logo

logo

logo

logo

logo

حساب المحموَلات

حساب محمولات

Calculus of predicates - Calcul des prédicats

حساب المحمولات

 

المحمولة predicate (القضية الخبرية) هي إفادة تصريحية ذات الشكل الرمزي P(x) أو P(x1, …,xn)، بمتغير واحد مثل x أو بعدد من المتغيرات مثل x1, …, xn  قيمها غير محددة. وحساب المحمولات calculus of predicates هو دراسة الإفادات التي لمتغيراتها مكممات تحددها.

ويقال عن هذا الحساب إنه منطق من المرتبة الأولى لأنه يوجد منطق ذو مرتبة عالية (ثانية أو ثالثة...).

مجموعة التعويض لمتغير هي المجموعة المكونة من القيم الممكنة للمتغير في محمولة. وإذا رمز لمجموعة التعويض للمتغير x بالرمز D فيقال، حينئذ، عن المحمولة P(x) إنها محمولة على D.

قيمة المحمولة P(x) عندما x = e من مجموعة التعويض هي نتيجة تعويض القيمة e للمتغير x في P(x). ويرمز لهذه القيمة، حينئذ، بالرمز P(e) الذي يكون عبارة عن قضية.

المسورة الوجودية لمحمولة مثل P(x) ، يأخذ متغيرها قيمه من مجموعة تعويض مثل D، هي القضية  ($ x Î D)P(x) أو ($ x) P(x) التي تكون صحيحة إذا وجد عنصر واحد على الأقل مثل e بحيث تكون القضية P(e) صحيحة.

ويقرأ مكمم الوجود $ بأحد الأشكال الآتية:

يوجد عنصر واحد على الأقل، ثمة عنصر، لأجل بعض العناصر، لأجل عنصر واحد على الأقل.

المسورة الشاملة لمحمولة مثل P(x)، يأخذ متغيرها قيمه من مجموعة تعويض مثل D، هي القضية (" x Î D) P(x) أو (" x) P(x) التي تكون صحيحة إذا كانت P(e) صحيحة لأجل كل عنصر e من D.

ويقرأ مكمم الشمول "  بأحد الأشكال الآتية:

لأجل كل عنصر، لأجل جميع العناصر، أياً كان العنصر، مهما يكن العنصر.

المسورة الوجودية الوحيدة لمحمولة مثل P(x)، يأخذ متغيرها قيمه من مجموعة تعويض مثل D، هي القضية ($! x) P(x) التي تكون صحيحة إذا كانت P(e) صحيحة من أجل العنصر الوحيد e من D.

ويقرأ مكمم الوجودية الوحيدة $! بأحد الشكلين التاليين:

يوجد عنصر واحد بالضبط، يوجد عنصر واحد فقط.

نطاق مكمم هو المحمولة التي يطبق عليها (هذا المكمم).

يقال عن متغير مثل x في محمولة مثل P(x) إنه متغير مقيّد إذا وقع داخل النطاق لمكمم. أما في الحالة المعاكسة فيقال إنه متغير حر.

 الصيغة المكونة جيداً (Wff) هي إما قضية أو محمولة ذات مكممات تقيد واحداً أو أكثر من متغيراتها.

يقال عن صيغة مكونة جيداً إنها مغلقة إذا كانت دون متغيرات حرة. يقال عن صيغة مكونة جيداً إنها في شكل نظامي إذا كانت جميع المكممات تقع في البداية والنطاق يلي المكممات. يقال عن صيغة مكونة جيداً إنها ذرية إذا لم تحو أيّ ربط منطقي. أما في الحالة المعاكسة فيقال إنها مركبة (جزيئية).

إذا كانت P(x) محمولة، مجموعة التعويض لها D، فيرمز لمجموعة حلولها بالرمز Tp وتعرّف بأنها المجموعة:

}القضية P(x) صحيحة    Tp= {x / x Î D,

وإضافة إلى ذلك، إذا أُخذت المجموعة:

}القضية P(x) خاطئة    Fp= {x / x Î D,

فإن: Tp Ç Fp = f, Tp È Fp = D

حقائق:

1 - إذا كانت P(x), Q(x) محمولتين على D نفسها، فإنّ:

(1) P(x) Λ Q(x) تكون محمولة على D ومجموعة حلولها هي TP Ç TQ.

(2) P(x) Ú Q(x) تكون محمولة على D ومجموعة حلولها هي TP È TQ.

(3) ~P(x) تكون محمولة على D ومجموعة حلولها هي FP.

(4) P(x) → Q(x) تكون محمولة على D ومجموعة حلولها هي FP È TQ.

(5) P(x) ↔ Q(x) تكون محمولة على D ومجموعة حلولها هي (TP Ç TQ) È (FP Ç FQ).

(6)  (" xÎ D) P(x) القضية  تكافئ القضية القائلة إن مجموعة الحلول للمحمولة P(x) هي D نفسها، أي: TP=D.

(7)   ($ x Î D) P(x)القضية  تكافئ القضية Tp ≠ f.

(8) التكافؤ التالي صحيح:

(" x Î D) P(x) Þ  Q(x)) Û  TP Í TQ

وبالتالي:

(" x Î D) P(x) Þ  Q(x)) Û  TP = TQ

2 - إذا كانت المحمولة P(x) ذرية فإنّ النطاق لـ (" x)  في (" x) P(x) يكون، وضوحاً، المحمولة P(x) بأكملها.

3 - إذا كانت المحمولة مركبة مثل P(x) L Q(x) فإن (" x) [P(x) L Q(x)] تعني أن النطاق هو P(x) L Q(x)، بينما (" x) P(x) L Q(x) تعني أن النطاق هو فقط P(x)، حيث المتغير الحر x في المحمولة Q(x) ليس له علاقة بالمتغير x في P(x).

4 - الإفادات  الشاملة في منطق المحمولات تشبه القضايا الناتجة من استخدام ربط الوصل  فقط في منطق القضايا:

إذا كان لمتغير x مجموعة التعويض D = {x1, …, x n } ، فإنّ المحمولة (" x Î D) P(x) تكون صحيحة عندما وفقط عندما تكون القضيةP(x1) Λ P(x2) Λ. …, Λ P(xn) صحيحة.

5 - إفادات الوجودية في منطق المحمولات تشبه القضايا الناتجة من استخدام ربط الفصل فقط في منطق القضايا:

إذا كان لمتغير x مجموعة التعويض D = {x1, …, xn}، فإنّ المحمولة ($ x Î D) P(x) تكون صحيحة عندما وفقط عندما تكون القضية P(x1) Ú  P(x2) Ú. …, Ú  P(xn) صحيحة.

6 - يمكن تغيير موقعي المكممين الشاملين المتجاورين مباشرةً [أو موقعي مكممي الوجود المتجاورين مباشرة] من دون أن يتغير معنى الإفادة المنطقية:

(" x) (" y) P(x,y) Û (" y) (" x) P(x,y)

($ x) ($ y) P(x,y) Û ($ y) ($ x) P(x,y)

أي أن تغيير موقعي مكممين منطقيين متجاورين مباشرة ومن النوع ذاته لا يغير المعنى المنطقي.

7 - تغيير موقعي مكممين منطقيين متجاورين مباشرة و من نوعين مختلفين قد يغير معنى الإفادة المنطقية. فمثلاً، إذا كانت مجموعة التعويض هي مجموعة الأعداد الحقيقية فمن الممكن ملاحظة ما يأتي:

 (" x) ($ y) [x + y = 0] تعبر عن القضية الصحيحة التي تتضمن أن لكل عدد حقيقي نظيراً جمعياً، في حين أن:

($ x) (" y) [x + y = 0] تعبر عن القضية الخاطئة التي تتضمن وجود نظير جمعي شامل، أي وجود عدد حقيقي إذا أضيف إلى أي عدد حقيقي فإن الجواب يساوي الصفر دوماً.

8 - قواعد الحصول على النفي للمحمولة:

~ (" x) P(x) Û ($ x) [~ P(x)]

~ ($ x) P(x) Û (" x) [~ P(x)]

~ ($ ! x) P(x) Û ~ ($ x) P(x) Ú ($ y) ($ z) [(y ¹ z) L  P (y) L P(z) ]

9 - كل صيغة مكونة جيداً تكافئ منطقياً صيغة مكونة جيداً في شكل نظامي.

10 - كل صيغة مكونة جيداً بمكمم الوجودية الوحيد تكون مكافئة لصيغة مكونة جيداً تستخدم فقط مكممي الشمول والوجود، وذلك وفق القاعدة:

~($ ! x) P(x) Û  ($ x) P(x) L (" y) [P(y) ® (x = y)]

11 - بافتراض D مجموعة التعويض فمن الممكن كتابة ما يأتي:

(" x) (x = x)

(" x) (" y) (x = y) Þ (y = x)

(" x) (" y) ("z)  (((x = y) L (y = z)) Þ (x =y))

مما يدل على أن علاقة التطابق (التساوي)، التي لا تحتاج إلى توضيح، تكون انعكاسية وتناظرية ومتعدية، وبالتالي فهي تكون علاقة تكافؤ.

12 - إذا كان كل ربط مستخدم في الصيغة المكونة جيداً هو أحد عناصر المجموعة  {Ú, L, ~} فإنّ التكافؤات الآتية يمكن استعمالها، إلى جانب استعمال قواعد الحصول على النفي للمحمولة، بُغية تحويل الصيغة المكونة جيداً إلى شكل نظامي لها:

(" x) P(x) L (" x) Q(x) Û (" x) [P(x) L Q(x)]

(" x) P(x) Ú (" x) Q(x)  Û (" x) (" y) [P(x) Ú Q(y)]

($ x) P(x) L ($ x) Q(x) Û ($ x) ($ y) [P(x) L Q(y)]

($ x) P(x) Ú ($ x) Q(x) Û ($ x) [P(x) Ú Q(x)]

(" x) P(x) L ($ x) Q(x) Û (" x) ($ y) [P(x) L Q(y)]

(" x) P(x) Ú ($ x) Q(x) Û (" x) ($ y) [P(x) Ú Q(y)]

A Ú (" x) P(x) Û (" x) [A Ú P(x)]

A Ú ($ x) P(x) Û ($ x) [A Ú P(x)]

A L (" x) P(x) Û (" x) [A L P(x)]

A L ($ x) P(x) Û ($ x) [A L P(x)]

حيث الحرف A يمثّل صيغة مكونة جيداً ولكنها دون المتغير x.

أمثلة:

1 - الصيغة المكونة جيداً:

(" x Î R) (" y Î R) [x + y = y + x]

هي محمولة مسبوقة بمكممي شمول. إن هذه المحمولة تؤكد صحة القانون التبادلي لجمع الأعداد الحقيقية.

2 - الصيغة المكونة جيداً:

(" x) ($ y) [x y =1]

تعبر عن وجود مقلوب ضربي لأيّ من الأعداد المنتمية إلى مجموعة التعويض المدروسة. وهكذا فإن هذه المحمولة تكون صحيحة لأجل الأعداد الحقيقية الموجبة تماماً، ولكنها تكون خاطئة عندما تكون مجموعة التعويض هي مجموعة الأعداد الحقيقية R، وذلك لأنّ الصفر ليس له مقلوب ضربي.

3 - الصيغة المكونة جيداً:

(" x ¹ 0) ($ y) [x y = 1]

تؤكد أنّ كل عدد مغاير للصفر يوجد له مقلوب ضربي.

4-  المتغير x في الصيغة المكونة جيداً:

(" x Î R) [x + y = y + x]

 

هو متغير مقيد، أما المتغير y فهو حر.

5 - إنّ المحمولة «ليس جميع الطلاب ناجحين» تكافئ المحمولة «يوجد طالب، واحد على الأقل، غير ناجح». وإضافة إلى ذلك، فإن المحمولة «لا توجد بقرة بلون أزرق» تكافئ المحمولة «كل بقرة تكون بلون مختلف عن الأزرق».

6 - الصيغة المكونة جيداً:

(" x) P(x) ® (" x) Q(x)

ليست في شكل نظامي. أما الصيغة:

(" x) ($ y) [P(y) ® Q(x)]

فهي في شكل نظامي وتكافئ الصيغة السابقة.

7 - يوضح الجدول الآتي الاختلافات بالمعنى بين الطرق الأربع لتكميم محمولة بمتغيرين:

المعنى

المحمولة

يوجد عددان بحيث يكون مجموعهما مساوياً للصفر

($ x) ($ y) [x + y = 0]

كل عدد له نظير جمعي

(" x) ($ y) [x + y = 0]

يوجد نظير جمعي شامل

($ x) (" y) [x + y = 0]

ناتج جمع كل عددين يساوي الصفر

(" x) (" y) [x + y = 0]

8 - الصيغة المكونة جيداً:

(" x) ($! y) [x +  y = 0]

تؤكد أن كل عدد يوجد له نظير جمعي وحيد.

9 - يمكن استخدام المحمولات في مجال الدارات والأجهزة الآلية وجبر بول. كما تستخدم المحمولات في نظرية المجموعات وتطبيقاتها. فمثلاً، إذا كانت P(x) محمولة، حاوية المتغير الحر x، فإنها تعيّن مجموعة مثل S لها الشكل:

S = {x / P(x)}

حيث يعني هذا أن الحرف S هي مجموعة تلك الأشياء x، المنتمية إلى مجموعة التعويض المدروسة، بحيث تكون P(x) صحيحة.

عبد الواحد أبو حمدة

الموضوعات ذات الصلة:

 

حساب القضايا.

 

مراجع للاستزادة:

 

- S.C.Kleene, Mathematical Logic (New York 1967).

- S.Lipschutz, Set Theory and Related Topics (New York 1964).

- R.R.Stoll, Sets , Logic and Axiomatic Theories (San Francisco and London 1960).


التصنيف : الرياضيات و الفلك
النوع : علوم
المجلد: المجلدالثامن
رقم الصفحة ضمن المجلد : 283
مشاركة :

اترك تعليقك



آخر أخبار الهيئة :

البحوث الأكثر قراءة

هل تعلم ؟؟

عدد الزوار حاليا : 27
الكل : 12459288
اليوم : 177

الطبقة الحدية

الطبقة الحدِّيَّة   مفهوم الطبقة الحدية الشكل (1) توزع سرع الجريان على صفيحة مستوية تعتمد نظرية الطبقة الحدية boundary layer على تقسيم الجريان حول جسم ما إلى منطقتين؛ منطقة ملاصقة للجسم تسمى الطبقة الحدِّية، وهي تتميز بتغير كبير في توزع سرعة السائل وبظهور كبير لأثر لزوجته، إذ تنعدم هذه السرعة عند جدار الجسم بسبب كون السائل لزجاً وتزداد بشكل كبير في الطبقة الحدية إلى أن يصبح توزع السرع ثابتاً خارجها، وعندئذ يجري الحديث عن منطقة الجريان المثالي.
المزيد »