التوازن البياني

توازن بياني

Graphical statics - Statique graphique

التوازن البياني

يمكن دوماً دراسة علم التوازن لمجموعة نقط مادية بالطريقة التحليلية، إلا أنه يكون من المهم في بعض المسائل التطبيقية، والهندسية منها خاصة، أن يُدْرس التوازن بسرعة ويُسر ووضوح مع دقة مقبولة، والطريقة البيانية graphical تفي بهذا الطلب، إذ يمكن بهذه الطريقة الحصول على محصلة resultant مجموعة قوى مستوية، أي الحصول بالرسم على القوة التي يكافئ فعلها فعل مجموعة القوى، مما يجعل من الممكن الحكم على مجموعة القوى فيما إذا كانت متوازنة أم غير متوازنة، والتوصل إلى شروط توازنها دون اللجوء إلى الطريقة التحليلية.

تُعيَّن حاصلة geometrical sum قوتين، أي المجموع الهندسي لهما الذي يمكن تعيينه في أي نقطة من الفضاء، بالرسم بطريقة متوازي الأضلاع، بَيْدَ أنه يتعذر استخدام هذه الطريقة في حالة القوى المتوازية، أو في حالة القوى التي لا تلتقي خطوط تأثيرها في منطقة محدودة من المستوي. ويستخدم لتجاوز هذه المشكلة ما يسمى مضلع القوى force polggon، والمضلع الحبلي string polygon أو funicular polygon.

مضلع القوى: لتعيين حاصلة مجموعة قوى مستوية          ، يرسم من نقطة ما (آ₀) في مستوي القوى       متجه            يساير القوة     ، ومن نهاية هذا المتجه يرسم متجه يساير القوة وهكذا... فيكون المتجه مسايراً للقوة  (الشكل-1). يسمى المضلع أ₀ أ₁ أ₂...أ_ن مضلع القوى أو المضلع التحريكي. ويكون المتجه      مسايراً لحاصلة القوتين    ، ويسمى الحاصلة الجزئية الأولى    ، ويساير المتجه  حاصلة القوى الثلاث  ويسمى الحاصلة الجزئية الثانية  وهكذا..، ويساير المتجه  حاصلة القوى ، ويعيّن منحى الحاصلة  وجهتها وشدتها.

إذا انطبقت النقطة الأخيرة أ_ن من مضلع القوى على النقطة الأولى أ₀، سمي المضلع مغلقاً، وتكون حاصلة القوى            مساوية الصفر.

المضلع الحبلي ومحصلة مجموعة قوى مستوية: (الشكل-2)

1- الطريقة الأولى: بعد رسم مضلع القوى أ₀ أ₁...أ_ن يُمدَّد حامل القوة، وليكن ل₁ إلى أن يقطع حامل القوى في النقطة ب₁، ويرسم من هذه النقطة مستقيم ل₂ يوازي الحاصلة الجزئية من مضلع القوى، فيقطع هذا المستقيم حامل القوة في النقطة ب₂، ثم يُرسم من ب₂ مستقيم ل₃ يوازي الحاصلة الجزئية الثانية وهكذا... فيكون المستقيم ل_ن موازياً للحاصلة     (الشكل-3). يسمى المضلع الناتج ب₁ ب₂...ب_ن-1 المضلع الحبلي لمجموعة القوى . ويلاحظ أنه في حين يعيِّن مضلع القوى شدّات الحاصلات  ومناحيها واتجاهاتها، فإن المضلع الحبلي يعيِّن حوامل هذه الحاصلات. ويقال عن المضلع الحبلي إنه مغلق، إذا انطبق الضلع ل_ن-1 على القوة الأخيرة        ، وتكون مجموعة القوى في هذه الحالة مكافئة الصفر، أما إذا كان ل_ن-1  يوازي

فإن المجموعة تكافئ مزدوجة.

2- الطريقة الثانية: بعد رسم مضلع القوى أ₀ أ₁...أ_ن تؤخذ نقطة م₀ مثلاً من مستوي هذا المضلع، يطلق عليها اسم القطب. توصل هذه النقطة برؤوس مضلع القوى فتنتج المستقيمات       التي رُمز لها في الشكل 4 بالأرقام 0، 1، 2، ن. يرسم من نقطة جـ₀ من المستوي مستقيم ل₀ يوازي م₀ أ₀، ويُمدَّد هذا المستقيم حتى يقطع حامل القوة     في نقطة جـ₁. يُرسم من هذه النقطة مستقيم ل₁ يوازي م أ₁ ويمدَّد حتى يقطع حامل     في نقطة جـ₂ وهكذا... فيكون المضلع جـ₀ جـ₁...جـ_ن هو المضلع الحبلي. وإذا تلاقى الضلعان، الأول ل₀ والأخير ل_ن، من المضلع الحبلي في نقطةٍ ولتكن هـ، فإن مجموعة القوى تُردّ إلى قوة وحيدة تمر من هذه النقطة، مما يبيِّن أن المضلع الحبلي يعيِّن نقطة من حامل المحصلة. أما إذا انطبق الرأس أ_ن على أ₀ في مضلع القوى وتوازى الضلعان ل₀، ل_ن من المضلع الحبلي فإن مجموعة القوى تكافئ مزدوجة، في حين تكون مجموعة القوى مكافئة الصفر إذا انطبق الرأس أ_ن على أ₀ في مضلع القوى وانطبق ل₀ على ل_ن في المضلع الحبلي، ويكون المضلع الحبلي في هذا الحالة مغلقاً (الشكل-5). وتعدُّ هذه الطريقة أعم من الطريقة الأولى لأنها تنجح في تعيين محصلة مجموعة قوى مستوية دوماً، في حين تخفق الطريقة الأولى في بعض الأحيان كما في حالة القوى المتوازية أو الحالة التي تكون فيها الزوايا بين القوى صغيرة.

3- محصلة قوى مستوية غير متوازية:

 لتعيين محصلة قوى مستوية كيفية يرسم مضلع القوى أ₀ أ₁...أ_ن ثم يرسم المضلع الحبلي بالطريقة الأولى (الشكل-3) فيمثِّل الضلع الأخير ل_ن منه حامل الحاصلة، الذي يؤخذ عليه متجه يساوي      فيكون هو المحصلة المطلوبة، أو يُرسم المضلع الحبلي بالطريقة الثانية ويمدَّد الضلعان ل₀ ول_ن فيلتقيان في نقطة هـ من المحصلة التي يرسم منها متجه يساوي المتجه        فيكون هو المحصلة المطلوبة (الشكل-4).

4- محصلة قوى مستوية متوازية:

يرسم مضلع القوى أ₀ أ₁...أ_ن، فتكون أضلاع هذا المضلع منطبقة على مستقيم واحد في هذه الحالة. توصل رؤوس هذا المضلع بالقطب م، ثم يرسم من نقطة من مستوي القوى المضلع الحبلي كما في الطريقة الثانية، ويمدد الضلعان الأول والأخير من المضلع الحبلي حتى يتقاطعا في نقطة هـ يرسم منها متجه يساير فيكون هو المحصلة المطلوبة (الشكل-6).

مركز ثقل مجموعة نقط

 لتعيين مركز ثقل مجموعة نقط تقع في مستو شاقولي واحد، يُرسم مضلع القوى م أ₀ أ₁...أ_ن والمضلع الحبلي بالطريقة الثانية، وليكن جـ₀ جـ₁...جـ_ن هذا المضلع. يمدَّد الضلعان الأول والأخير فيتقاطعان في نقطةٍ مثل هـ، ثم يُرسم من هذه النقطة مستقيم شاقولي . إن مركز الثقل يقع على هذا المستقيم. يُدوَّر المضلع م أ₀ أ₁...أ_ن حول القطب م في مستويه بزاويةٍ ما (تؤخذ زاوية الدوران قائمة للسهولة)، فتُدار بذلك القوى كلها بهذه الزاوية. يُرسم المضلع الحبلي جـَ₀ جـَ₁...جـَ_ن ثم يمدّد الضلعان الأول والأخير من هذا المضلع حتى يتقاطعا في نقطة مثل هَـ يرسم منها مستقيم أفقي ، فيكون مركز الثقل المطلوب هو نقطة تقاطع المستقيمين . ويوضح (الشكل-7) هذه الطريقة في حالة نقطتين ثقيلتين ب₁، ب₂.

ويمكن استخدام الطريقة ذاتها لتعيين مركز ثقل سطح مستو محدود، وذلك بتجزئة هذا السطح إلى سطوح عنصرية يُعيَّن مركز ثقل كل منها، ثم يعيَّن مركز ثقل مجموعة النقط الناتجة.

شروط توازن مجموعة قوى مستوية

 إن الشرط اللازم والكافي لتوازن مجموعة قوى مستوية بطريقة بيانية هو أن يغلق مضلع القوى ويغلق المضلع الحبلي لهذه القوى، لأن إغلاق مضلع القوى يعني أن حاصلة هذه القوى تساوي الصفر، وإغلاق المضلع الحبلي يعني أن العزم الحاصل لهذه القوى يساوي الصفر، مما يقود إلى أن مجموعة القوى تُردُّ إلى قوتين متعاكستين مباشرة، وهذا يعني أن المجموعة متوازنة.

تفريق قوة إلى ثلاث قوى متلاقية

 إذا كانت حوامل هذه القوى الثلاث متلاقية في نقطة واحدة، فإن تفريق القوة  يتم بإسقاط القوة على المستقيمات الثلاثة. أما إذا كانت المستقيمات التي يراد تفريق القوة وفقها متلاقية ولكنها لا تمر بنقطة واحدة، فإن التفريق يتم باستخدام مضلع القوى. فإذا فرض أن ل هو حامل القوة وأن المتجه  يساير القوة ، وكان المطلوب تفريق وفق المستقيمات 1، 2، 3 المتلاقية مثنى، فإن التفريق يتم بالطريقة التالية: يُرسم من النقطة ب₁ مستقيم ل₁ يوازي المستقيم (1) ويرسم من النقطة ب₄ مستقيم ل₂ يوازي المستقيم جـ₁جـ₂ حيث تكون جـ₁ نقطة تقاطع ل مع المستقيم (1) وتكون جـ₂ نقطة تقاطع المستقيمين (2) و(3)، فيتقاطع المستقيمان ل₁ ول₂،

 بنقطة ب₂ يرسم منها مستقيم ل₃ يوازي المستقيم (3)، فيقطع المستقيم ل₄، المرسوم من ب₄ موازياً للمستقيم (2)، بنقطة ولتكن ب₃. يؤخذ على المستقيم (1) متجه  يساوي ، ويؤخذ على المستقيم (2) متجه يساوي وعلى المستقيم (3) متجه يساوي فتكون القوى الثلاث هي القوى المطلوبة، ويكون المضلع ب₁ ب₂ ب₃ ب₄ هو مضلع القوى الموافق (الشكل-8).

ـ تفريق قوة إلى قوتين موازيتين لها:

 لتكن           قوة حاملها ل ويطلب تفريقها إلى قوتين وفق المستقيمين ل₁ ول₂ الموازيين للمستقيم (ل). تؤخذ من أجل ذلك نقطة م في المستوي الحاوي على المستقيمات الثلاثة وتوصل بكلٍ من ب₁ وب₃، ثم يُرسم من نقطة ما جـ من المستقيم ل مستقيمان: الأول    يوازي م ب₁ فيقطع ل₁ في جـ₁، والثاني    يوازي م ب₃  فيقطع ل₂ في جـ₂،

 ويتم بوصل جـ₁ جـ₂ تكوين المضلع الحبلي الموافق جَـ₁جـ_-1 جـ₂ جَـ_-2. يرسم بعدئذ من النقطة م مستقيم يوازي جـ₁ جـ₂ فيقطع المستقيم ب₁ ب₃ بنقطة ب₂، ثم يؤخذ على المستقيم ل₁ قوة

 وعلى ل₂ قوة     

         فتكون هما المركبتان المطلوبتان ويكون المضلع م ب₁ب₂ب₃ هو مضلع القوى الموافق (الشكل-9).

دعد الحسيني

التوازن (علم ـ).

ـ وجيه القدسي، موجز الميكانيك، الجزء الثاني (مطبعة جامعة دمشق 1973-1974).

- P.Germain, Introduction a la mecanique des milieun contiues (Masson, Paris 1980).

- Timoshenko and Young, Engineering Mechanics (Mc.Graw-Hill Inc.1956).

التصنيف : الرياضيات و الفلك

النوع : علوم

المجلد: المجلد السابع

رقم الصفحة ضمن المجلد : 84

آخر أخبار الهيئة :

معجم المصطلحات

الأطلس الجغرافي

البحوث الأكثر قراءة

اصدارات الموسوعة العربية

أسماء الباحثين

هل تعلم ؟؟

• - هل تعلم أن الأبلق نوع من الفنون الهندسية التي ارتبطت بالعمارة الإسلامية في بلاد الشام ومصر خاصة، حيث يحرص المعمار على بناء مداميكه وخاصة في الواجهات

• - هل تعلم أن الإبل تستطيع البقاء على قيد الحياة حتى لو فقدت 40% من ماء جسمها ويعود ذلك لقدرتها على تغيير درجة حرارة جسمها تبعاً لتغير درجة حرارة الجو،

• - هل تعلم أن أبقراط كتب في الطب أربعة مؤلفات هي: الحكم، الأدلة، تنظيم التغذية، ورسالته في جروح الرأس. ويعود له الفضل بأنه حرر الطب من الدين والفلسفة.

• - هل تعلم أن المرجان إفراز حيواني يتكون في البحر ويتركب من مادة كربونات الكلسيوم، وهو أحمر أو شديد الحمرة وهو أجود أنواعه، ويمتاز بكبر الحجم ويسمى الش

• هل تعلم أن الأبسيد كلمة فرنسية اللفظ تم اعتمادها مصطلحاً أثرياً يستخدم في العمارة عموماً وفي العمارة الدينية الخاصة بالكنائس خصوصاً، وفي الإنكليزية أب

• - هل تعلم أن أبجر Abgar اسم معروف جيداً يعود إلى عدد من الملوك الذين حكموا مدينة إديسا (الرها) من أبجر الأول وحتى التاسع، وهم ينتسبون إلى أسرة أوسروين

• - هل تعلم أن الأبجدية الكنعانية تتألف من /22/ علامة كتابية sign تكتب منفصلة غير متصلة، وتعتمد المبدأ الأكوروفوني، حيث تقتصر القيمة الصوتية للعلامة الك

شراء النسخة الورقية