المحدد

محدد

Determinant - Déterminant

المحدِّد

إن نظرية المحدِّدات determinants ذات صلة قوية بنظرية المصفوفات[ر]، كما أن بدايات النظريتين تعود إلى نهاية القرن السابع عشر وبداية القرن الثامن عشر؛ متزامنة مع دراسة حل جملة معادلات خطية. وقد أسهم كثيرون من علماء الرياضيات في تطوير هاتين النظريتين، منهم ليبنتز Leibniz وكرامر Cramer وماكلوران Maclaurin وبيزو Bézout وفاندرموند Vandermonde ولاغرانج Lagrange ولابلاس  Pierre Simon Laplaceمابين (1749-1827) الذي أعطاه التعريف التراجعي الآتي: إذا كانت M_n(F) مجموعة كل المصفوفات المربعة ذات المرتبة n المعرفة على حقل F، فإن:

المحدِّد (المُعَين) من المرتبة n هو التطبيق (الدالة):

المعرّف كما يلي:

1) إذا كانت n = 1 كانت المصفوفة A = [a₁₁] وكان محدِّدها det A = a₁₁.

2) إذا كانت n > 1 كان محدِّد المصفوفة A =[a_ij] هو:

det A = a₁₁ det A₁₁ - a₁₂ det A₁₂ + a₁₃ det A₁₃ - … + (-1) ⁿ⁺¹ a_1n det A_1n

حيث الرمز A_ij يعني المصفوفة الجزئية من A؛ والناتجة من حذف السطر i والعمود j من المصفوفة A.

يعطي هذا التعريف معنى للمحدِّد من المرتبة (n > 1) n بدلالة المحدِّد من المرتبة (n – 1) وهكذا بصورة تراجعية ...

كما يرمز غالبًا لمحدِّد المصفوفة A = [a_ij] بالرمز |a_ij|؛  أي إن det [a_ij] يكتب |a_ij|.

إن العلاقة التي استخدمت لتعريف قيمة المحدِّد det A يمكن تسميتها عملية نشر المحدِّد وفق سطره الأول. ويمكن البرهان على أن قيمة المحدِّد لا تتغير إذا نُشر بالنسبة لأي سطر من أسطره، أو أي عمود من أعمدته. أي إنه إذا كانت A = [a_ij] مصفوفة مربعة من المرتبة n على حقل F )أي (A Î Mn(F) كان:

مثال (1) : آ) إن محدِّد المصفوفة A = [- 5] هو det A = - 5.

ب) محدِّد المصفوفة

ج) محدِّد المصفوفة

خواص المحدِّدات

(1) إذا كانت A = [a_ij] مصفوفة مربعة من المرتبة n على حقل F )أي (A Î Mn(F)، وكانت B المصفوفة الناتجة من A بعد ضرب أحد أسطرها (أو أحد أعمدتها) بعدد λ من F (أي λ Î F)؛ فإن:

det B = λ det A.

مثال (2): إذا كانت

هي المصفوفة الناتجة من A بعد ضرب عمودها الأول بالعدد (- 2) فإن det A = - 39 وdet B = (-2) (- 39) = 78.

(2) يمكن إخراج عامل مشترك بين عناصر سطر (أو عمود) في محدِّد، خارج المحدِّد.

(3) إذا كانت A = [a_ij] مصفوفة مربعة من المرتبة n على حقل F، وكانت λ من F (أي λ Î F) فإن: det (λA) = λn. det A.

مثال (3):

حيث تم أولاً إخراج العامل المشترك (2) من العمود الأول، ثم إخراج العامل المشترك (11) من السطر الثاني، ثم إخراج العامل المشترك (-5) من السطر الأول والعامل المشترك (3) من العمود الثاني.

(4) إذا تم التبادل بين سطرين (عمودين) مختلفين في مصفوفة A، فنتجت مصفوفة B؛ فإن: det B = - det A (أي إن التبادل بين سطرين أو عمودين يغير إشارة الناتج).

مثال (4): إن

(5) إذا تساوى سطران ( أو عمودان ) في مصفوفة A؛ فإن det A = 0 .

مثال (5): إن

(6) إذا تناسب سطران ( أو عمودان ) في مصفوفة A فإن det A = 0.

مثال (6): إن

(7) إذا كانت A = [a_ij] وB = [b_ij] وC = [c_ij] ثلاث مصفوفات من M_n(F) لها العناصر نفسها؛ عدا عناصر السطر k في كل منها (أو عمود)، حيث:

a_kj = λ b_kj + m c_kj ;  j = 1, 2, 3, … , n ;  λ, m ε F

فإن det A = λ .det B + m .det C .

مثال (7): إن

(8) إذا أضفنا إلى سطر (عمود) مضاعف سطر (عمود) آخر في محدِّد؛ لا تتغير قيمته.

مثال (8): إن

(9) إذا حوى محدِّد على سطر (عمود) صفري؛ فإن المحدِّد يساوي الصفر.

(10) إذا كانت A = [a_ij] مصفوفة مربعة من المرتبة n على حقل F، فإن محدِّد المصفوفة A يساوي محدِّد منقولها A^T. (أي det A = det A^T).

مثال (9): إن

محدِّد مصفوفة مثلثية

يقال عن مصفوفة مربعة: إنها مثلثية عليا إذا كانت جميع عناصرها الواقعة تحت قطرها الرئيسي تساوي الصفر.

أي إن المصفوفة المربعة A = [a_ij] مثلثية عليا إذا كان a_ij = 0 لكل i > j.

ويقال عن مصفوفة مربعة إنها مثلثية دنيا إذا كانت جميع عناصرها الواقعة فوق قطرها الرئيسي تساوي الصفر. (عناصر القطر الرئيسي هي a_ii حيث i = 1, 2, …, n).

أي أن المصفوفة المربعة A = [a_ij] مثلثية دنيا إذا كانت a_ij = 0 لكل i < j.

مثال (10):

محدِّد مصفوفة مثلثية (عليا أو دنيا) يساوي حاصل جداء عناصر قطرها الرئيسي.

مثال (11):

 تطبيقات المحدِّدات في حساب المساحات والحجوم

أ ) في حساب المساحات

 ب ) في حسابات الحجوم

مثال (14): إن حجم متوازي السطوح ABCDA’B’C’D’ حيث: A (1, 10, 2) وB (-3, 18, 7) وA’ (-2, 5, 10) وD (-8, 12, 5)

تطبيقات المحدِّدات في حل جملة معادلات خطية

إن كل معادلة من الشكل a₁x₁ + a₂x₂ + … + a_nx_n = b، حيث a₁, a₂, …, a_n, b تنتمي لحقل F تدعى معادلة خطية على F في المتحولات x₁, x₂, …, x_n.

إن مجموعة المعادلات الخطية:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n = b₂

a_n1x₁ + a_n2x₂ + … + a_nnx_n = b_n

المؤلفة من m معادلة خطية ذات n مجهول تدعى جملة معادلات خطية.

وقد استخدم الرياضي كرامر Gabriel Cramer مابين(1704-1752) المحدِّدات في إيجاد الحلول لجملة معادلات خطية ذات عدد من المجاهيل يساوي عدد المعادلات.

طريقة كرامر في حل جملة n معادلة خطية في n مجهول

لحل جملة n معادلة خطية ذات n مجهول

a_i1x₁ + a_i2x₂ + … + a_inx_n = b_i  ; i = 1. 2. …. n

يحسب محدِّد مصفوفة الأمثال:

فإذا كانت ت  م 0 ¹  D    فإن للجملة حلاً وحيداً:

حيث ∆_i هو محدِّد المصفوفة A_i الناتجة عن مصفوفة الأمثال A بعد حذف عمودها i وإبداله بالعمود [b₁ b₂ … bn]^T.

فمثلاً لحل جملة المعادلتين الخطيتين:

a x + b y = c

a’ x + b’ x = c’

يحسب محدِّد الأمثال

فإذا كان  م 0 ¹  D ،  يحسب كل من المحددِّين

ويكون للجملة حل وحيد

أما إذا كان  م 0 =  D   فنميز حالتين:

فيوجد عدد لا نهائي من الحلول إذ أن المعادلتين غير مستقلتين في هذه الحالة، فهناك معادلة واحدة فقط، ومن ثم يوجد مجهول اختياري؛ والآخر يحسب بدلالته، فمجموعة الحل هي:

 {(α, β) Î R² : α a + β b = c}.

فالجملة مستحيلة الحل، ومجموعة الحل هي المجموعة الخالية f.

مثال (15): لحل جملة المعادلتين الخطيتين:

X3x + 2 y = 0 وx15x + 3 y = 19n

نحسب محدِّد الأمثال

ثم نحسب كلاً من :

ويكون للجملة حل وحيد:

مثال (16): لحل جملة المعادلتين الخطيتين:

X3x - 2 y = 5 وx15x - 10 y = 9n

نحسب محدِّد الأمثال

ثم نحسب كلاً من :

فالجملة مستحيلة الحل، ومجموعة الحل هي f.

وهذا واضح لأنه إذا ضُرِب طرفا المعادلة

x3x - 2 y = 5 بالعدد 5؛  فينتج x15x - 10 y = 25 ومن المعادلتين نجد أن 25 = 9 وهذا مستحيل .

مثال (17): لحل جملة المعادلات الخطية:

x - z = 4

x2x + y - z = 4

x + 2y + 5z = 8

نحسب محدِّد الأمثال

فنحسب كلاً من:

فللجملة حل وحيد:

مثال (18): لحل جملة المعادلات الخطية:

x + 2y + 3z - 2u = 6

x2x - y - 2z - 3u = 8

x3x + 2y - z + 2u = 4

x2x - 3y + 2z + u = - 8

نحسب محدِّد الأمثال:

حيث ضُرب السطر الأول بالعدد -2، وجُمع للسطر الثاني، ثم ضُرب السطر الأول بالعدد -3، وجُمع للسطر الثالث، ثم ضُرب السطر الأول بالعدد -2، وجُمع للسطر الرابع، ونُشر بعد ذلك بالنسبة للعمود الأول؛ فنتج محدِّد ثلاثي، إذا نُشر تم الحصول على الجواب.

وبما أن م 0 ¹  D  تفيُحسب كل من المحدِّدات:

أنور توفيق اللحام

المتجه ـ المصفوفات.

ـ إلهام الحمصي، الجبر 2 (منشورات جامعة دمشق، 1984).

- HAROLD M. EDWARDS, Linear Algebra (Springer 1994).

- L. W. JOHNSON, R. D. RIESS and J. T. ARNOLD, Introduction to Linear Algebra (Addison-Wesley 2003).

- BERNARD KOLMAN and DAVID HILL, Elementary Linear Algebra (Prentice- Hall 2004).

التصنيف : الرياضيات و الفلك

النوع : علوم

المجلد: المجلد السابع عشر

رقم الصفحة ضمن المجلد : 885

آخر أخبار الهيئة :

معجم المصطلحات

الأطلس الجغرافي

البحوث الأكثر قراءة

اصدارات الموسوعة العربية

أسماء الباحثين

هل تعلم ؟؟

• - هل تعلم أن الأبلق نوع من الفنون الهندسية التي ارتبطت بالعمارة الإسلامية في بلاد الشام ومصر خاصة، حيث يحرص المعمار على بناء مداميكه وخاصة في الواجهات

• - هل تعلم أن الإبل تستطيع البقاء على قيد الحياة حتى لو فقدت 40% من ماء جسمها ويعود ذلك لقدرتها على تغيير درجة حرارة جسمها تبعاً لتغير درجة حرارة الجو،

• - هل تعلم أن أبقراط كتب في الطب أربعة مؤلفات هي: الحكم، الأدلة، تنظيم التغذية، ورسالته في جروح الرأس. ويعود له الفضل بأنه حرر الطب من الدين والفلسفة.

• - هل تعلم أن المرجان إفراز حيواني يتكون في البحر ويتركب من مادة كربونات الكلسيوم، وهو أحمر أو شديد الحمرة وهو أجود أنواعه، ويمتاز بكبر الحجم ويسمى الش

• هل تعلم أن الأبسيد كلمة فرنسية اللفظ تم اعتمادها مصطلحاً أثرياً يستخدم في العمارة عموماً وفي العمارة الدينية الخاصة بالكنائس خصوصاً، وفي الإنكليزية أب

• - هل تعلم أن أبجر Abgar اسم معروف جيداً يعود إلى عدد من الملوك الذين حكموا مدينة إديسا (الرها) من أبجر الأول وحتى التاسع، وهم ينتسبون إلى أسرة أوسروين

• - هل تعلم أن الأبجدية الكنعانية تتألف من /22/ علامة كتابية sign تكتب منفصلة غير متصلة، وتعتمد المبدأ الأكوروفوني، حيث تقتصر القيمة الصوتية للعلامة الك

شراء النسخة الورقية