logo

logo

logo

logo

logo

التحريك (علم-)

تحريك (علم)

Dynamics - Dynamique

التحريك (علم ـ)

 

يطلق اسم علم التحريك (الديناميك) dynamics على فرع من علم الميكانيك النظري يدرسُ حركة الأجسام المادية في الفضاء، ولكن ليس بمعزل عن الدواعي التي تحدثها، وذلك خلافاً لعلم الحركة[ر] kinematics الذي يدرس الخصائص الهندسية للحركة بمعزل عن القوى التي تسببها. وبعبارة أخرى، فإن علم التحريك يتناول العلاقة بين القوى التي تخضع لها الأجسام المادية والحركات التي تنشأ عن هذه القوى، ويستنتج القوانين العامة التي تحكم هذه العلاقة.

تحريك النقطة المادية

يُفترض في علم الميكانيك النظري أن الأجسام المادية مكوَّنة من نقاط مادية، أي من جزيئات بالغة الصغر يمكن إهمال أبعادها. وستُدرس في بداية الأمر قوانين حركة نقطة مادية، ثم يجري الانتقال إلى دراسة قوانين حركة مجموعات من النقاط التي تكوِّن الأجسام المادية (التي يطلق عليها أحياناً الأنظمة الميكانيكية mechanical systems)، وكان أول من أورد هذه القوانين العالم الفذّ إسحاق نيوتن[ر] I.Newton في عام 1678م. ويمكن صياغة هذه القوانين (المبادىء) على النحو الآتي:

1ـ المبدأ الأول (مبدأ العطالة): لكل نقطة مادية منعزلة (أي غير خاضعة لأي قوة) سرعة ثابتة شدة واتجاهاً. ويعني هذا المبدأ أن النقطة المادية المنعزلة إمّا أن تظل ساكنة أبداً، أو متحركة أبداً بسرعة مستقيمة منتظمة. ويمكن صياغة هذا المبدأ بطريقة أخرى: إن تسارع النقطة المادية المنعزلة يساوي الصفر.

وهكذا فإن النقطة المادية ليس بوسعها تغيير سرعتها، إذ إنه لحدوث ذلك لابدَّ لها من الوقوع تحت تأثير قوى خارجية، وبعبارة أخرى، لا يمكن للنقطة أن تتسارع ذاتياً من دون تدخلٍ من قوى خارجية. ويطلق على هذه الخاصة اسم عطالة inertia المادة. ومن الجدير بالذكر أن العالم الإيطالي غاليلو[ر] Galileo كان أول من أورد مبدأ العطالة عام 1638م.

لا يكون مبدأ العطالة دقيقاً إلا في نظام كوبِرنيك الإحداثي، حيث يُعدّ مبدأ النظام في مركز الشمس وتمر محاوره بنجوم ثابتة. من الممكن أيضاً اعتماد نظام غاليلو الإحداثي الذي يؤدي حركة انسحابية مستقيمة ومنتظمة. ولتبسيط الأمور، يُقبل مبدأ العطالة إذا استُعيض عن المحاور الثابتة بمحاور مرتبطة بالكرة الأرضية. ومع أنه سيرافق ذلك بعض الخطأ، فإنه يمكن إهماله بوجه عام، إلا في علم الميكانيك السماوي.

 لتكن نقطة مادية تتحرك بحركة غير مستقيمة أو غير منتظمة، أي إنها تتحرك بتسارع، عندئذٍ لا يمكن أن تكون النقطة منعزلة. ويبين المبدأ الثاني الرابطة بين القوة المطبقة على النقطة المادية والتسارع الناشىء عنها.

2ـ المبدأ الثاني (المعادلة الأساسية في علم الميكانيك): للتسارع الناجم عن تطبيق قوةٍ على نقطة مادية اتجاهُ هذه القوة، وتتناسب شدته مع شدتها. وهكذا إذا رُمز إلى القوة المطبقة بـ، وإلى التسارع الناجم عنها بـ، فإن المبدأ الثاني يمكن أن يُعطى بالمساواة حيث ثا مقدار ثابت.

وتبين التجربة أن الثابت ثا يتغير من نقطة مادية إلى أخرى، وأنه كلما ازدادت قيمته، ازدادت القوة ق اللازمة كي ينجم عن تطبيقها على النقطة تسارع محدّد . وقد جرت العادة أن يرمز إلى الثابت ثا بالرمز ك، الذي يسمى كتلة النقطة المادية. وهكذا يكون:

 

تسمى هذه المعادلة المتجهية، التي تعبر عن العلاقة بين الكتلة والقوة والتسارع الناجم عنها، المعادلة الأساسية في علم الميكانيك.

3ـ المبدأ الثالث (مبدأ محصلة القوى): إذا طُبقت على نقطة مادية عدة قوى في آن واحد، اكتسبت تسارعاً هو التسارع نفسه الذي تكتسبه نتيجة تطبيق قوة واحدة عليها، هي محصلة القوى المعطاة.    

وهكذا إذا كانت  القوى التي طُبقت معاً على النقطة المادية التي كتلتها ك، فإن تسارع النقطة الحاصل  يُعطى بالمعادلة  وهذه هي المعادلة الأساسية في علم الميكانيك عندما تكون النقطة المادية خاضعة لعدة قوى.

4ـ المبدأ الرابع (مبدأ التساوي بين الفعل ورد الفعل): لكل فعل ردّ فعل يساويه في الشدة ويعاكسه في الاتجاه.

في حين أن مبدأ نيوتن الأول يبيِّن ما إذا كانت ثمة قوة مطبقة على نقطة مادية، وأن المبدأ الثاني يحدد شدة هذه القوة واتجاهها، فإن المبدأ الرابع يتحدث عن خاصة مهمة للتأثيرات المتبادلة بين النقاط المادية، ومن ثم عن مصدر كلٍ من هذه القوى. وفي الحقيقة، فإن سبب تغيير جسمٍ لسرعته ينجم بالضرورة عن وجود أجسام أخرى تؤثر فيه، إذ لو كان الجسم وحيداً ومنعزلاً في الكون لما وُجد أي أساس لافتراض أنه يغيِّر حركته. وهكذا فإن المبدأ يؤكِّد أن مصدر القوة ، المؤثرة في جسم مادي كتلته ك لا تتغير حركته، هو جسم آخر كتلته كَ تؤثر فيه قوة  تساوي في شدتها القوة  وتعاكسها بالاتجاه، أي إن

تسمى القوة  الفعل action، والقوة  رد الفعل reaction.

حقل القوى، خطوط القوى، العمل، دالة القوى

1ـ يسمى جزء الفضاء، الذي إذا شغلت نقطة مادية موضعاً فيه أثَّرت فيها قوة، حقل قوى field of force هذه القوة. فمثلاً يحدِّد جزء الفضاء القريب من الكرة الأرضية حقل قوى قوة الثقالة. وإذا كانت المركبات  لقوة الحقل على ثلاثة محاور إحداثية هي دوالّ (توابع) لنقطة تطبيق القوة س، ع، ص فقط، فإنه يقال إن القوة دالة نقطية.

2ـ تُعرّف خطوط القوى lines of force بأنها المنحنيات التي معادلاتها التفاضلية:

وكلٌ من خطوط القوى يمس في كل نقطة منه قوة الحقل المطبقة في تلك النقطة. وقد يحدث أن تكون كل قوة من الحقل متغيرة مع الزمن. عندئذٍ يقال إن حقل القوى متغير variable.

3ـ يُعرَّف العمل work الابتدائي لقوة  مطبقة في نقطة متحركة بأنه الجداء العددي (السلمي) scalar product للقوة بالانتقال الابتدائي لنقطة التطبيق، أي إنه حاصل الضرب (الجبري) لانتقال النقطة في مسقط القوة على اتجاه ذلك الانتقال. لذا فإن العمل الابتدائي تفا عم للقوة  التي مركباتها  لدى انتقال ابتدائي  (مركباته تفا س ، تفا ع، تفا ص) هو:

4ـ لتكن المركبات  للقوة  هي مشتقات جزئية لدالة قا (س،ع، ص) لإحداثيات النقطة س،ع، ص من دون غيرها، أي ليكن:

عندئذٍ تسمى (قا) دالة قوى function of force، ويسمى حقل القوى حقلاً كمونياً potential field، ويكون:

وبمكاملة هذه المساواة نجد الصيغة

عم = قا + ث

حيث ث ثابت عددي. ويُدعى هذا التكامل تكامل الطاقة energy integral، وتستعمل أحياناً دالة أخرى عوضاً عن دالة القوة قا تسمى دالة الكمون potential function (أو الطاقة الكامنة potential energy) كا، ترتبط بدالة القوى بالعلاقة كا = - قا. يتضح من المساواة عم = قا + ث أن دالة القوى، ومن ثم دالة الكمون تتحدد مقرَّبة إلى حد ثابت، وأن تكامل الطاقة يمكن أن يكتب بالشكل:

  عم + كا = ث

القوانين العامة لعلم التحريك

1ـ قانون تغير الاندفاع (كمية الحركة) momentum

لما كانت المعادلة الأساسية في علم الميكانيك هي ، وكانت الكتلة ك ثابتة، وكان التسارع هو مشتق السرعة  بالنسبة إلى الزمن ز، فإنه يمكن كتابة هذه المعادلة بالشكل . ولما كانت  هي اندفاع النقطة المادية، فإنه يصح القانون التالي الذي يطلق عليه اسم قانون الاندفاع:

«مشتق اندفاع نقطة مادية بالنسبة إلى الزمن يساوي القوة المؤثرة في هذه النقطة»

2ـ قانون تغير عزم الاندفاع (العزم الحركي)

إذا ضُرب طرفا المعادلة الأساسية في الميكانيك متجهياً (خارجياً) من اليمين بالمتجه  (الذي يمثِّل المتجه الذاهب من مركز مثبت في الفضاء إلى النقطة المادية) فإننا نجد المعادلة:

التي يمكن كتابتها بالشكل: 

وتعبِّر هذه المعادلة عما يسمى قانون تغيُّر عزم الاندفاع، الذي يمكن صوغه على النحو الآتي:

«مشتق عزم الاندفاع  لنقطة مادية بالنسبة إلى الزمن حول مركز مثبت يساوي عزم القوة حول هذا المركز»

3ـ قانون تغير الطاقة الحركية

ينتج من ضرب طرفي المعادلة  عددياً (داخلياً) بـ  المعادلة التالية:

لكن:

لذا يمكن كتابة المعادلة السابقة على النحو الآتي:

أطلق لايْبْنِتز Leibniz على المقدار ك سر2 اسم القوة الحية، كما أُطلق على نصف القوة الحية اسم الطاقة الحركية kinetic energy. ولما كان الطرف الأيسر من المساواة الأخيرة هو العمل الابتدائي للقوة  لدى انتقالها تفا، فإنه يصح القانون التالي الذي يسمى الصيغة التفاضلية لقانون تغير الطاقة الحركية وهو:

«تفاضل الطاقة الحركية لنقطة مادية بالنسبة إلى الزمن يساوي العمل الابتدائي للقوة المؤثرة في هذه النقطة». ويمكن كتابة الصيغة الأخيرة بالشكل

وبمكاملة المعادلة (1) عند تغير الزمن من ز.  إلى ز ينتج:

حيث طح0 ، طح قيمتا الطاقة الحركية للنقطة المادية في اللحظتين ز0، ز، وحيث التكامل الأيسر تكامل منحنٍ على القوس

الذي تسلكه النقطة المادية في حركتها من النقطة أ0 الموافقة للزمن ز0 إلى النقطة أ الموافقة للزمن ز وتعبِّر هذه المساواة عن القانون التالي الذي يسمى الصيغة التكاملية لقانون تغير الطاقة الحركية:

«تزايد الطاقة الحركية لنقطة مادية في مدة زمنيةٍ ما يساوي عمل القوة المؤثرة فيها خلال هذه المدة الزمنية».

ومن السهل استنتاج أنه إذا كانت النقطة تتحرك في حقل كموني، فإن المساواة السابقة تُكتب بالشكل:

أو بالشكل

يسمى مجموع الطاقتين الحركية طح والكامنة كا الطاقة الميكانيكية الكاملة total mechanical energy للنقطة المادية. وهكذا فإن المعادلة الأخيرة تعبّر عن ثبوت الطاقة الميكانيكية الكاملة للنقطة المادية، وتحمل اسم قانون حفظ الطاقة الميكانيكية law of conservation of mechanical energy.

علم التحريك العام أو تحريك المجموعات

يُعنى علم التحريك العام بدراسة حركات مجموعات من النقاط المادية (أي الأنظمة الميكانيكية سواء أكانت نقاطاً طليقة أم خاضعة لصلات فيما بينها) نتيجة القوى المؤثرة فيها.

1ـ تحريك مجموعة نقاط طليقة

تنقسم القوى المطبقة على مجموعة من النقاط المادية إلى قوى داخلية مجموعها الهندسي (المتجهي) صفر (مبدأ الفعل وردّ الفعل)، وقوى خارجية. فإذا رمز إلى كلٍ من القوى الخارجية بـ  كان المجموع الهندسي (الحاصلة الانسحابية) للقوى المطبقة على هذه المجموعة مساوياً:

من الواضح أنه أياً كانت النقطة المادية من هذه المجموعة فإن:

وتغدو هذه المساواة بعد الجمع المتجهي الممتد على جميع نقاط المجموعة كما يلي:

يسمى المقدار اندفاع (كمية حركة) المجموعة. فإذا رُمز لهذا المقدار بـ  فإننا نجد المساواة: التي تبين أن مشتق اندفاع مجموعة النقاط الطليقة يساوي المجموع الهندسي للقوى الخارجية المؤثرة في النقاط. يسمى هذا القانون قانون تغير الاندفاع للمجموعة المادية الطليقة.

لتكن كـ الكتلة الكلية لنقاط المجموعة  سرعة مركز الكتلة وتسارعه. لما كان، فإنه يترتب على ما سبق أن:

أي إن مركز كتلة المجموعة المادية الطليقة يتحرك مثل نقطة كتلتها كـ خاضعة للمجموع الهندسي للقوى الخارجية. يسمى هذا القانون قانون حركة مركز الكتلة.

يسمى مجموع عزوم الاندفاعات لنقاط المجموعة بالنسبة إلى مركز مثبت ما، أي المجموع  عزم الاندفاع (العزم الحركي) للمجموعة بالنسبة إلى هذا المركز (أو حوله). ويمكن البرهان على القانون التالي، الذي يسمى قانون تغير عزم الاندفاع لمجموعة مادية طليقة:

«مشتق عزم الاندفاع لمجموعة نقاط مادية طليقة بالنسبة إلى الزمن حول مركز مثبتٍ ما يساوي العزم الحاصل للقوى الخارجية حول هذا المركز».

يُعبَّر عن هذا القانون متجهياً بالمعادلة:

كذلك فمن الممكن إثبات صحة القانون الآتي (بافتراض أن  الطاقة الحركية للمجموعة المادية ، وأن القوتين الخارجية والداخلية هما القوتان المؤثرتان في نقطة ما من المجموعة الطليقة):

أي إن تفاضل الطاقة الحركية للمجموعة المادية من النقاط الطليقة يساوي مجموع الأعمال الابتدائية للقوى الداخلية والخارجية المؤثرة في نقاط هذه المجموعة.

يسمى هذا القانون الصيغة التفاضلية لقانون تغير الطاقة الحركية لمجموعة النقاط المادية الطليقة. وبمكاملة المعادلة الأخيرة حين يتغير الزمن من ز0 إلى ز يتبين أن:

حيث طح0 ، طح قيمتا الطاقة الحركية للنقطة المادية في اللحظتين ز0، ز، وحيث تكون التكاملات في الطرف الأيسر تكاملات منحنية للأعمال الابتدائية للقوى الخارجية والقوى الداخلية لكل نقطةٍ على القوس

الذي تسلكه النقطة في حركتها من النقطة أ الموافقة للزمن ز0 إلى النقطة اَ الموافقة للزمن ز.

تحريك المجموعات المادية الخاضعة لصلات معينة

يمكن عدّ نقطةٍ مادية طليقةً إذا أضفنا إلى القوى المطبقة عليها مباشرة (أي القوى الفاعلة) قوى الصلة. وفي هذه الحالة يوجد في كل لحظة توازن بين القوى الفاعلة وقوى العطالة (مبدأ دالامبير).

الاحتكاك

عندما تتحرك نقطة (أو جسم) على جسم آخر (ساكن أو متحرك) تلقى هذه النقطة مقاومة تنشأ عن وجود الجسم الذي تتحرك عليه. تسمى هذه المقاومة احتكاكاً friction.

أشار العالم كولون Coulomb ت(1730 - 1806) إلى الاحتكاك بين الأجسام الصلبة على النحو التالي: لتكن زحافة ثقلها (و)، تنزلق قاعدتها المستوية على مستوٍ أفقي بحيث يكون ضغطها واحداً في جميع نقاطها. فإذا سحبت الزحافة بثقل (وَ) مربوط في نهاية حبل يدور حول بكرة وثُبّت طرفه الآخر بالزحافة، فإن حركة هذه الزحافة تكون متسارعة بانتظام.

استنتج كولون من هذا أن قوة الاحتكاك، قح، مستقلة عن السرعة، علماً بأن هذه القوة مبطئة للحركة ومتجهة بعكس اتجاه هذه الحركة.

وقد وُجد أنه إذا كان تع التسارع الناتج، ج تسارع الثقالة الأرضية فإن:

وقد استنتج كولون، انطلاقاً من هذه المعادلة أن قوة الاحتكاك قح متناسبة مع الثقل و.

خضر الأحمد

مراجع للاستزادة:

 

ـ وجيه القدسي، الميكانيك 5 (منشورات جامعة دمشق 1981).

 - W.Arthur & S.K.Fenster, Mechanics (Reinhart & Winston 1968).


التصنيف : الرياضيات و الفلك
النوع : علوم
المجلد: المجلد السادس
رقم الصفحة ضمن المجلد : 70
مشاركة :

اترك تعليقك



آخر أخبار الهيئة :

البحوث الأكثر قراءة

هل تعلم ؟؟

عدد الزوار حاليا : 1103
الكل : 43668405
اليوم : 86565

الأمينو فينولات

الأمينو فينولات   الأمينو فينولات أو الفينولات الأمينية  aminophenols مركبات عضوية تحوي في آن واحد وظيفةً أمينية ووظيفة فينولية، صيغتها العامة:     وأبسطها ما كانت نواته العطرية Ar مشتقة من البنزن، وله ثلاثة متماثلات في التركيب هي:  
المزيد »