تحويل فورييه

بحث متقدم

أ ب ت ث ج ح خ د ذ ر ز س ش ص ض ط ظ ع غ ف ق ك ل م ن هـ و ي

تحويل فورييه

Fourier transform -

تحويل فورييه

تحويل فورييه

لمحة تاريخية

خواص تحويل فورييه

أهمية تحويل فورييه

تطبيقات تحويل فورييه

يعدّ تحويل فورييه Fourier transform أحد الأدوات الرياضية المهمّة والشائعة الاستخدام في العديد من ميادين العلوم والهندسة. ويمكن عدّ تحويل فورييه على أنه تحويل إشارة signal من أحد المجالات (الزمني على الأغلب) إلى مجال آخر (الترددي)، ويطلق على العملية اسم محوّلة فورييه Fourier transformation.

لمحة تاريخية

تعود نشأة تحويل فورييه إلى القرن الثامن عشر عندما طوّر جان-باتيست جوزيف فورييه Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) أعمالاً سابقة لعدد من العلماء ومنهم برنولي Bernoulli وأولر Euler وغاوص Gauss، وتمكن من وضع النظرية التحليلية للحرارة analytical theory of heat.

التعريف الرياضي

ثمة تعاريف عدة شائعة الاستخدام لتحويل فورييه $\hat{f}$ ، وذلك بعدّه تكامل التابع $f : \mathbb R \rightarrow \mathbb C$ . ويعطى التعريف الأكثر استخداماً بالعلاقة (1).

وفيها المتحول ζ هو عدد حقيقي.

عندما يمثل المتحول المستقل x الزمن مقدراً بالثانية، يمثل المتحول ζ التردد (التواتر) مقدراً بالهرتز (Hz). ويمكن الحصول على التابع f انطلاقاً من التابع $\hat{f}$ ، وذلك باستخدام تحويل فورييه العكسي المعطى بالعلاقة (2).

وفيها المتحول x هو عدد حقيقي.

خواص تحويل فورييه

لتكن التوابع f(x), g(x), h(x) قابلة للتكامل؛ أي تحقق العلاقة (3) للتابع f(x) ومثيلاتها للتابعين الآخرين.

يرمز إلى تحويلات فورييه لهذه التوابع بالرموز: على الترتيب.

ويحقق تحويل فورييه الخواص الأساسية الآتية:

- الخطية linearity: بفرض العلاقة (4) محققة حيث a وb عددان عقديان.

عندها تكون العلاقة (5) محققة.

- الإزاحة الزمنية time-shifting: إذا تحقق: لأي عدد حقيقي ؛ فإن العلاقة (6) محققة.

-الإزاحة الترددية (التعديل) frequency-shifting (modulation): إذا كان لأي عدد حقيقي ؛ فإن العلاقة (7) محققة.

- ضبط الأبعاد (المقاس) الزمني time scaling: إذا كان a عدداً حقيقيّاً غير الصفر، وكان ؛ فإن: .

من المهم ذكر الحالة الخاصة، وذلك عندما ، حيث يكون عندها ، ومن ثمَّ يتحقق . تسمى هذه الخاصية خاصية الانعكاس الزمني time reversal property.

- الترافق conjugation: إذا تحقق يكون .

- التكامل integration: بتعويض في عبارة تحويل فورييه (العلاقة 1) يحصل على العلاقة (8).

أي إن تقييم تحويل فورييه عند يكافئ تكامل التابع على كامل المجال.

أهمية تحويل فورييه

يؤدي تحويل فورييه دوراً أساسياً في عمليات التصميم الهندسية؛ فهو يسمح بتحليل إشارة تابعة للزمن (تابع زمني) إلى مركباتها الأساسية، وهو ما يسمى بتحليل التوافقيات harmonic analysis، حيث تُمَثل الإشارة المُحللة بوساطة مجموع إشارات جيبية لكل منها مطال وتردد وصفحة (طور)، مما يسمح بتنفيذ عمليات الجمع والتكامل المعقدة، كما يكشف عن بعض المعطيات المخفية ضمن الإشارة المُحللة.

ويعرَّف أيضاً تحويل فورييه العكسي inverse Fourier transformation الذي يسمح انطلاقاً من التمثيل الترددي X(f) بالحصول على التابع الزمني الأصلي x(t).

للعمليات الرياضية التي يمكن تطبيقها على التابع الزمني عمليات رياضية مقابلة في التمثيل الترددي، والعكس صحيح، إذ غالباً ما يكون من الأسهل تطبيق العمليات الرياضية على التمثيل الترددي من تطبيقها على التمثيل الزمني. على سبيل المثال: التفاضل في المجال الزمني يقابله عملية ضرب في المجال الترددي، ومن ثمَّ يكون من الأسهل تحليل بعض المعادلات التفاضلية في المجال الترددي، منها في المجال الزمني. كما يقابل الطي (الالتفاف) convolution في المجال الزمني عملية الضرب التقليدية في المجال الترددي. كما يمكن تحليل أي منظومة خطية linear system ذات موسطات (بارامترات) parameters غير متغيرة مع الزمن time-invariant مثل المرشحات filters بوساطة عمليات رياضية بسيطة في المجال الترددي، ويمكن بعد إنجاز التحليل المطلوب في المجال الترددي العودة مجدداً إلى المجال الزمني. إضافةً إلى ذلك فإن تحليل التوافقيات هو دراسة منهجية تعتمد على العلاقة بين المجالين الزمني والترددي والقائمة على تحويلات فورييه.

تطبيقات تحويل فورييه

لتحويل فورييه تطبيقات كثيرة ومتنوعة في مختلف ميادين العلوم والهندسات، منها:

- تحليل المعادلات التفاضلية analysis of differential equations: يعتمد تحليل المعادلات التفاضلية باستخدام تحويل فورييه على مجموعة ابتدائية من الحلول المختارة لهذه المعادلات التفاضلية حيث تتبع هذه الحلول المتحول
(). إن حل المعادلة التفاضلية المدروسة سيكون تركيباً خطياً من هذه الحلول الابتدائية المختارة، وسيكون أيضاً بصيغة تكامل يتبع المتحول (). تقوم الخطوة الثانية من حل المعادلة التفاضلية المدروسة على التعبير عن الشروط الحدية بدلالة التكاملات الممثلة بالحلول الابتدائية ومن ثم مساواتها بتوابع معطاة، ولتكن على سبيل المثال f و g. في الخطوة الثالثة والأخيرة يُطبق تحويل فورييه العكسي على كلا طرفي المعادلة مما يسمح بالحصول على معاملات توابع الحلول الابتدائية () و () بدلالة التوابع (f) و(g). وقد أطلق العالم جورج ماكي George Mackey على هذه الإجرائية لحل المعادلات التفاضلية اسم خوارزمية فورييه Fourier’s algorithm.

- معالجة الإشارة signal processing يدعى تحويل فورييه لتابع f أحياناً بتابع كثافة التحليل الطيفي للاستطاعة للتابع f. إن هذا الطيف الذي يشار إليه أحياناً بتابع الكثافة يقيس مقدار التباين الذي يشارك فيه التردد في الإشارة المحللة. في الإشارات الكهربائية يتناسب التباين مع القدرة المتوسطة average power، ومن ثمَّ يصف طيف الاستطاعة power spectrum مقدار مساهمة الترددات المختلفة بالاستطاعة المتوسطة. إن معرفة الترددات المهمّة وفق المعنى المقصود آنفاً مسألة بالغة الأهمية عند تصميم المرشحات وفي تقييم أجهزة القياس. ويعدّ هذا التحليل أيضاً مهماً في التحليل العلمي لبعض الظواهر الفيزيائية التي تصدر إشارات، إذ إن تحليل هذه الإشارات الصادرة يعدّ مصدر معلومات عن الظواهر المدروسة.

يمكن أن يقاس طيف الاستطاعة مباشرة بقياس الاستطاعة المتوسطة المتبقية في الإشارة، وذلك بعد ترشيح جميع الترددات خارج نطاق ترددي ضيق حول التردد المراد معرفة تأثيره.

أديب اللحام

مراجع للاستزادة:

- G. Kaiser, A Friendly Guide to Wavelets, Birkhäuser, 1994.

- M. Pinsky, Introduction to Fourier analysis and Wavelets, Brooks/Cole, 2002.

- M. Rahman, Applications of Fourier Transforms to Generalized Functions, WIT Press, 2011.