تا بأنه زوجي عندما ن =1.

عبد الواحد أبو حمدة

الموضوعات ذات الصلة:

 

التحليل التوليفي ـ الزمرة ـ المحدّدة.

 

مراجع للاستزادة:

 

- C.H.Sah, Abstract Algebra (Academic Press, U.S.A 1968).

- R.D.Carmichael, Introduction to the Theory of Groups of Finite Order, Dover, U.S.A1956).




التصنيف : الرياضيات و الفلك
النوع : علوم
المجلد: المجلد السادس
رقم الصفحة ضمن المجلد : 663
مستقل

آخر أخبار الهيئة :

البحوث الأكثر قراءة

هل تعلم ؟؟

للحصول على اخبار الموسوعة

عدد الزوار حاليا : 1
الكل : 7390559
اليوم : 2906

الإبداع

الإبداع تذكر في تحديد الإبداع، أو الإبداعية Creativity لدى الإنسان تعريفات متعددة في الدراسات النفسية والنقطة المشتركة بين هذه التعريفات الإشارة إلى «خاصة الإبداع» أو «القدرة على الإبداع»، وإلى وجودها لدى الأشخاص المبدعين بوجه خاص. وتكون هذه القدرة من مستويات متعددة، وتبدو في أشكال من السلوك المبدع، وفي مقدمة ما يشمله هذا السلوك: التأليف والتخطيط والاستنباط والاختراع. فإذا وضع الإبداع موضع التحليل من حيث ما يشمله من نشاط مبدع أمكن القول إنه القدرة على حسن تفهم علاقات قديمة في خبرة الشخص، وتصور أو استنباط علاقات جديدة، والانتهاء من الاختيار والتمييز بين الإمكانات المتعددة إلى حلول مبتكرة وذات معنى لمسألة أو موضوع. ويحتمل في هذا الموضوع أن يكون فكرياً أو أن يكون متصلاً مباشرة بما هو مادي. من هذه الزاوية تبدو هذه القدرة في نوع الانفكاك في منظومات فكرية سابقة أخذت صيغة جديدة تنطوي على الأصالة وتوصف بالإبداع أو الابتكار.

المزيد »