المعادلات التفاضلية الجزئية

معادلات تفاضليه جزييه

Partial differential equations - Equations différentielles partielles

المعادلات التفاضلية الجزئية

المعادلة التفاضلية الجزئية partial differential equation هي المعادلة التي تحوي مشتقاً جزئياً واحداً أو أكثر لتابع (دالة) مجهول يتعلق بمتغيرين مستقلين أو أكثر، فإذا كان التابع المجهول هو z مثلاً وكانت المتغيرات المستقلة هي x₁, x₂, …, x_n فالمعادلة التفاضلية الجزئية تأخذ الشكل الآتي:

وتعد مرتبةُ المعادلة هي مرتبةَ أعلى مشتق يرد فيها. وكما في المعادلات التفاضلية العادية [ر] يقال إنها خطية إذا كانت من الدرجة الأولى في التابع المجهول ومشتقاته الجزئية. ومن أبرز الأمثلة عملياً على معادلات تفاضلية جزئية وخطية من المرتبة الثانية المعادلات الآتية:

حيث c ثابت يأخذ معنى فيزيائياًيختلف من معادلة لأخرى وt هو الزمن وx, y, z الإحداثيات الديكارتية. إذا كان f(x, y)≠0 في معادلة بواسون ثنائية البعد سميت غير متجانسة، أما إذا كان f(x, y) = 0 فإنها تدعى معادلة متجانسة.

إن حل معادلة تفاضلية جزئية في ساحة ما G من فضاء المتغيرات المستقلة هو تابع z له تلك المشتقات الجزئية التي تظهر في المعادلة، وذلك في الساحة G نفسها ويحقق المعادلة التفاضلية الجزئية في كل نقطة من G.

ولسوء الحظ لا توجد طريقة عامة لإيجاد حلول للمعادلات التفاضلية الجزئية، فالتوابع الآتية على سبيل المثال:

u = x² - y² , u = e^x cos y , u = In (x² + y² ) x

تمثل كلها حلولاً لمعادلة لابلاس ثنائية البعد على الرغم من الاختلاف الكبير فيما بينها. ولإيجاد حل وحيد خاص لمعادلة تفاضلية جزئية تستخدم شروط البدء (أي قيم الحلول عندما تكون t = 0) كما تستخدم ما يسمى شروط الحدود (الشروط الحدَّية) Boundary conditions وهي قيم الحلول في نقاط معينة على حدود الساحة G.

وفيما يلي بعض الأمثلة التي تبين طرائق مكاملة بعض المعادلات التفاضلية الجزئية البسيطة:

مثال (1):

حيث ϕ (y) تابع كيفي لـ y، وهو يقوم بدور الثابت الكيفي عند مكاملة معادلة تفاضلية عادية.

مثال (2):

نكامل مرة ثانية بالنسبة لـ x فنحصل على

z = ò j (y) dy + y (x)

حيث y (x) هو تابع كيفي لـ x.

وهكذا يلاحظ أن الحل العام للمعادلة التفاضلية الجزئية من المرتبة الأولى يتعلق بتابع كيفي واحد، أما الحل العام للمعادلة التفاضلية الجزئية من المرتبة الثانية فيتعلق بتابعين كيفيين... وهكذا.

المعادلة التفاضلية الجزئية الخطية من المرتبة الأولى

تأخذ المعادلة التفاضلية الجزئية الخطية من المرتبة الأولى الشكل الآتي:

يتضح هنا أن التابع المجهول هو z، فإذا كان H (x₁, x₂, …, x_n, z) = 0

وكانت التوابع F₁. F₂, …, F_n غير تابعة لـ z يقال عن المعادلة إنها خطية متجانسة.

لتكن لدينا المعادلة:

حيث P, Q, R هي توابع مستمرة بالنسبة للمتغيرات ولا تنعدم جميعها في وقت واحد. لا بد لحل هذه المعادلة من الاستعانة بالمفاهيم الهندسية حيث يعتبر حقل المتجهات المستمر F المعرف بالعلاقة:

حيث متجهات الواحدة، وهكذا فإن هذه العلاقة تعرِّف متجهاً في كل نقطة من الفضاء.

والمطلوب إيجاد المنحنيات التي تمس في كل نقطة منها المتجه المعرف في تلك النقطة بالعلاقة السابقة.

تتعين هذه المنحنيات من شرط الارتباط الخطي بين المتجه  حيث:

المحمول على المماس في نقطة ما من المنحني المطلوب إيجاده وبين المتجه من الحقل F[ر. الفضاء المتجهي] الموافق لتلك النقطة، ويأخذ الشرط الشكل الآتي:

وتشكل جملة المنحنيات المحققة لهذا الشرط سطوحاً تحوي هذه المنحنيات.

وطريقة تشكيل هذه السطوح توضح أن العمود N في كل نقطة من السطح يتعامد مع متجه الحقل F في تلك النقطة أي N. F = 0[ر. الفضاء المتجهي]. وهذا يعني أن معادلات هذه السطوح هي في الواقع حلول المعادلة (1).

فإذا كانت معادلة السطح هي z = f (x, y) فإن المتجه N يأخذ الشكل:

وبالتالي فإن الشرط N. F = 0 يكتب بالشكل:

وهذه ليست إلا المعادلة التفاضلية الجزئية الأصلية (1).

أما إذا كانت معادلة السطح u (x, y, z) = 0 فإن N يعطى بالعلاقة:

كما أن الشرط N. F = 0 يصبح:

وهكذا فلإيجاد السطوح المحققة للخاصة أي لإيجاد حلول المعادلة التفاضلية الجزئية المعطاة تتبع الخطوات الآتية:

(1) تُؤخذ جملة المعادلات التفاضلية المساعدة

(2) إيجاد تكاملين أوليين مستقلين لهذه الجملة

 y₁  (x, y, z) = c₁,   y₂  (x, y, z) = c₂ 

فيكون الحل العام للمعادلة التفاضلية الجزئية

هو السطح التكاملي Φ [y₁(x, y, z) , y₂(x, y, z)] حيث Φ هو تابع اختياري. أما إيجاد قيمتي الثابتين c₁, c₂ فيعني إيجاد ذلك السطح التكاملي المار من منحنٍ ما بالذات Γ مثلاً.

فإذا فرض أن معادلات المنحني معطاة بدلالة تقاطع السطحين يكون:

f (x, y, z) = 0, g (x, y, z) = 0

فإنه يتم إيجاد معادلة السطح التكاملي بإيجاد علاقة بين c₁, c₂ من المعادلات:

f (x, y, z) = 0, g (x, y, z) = 0

y₁(x, y, z) = c₁, y₂(x, y, z) = c₂

فإذا كانت هذه العلاقة هي S (c₁, c₂) = 0 فإن معادلة السطح التكاملي المار من المنحني Γ تأخذ الشكل

S [y₁(x, y, z), y₂(x, y, z)] = 0

المعادلة التفاضلية الجزئية الخطية من المرتبة الثانية

تعد المعادلة التفاضلية الجزئية الخطية من المرتبة الثانية من أهم المعادلات التفاضلية الجزئية في المسائل التطبيقية (الفيزيائية مثلاً). يتم تصنيف المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية من المرتبة الثانية في أربعة أنواع رئيسية:

أ - المعادلة التفاضلية الجزئية من النوع الناقصي، وتكتب بالشكل:

بفرض x = (x₁, x₂, …, x_n) ; a_ij = a_ji، وأن G هي المنطقة التي تقع فيها المتغيرات المستقلة، وبحيث يتحقق الشرط:

م

فمن أجل n = 2 مثلاً، فإن:

إذا كان:

(2a₁₂)² - 4 a₁₁a₁₂ < 0 ; a₁₁ > 0

ب - المعادلة التفاضلية الجزئية من النوع الزائد:

تسمى المعادلة الخطية في المتغيرات t , x₁ , x₂ , …, x_n والمعطاة بالشكل:

حيث a_0i , …, a_ij هي توابع (دوال) في t وx، بمعادلة من النوع المكافئ بالاتجاه t في الفضاء tx إذا كان للمعادلة المميزة  

جذران حقيقيان l₁ ( t, x, x ) , l₂ (t, x , x) من أجل أي مرتّب من n

x = (x₁, …, x_n ) ≠ ( 0, …, 0).

ج ـ المعادلة التفاضلية الجزئية من النوع المكافىء:

تسمى المعادلة

معادلة من النوع المكافئ إذا وفقط إذا كان det (a_ij) = 0 في كل نقطة من نقط الساحة المطروحة للدراسة.

د ـ المعادلة التفاضلية الجزئية من النوع المختلط

وهي معادلة تفاضلية جزئية لا تنتمي إلى أي من الأنواع السابقة ومن أشهر هذه المعادلات هي:

حيث:

فوزي دنان

الفضاء المتجهي ـ المشتقات ـ المعادلات التفاضلية.

ـ أحمد درويش، المعادلات التفاضلية (2) (منشورات جامعة دمشق 1993).

- ROBERT MCOWEN, Partial Differential Equations, 2nd edition (Prentice Hall 2002).

التصنيف : الرياضيات و الفلك

النوع : علوم

المجلد: المجلد الثامن عشر

رقم الصفحة ضمن المجلد : 894

آخر أخبار الهيئة :

معجم المصطلحات

الأطلس الجغرافي

البحوث الأكثر قراءة

اصدارات الموسوعة العربية

أسماء الباحثين

هل تعلم ؟؟

• - هل تعلم أن الأبلق نوع من الفنون الهندسية التي ارتبطت بالعمارة الإسلامية في بلاد الشام ومصر خاصة، حيث يحرص المعمار على بناء مداميكه وخاصة في الواجهات

• - هل تعلم أن الإبل تستطيع البقاء على قيد الحياة حتى لو فقدت 40% من ماء جسمها ويعود ذلك لقدرتها على تغيير درجة حرارة جسمها تبعاً لتغير درجة حرارة الجو،

• - هل تعلم أن أبقراط كتب في الطب أربعة مؤلفات هي: الحكم، الأدلة، تنظيم التغذية، ورسالته في جروح الرأس. ويعود له الفضل بأنه حرر الطب من الدين والفلسفة.

• - هل تعلم أن المرجان إفراز حيواني يتكون في البحر ويتركب من مادة كربونات الكلسيوم، وهو أحمر أو شديد الحمرة وهو أجود أنواعه، ويمتاز بكبر الحجم ويسمى الش

• هل تعلم أن الأبسيد كلمة فرنسية اللفظ تم اعتمادها مصطلحاً أثرياً يستخدم في العمارة عموماً وفي العمارة الدينية الخاصة بالكنائس خصوصاً، وفي الإنكليزية أب

• - هل تعلم أن أبجر Abgar اسم معروف جيداً يعود إلى عدد من الملوك الذين حكموا مدينة إديسا (الرها) من أبجر الأول وحتى التاسع، وهم ينتسبون إلى أسرة أوسروين

• - هل تعلم أن الأبجدية الكنعانية تتألف من /22/ علامة كتابية sign تكتب منفصلة غير متصلة، وتعتمد المبدأ الأكوروفوني، حيث تقتصر القيمة الصوتية للعلامة الك

شراء النسخة الورقية