التوزيع الطبيعي

عدنان عمورة

التوزيع الطبيعي (النظامي) normal distribution - والذي يسمى أيضاً التوزيع الغاوسيّ Gaussian distribution وأحياناً أخرى يسمى توزع لابلاس –غاوص- هو توزيع احتمال مستمر تتراكم cluster فيه نقاط المعطيات نحو منتصف المجال، في حين تضمحل بقية النقاط نحو إحدى النهايتين. والتوزيع الطبيعي متناظر حول وسط mean التوزيع ويدل على أن القيم قرب الوسط تتكرر أكثر من القيم الأبعد عن الوسط.

ويعدّ التوزيع الطبيعي من أهم توزيعات الاحتمال لماله من تطبيقات شائعة ومهمّة في الدراسات الإحصائية التطبيقية، ولاسيما في مجال الاستدلال الإحصائي الوسيطي parametric statistical inference والاستدلال الإحصائي غير الوسيطي nonparametric.

تولّد المتغيرات (المتحولات) العشوائية random variables المستمرة فضاء عينة مستمر، أي إن نقاطه تكون متراصة بعضها إلى بعض كنقاط محور موجه؛ ومن ثمَّ فإنها غير قابلة للعد إضافةً إلى كونها لا نهائية في العدد. ومن الأمثلة التقليدية على متغيرات عشوائية مستمرة: أطوال البشر وأوزانهم، وحجوم المواد وأعمارها، وأخطاء القياس في تجارب مخبرية. ومن أجل الحصول على نموذج احتمالي لمتغير عشوائي مستمر X يُبتدأ باختبار منحن مستمر يمثل ما يسمى بدالة (تابع) كثافة الاحتمال Probability Density Function (PDF)، والتي يُرمز إليها بالرمز f(x)، والتي يجب أن تحقق الشرطين الآتيين:

1) مهما يكن x.

2) المساحة تحت المنحني  f(x) تساوي الواحد تماماً.

ويكون عندئذ احتمال أي حادثة عددية مثل - حيث a وb محددان - هو المساحة تحت منحني الكثافة، وفوق المجال [a,b]من محور الفواصل. ويكون احتمال أن يأخذ المتغير X قيمة معينة  a والذي يكتب بالصيغة P(X=a)، هو المساحة تحت المنحني  f(x) وفوق النقطة a، وهي صفر؛ ومن ثمَّ فإن احتمال أن يكون لمتغير عشوائي مستمر قيمة معينة يساوي الصفر؛ وهذا تعبير واقعي عن استحالة توصل الإنسان إلى أجهزة قياس دقيقة بصورة مطلقة. وعلى الرغم من أن منحنيات الكثافة تتخذ أشكالاً مختلفة، يُلاحظ أن عدداً كبيراً من المتغيرات العشوائية التي تصادف في الحياة اليومية لها منحني كثافة (أو منحني التكرارات frequency curve) وهو منحني جرسيّ الشكل bell shaped curve، ويطلق عليه إحصائياً شكل منحني التكرارات الطبيعي أو شكل التوزيع الطبيعي. وبفرض أن الوسطية والاعتدال هي السائدة في مجتمع القياسات لظاهرة معينة، بمعنى أن القياسات المتطرفة التي تمثل فرط زيادة أو فرط نقصان هي قياسات نادرة، يزداد تكرار ظهور القياس في ذلك المجتمع كلما اقتربت قيمة القياس من الوسط؛ فعندئذ يقال إن نموذج الاحتمال المناسب لهذه الظاهرة هو نموذج التوزيع الطبيعي.

دالة كثافة الاحتمال للتوزيع الطبيعي

يقال عن متغير عشوائي Xإنه ذو توزيع طبيعي موسطيه parametersm وs، إذا كانت دالة كثافة الاحتمال له معطاة بالعلاقة (1):

حيث عدد ثابت يساوي تقريباً 3.1416، وe عدد ثابت يساوي تقريباً 2.7183، وm عدد ثابت حقيقي، وs عدد ثابت حقيقي موجب. وهذه الدالة موجبة وتحقِّق العلاقة (2):

ويكون منحني هذه الدالة جرسيّ الشكل كما هو مبيّن في الشكل (1).

الشكل (1) منحني التوزيع الطبيعي.

ولا تحدد الدالة في العلاقة (1) منحنياً واحداً بعينه؛ وإنما تحدد الشكل العام لأسرة من المنحنيات؛ إذ كلّما حُددت لـلموسط m ولـلموسط s قيمة معينة يجري الحصول على منحن محدد تماماً، لذلك يسمى كلٌّ من الثابتين m وs موسطي التوزيع. ويدل على المتغير العشوائي X ذا التوزيع الطبيعي وفق الموسطين µ و sبالرمز . حيث يمثل الموسط m وسط mean (أو توقع expectation) توزيع الاحتمال أي ، في حين يمثل s الانحراف المعياري standard deviation للتوزيع. أما مربع الانحراف المعياري  فيدعى تباين variance توزيع الاحتمال أي . وتعطى دالة التوزيع للمتغير الطبيعي X بالعلاقة (3):

خصائص منحني التوزيع الطبيعي

- منحني التوزيع الطبيعي متناظر حول المستقيم  والموازي لمحور التراتيب، حيث إن النقطة على المحور الأفقي هي النقطة التي يتمركز عندها التوزيع  وينتشر على جانبيها بصورة متناظرة.

- تبلغ دالة الكثافة الطبيعية normal density function- والتي يرمز إليها بالرمز - نهايتها العظمى عند القيمة  وتكون

- لمنحني التوزيع الطبيعي نقطتا انعطاف point of inflection عند  حيث يلاحظ أن القيم الصغرى لـلموسط s تعني توزيعاً أكثر انتشاراً حول متوسطه، وأن القيم الكبيرة للموسطـ s تعني توزيعاً أكثر انتشاراً على جانبي المتوسط.

- من بين عائلة منحنيات التوزيع الطبيعي ثمة منحنٍ خاص؛ وهو المنحني الذي يكون وسطه (متوسطه) =0m وانحرافه المعياري ، أي أن تباينه ؛ ويُطلق عليه منحني التوزيع الطبيعي (النظامي) المعياري standard normal distribution curve والمبيّن في الشكل (2). ويؤدي منحني التوزيع الطبيعي المعياري دوراً مهمّاً في تطبيقات التوزيع الطبيعي في مجال الاستدلال الإحصائي الوسيطي وغير الوسيطي. ويُرمز إلى المتغير الطبيعي المعياري بـالرمز Z حيث، وتعطى دالة كثافة الاحتمال للمتغير الطبيعي Z بالعلاقة (4):

الشكل (2) منحني التوزيع الطبيعي المعياري.

ويجري الانتقال من متغير طبيعي X بحيث  إلى متغير طبيعي معياري  Z بحيث ؛ وذلك بتطبيق التحويل . ويسمى Z بالمتغير الطبيعي المعياري لـلمتغير X. ثمة جداول للتوزيع الطبيعي المعياري تُعطي المساحات تحت المنحني وإلى اليسار من نقطة معينة  Z=z، وهي المساحة المظلّلة في الشكل (3).

الشكل (3) دالة كثافة احتمال التوزيع الطبيعي المعياري.

حيث يستفاد من خواص دالة كثافة احتمال التوزيع الطبيعي المعياري وخواص التوزيع من أجل تبسيط حساب الاحتمالات الموافقة لمتغير X حيث أو لمتغير Z حيث.

- إذا كان و وكان X,Y مستقلّين عشوائياً عندئذ تكون العلاقة (5) محققة.

- يمكن تعميم الخاصية (5) من أجل أكثر من متغيّرين؛ أي إذا كانت: متغيرات عشوائية مستقلة وكلٌّ منها يتوزع وفق (أي لدينا عينة عشوائية من الحجم n من مجتمع X حيث ؛ فيكون مجموع متغيرات العينة هو ووسط (متوسط) العينة هو

مبرهنة النهاية المركزية

تدل مبرهنة النهاية المركزية central limit theorem- وتحت شروط عامة جداً- على أن مجموع متغيرات عينة عشوائية مسحوبة من مجتمع إحصائي مهما يكن نوع توزيع الاحتمال له؛ يملك عند تكرار هذه العيّنات عدداً كبيراً من المرات توزيعاً احتمالياً له على وجه التقريب شكل الجرس ويقترب أكثر فأكثر من شكل التوزيع الطبيعي. ولهذه المبرهنة أهمية كبيرة في الاستدلال الإحصائي الوسيطي وغير الوسيطي؛ ولاسيما في مسائل بناء مجالات الثقة أو اختبار الفرضيات حول وسط التوزيع أو حول وسطاء التوزيع؛ حيث إن العديد من الإحصاءات التي تُستخدم للقيام باستقراءات حول موسطات توزيع الاحتمال (مثل: P احتمال النجاح في التوزيع الحدانيّ أوm متوسط التوزيع الاحتمالي أو مقارنة عدة وسطاء ₂m _،1m أو أكثر) تأخذ شكل مجموع لقياسات العينة أو وسط هذه القياسات، ومن أجل n كبيرة إلى درجة كافية () يمكن عدّ التوزيع الطبيعي تقريباً جيداً لتوزيع الاحتمال لذلك الإحصاء.

ويمكن تقريب التوزيع الحدّانيّ binomial distribution بالتوزيع الطبيعي؛ فبفرض تجربة حدّانيّة احتمال النجاح فيها P واحتمال الفشل  q = 1- P ، وأن S يمثل نجاح التجربة ويوافق العدد 1، وF يمثل فشل التجربة ويوافق العدد صفر؛ عندئذ تكون نتائج التكرارات المستقلة للتجربة الحدّانيّة n مرة متتالية من المتغيرات المستقلة ؛ حيث يأخذ كل _iX إما القيمة 1 وإما القيمة 0 من أجل  i=1,2,…,n، ويكون عدد النجاحات X هو بالضبط عدد مرات ورود الـ 1 في تلك المتتالية ومجموعها هو . وحيث أن لكلِّ _iX توزيع برنولي Bernoulli وفق الموسط P؛ عندئذ تكون عينةً عشوائيةً من مجتمع برنولي ويصبح X مجموع هذه المتغيرات. ووفقاً لمبرهنة النهاية المركزية يكون التوزيع التقريبي للمتغير العشوائي X- في حالة كون n كبيرة إلى درجة كافية - هو التوزيع الطبيعي بوسط np وتباين npq؛ أي . ويبيّن الشكل (4) مثالاً على تقريب التوزيع الحداني بتوزيع طبيعي.

الشكل (4) تقريب التوزيع الحداني بالتوزيع الطبيعي.

توزيعات الاحتمال ذات الصلة بالتوزيع الطبيعي

للعديد من توزيعات الاحتمال الشهيرة صلة قوية بالتوزيع الطبيعي أو التوزيع الطبيعي المعياري، ولها تطبيقات واسعة في مجال نظرية التقدير أو نظرية الاستدلال الإحصائي، ولاسيما في التقدير المجالي حول المتوسط µ لمجتمع إحصائي أو حول الانحراف المعياري s. ومن أشهر هذه التوزيعات:

1- توزيع كوشي Cauchy: إذا كان X و Y متغيرين عشوائيَّين مستقلَّين وطبيعيَّين معياريَّين؛ عندئذ يتوزع المتغير وفق كوشي من أجل .

1)    توزيع مربع كاي ذي درجة واحدة من الحرية chi-squared distribution with one degree of freedom : ليكن ومنه ؛ عندئذ يتوزع   وفق مربع كاي بدرجة واحدة من الحرية ويُكتب .

2- توزيع مربع كاي ذي n درجة من الحرية: ليكن، ولتكن عينة عشوائية من X من الحجم n؛ عندئذ تشكل حيث عينة عشوائية Z من الحجم n، وتكون حيث متغيرات عشوائية تتبع توزيع مربع كاي ذي درجة واحدة من الحرية لكل i. وبذلك يتوزع المتغير:  وفق مربع كاي ذي n درجة من الحرية.

3- توزيع ستيودنت Student`s t-distribution والذي يدعى أيضاً توزيع تي T distribution: إذا كان  وبفرض  عينة عشوائية من X متوسطها ، ومنه - أي ، وبفرض - وأن Z و U مستقلان عشوائياً؛ عندئذ يتوزع المتغير وفق توزيع ستودنت مع درجة من الحرية ويكتب ، ويُلاحظ أن منحني دالة كثافة الاحتمال لتوزيع ستيودنت مشابه لمنحني دالة كثافة الاحتمال للتوزيع الطبيعي المعياري؛ ولكنه أكثر تفلطحاً ويتمتع بالخواص نفسها التي يتمتع بها منحني دالة كثافة احتمال التوزيع الطبيعي المعياري، وهو يعتمد على درجة الحرية (الشكل 5).

الشكل (5) التوزيع تي والتوزيع الطبيعي.

4- توزيع فيشر Fisher: إذا كان  وكان وكان  U و V مستقلّين عشوائياً؛ عندئذ يدعى المتغير   متغير فيشر، ويسمى توزيعه توزيع فيشر وله  درجة من الحرية ويُكتب . ولهذا التوزيع أهمية خاصة في الدراسات حول التباين أو مقارنة عدة تباينات، ولاسيما في اختبار تحليل التباين Analysis Of Variance (ANOVA)، وكذلك في اختبارات التجانس في تصميم التجارب الإحصائية.

5- توزيع طبيعي (نظامي) لُوغارِتمي lognormal: إذا كان ، وأُخذ المتغير؛ عندئذ تعطى كثافة الاحتمال الناتجة لـلمتغير W بالعلاقة (6):

وهذه الكثافة تدعى بكثافة احتمال التوزيع الطبيعي اللُوغارِتمي حيث X=LnW ، وهذا التوزيع يستخدم في دراسة أعمار المنظومات الإلكترونية والكهربائية والميكانيكية.

التقدير في التوزيع الطبيعي

التقدير في الإحصاء هو أي إجرائية تستعمل لحساب قيمة لمجتمع مستمدة من مشاهدات ضمن حجم عينة مستقاة من ذلك المجتمع.

ليكن ولتكنعينة عشوائية من الحجم n من X متوسطها  وتباينها    فيكون:

-   التقدير النقطي: التقدير النقطي point estimation في الإحصاء هو إجرائية إيجاد قيمة تقريبية approximate لموسط ما، مثل الوسط لمجتمع من عينات عشوائية من هذا المجتمع.  ويكون مقدّراً للوسط µ، وهو يتمتع بمعايير الجودة للمقدّرات (غير منحاز ومتماسك وفعّال وكاف). ويكون S² مقدّراً غير منحاز للتباين ، وأيضاً يتمتع بمعايير الجودة للمقدّرات.

-   التقدير المجالي: التقدير المجالي interval estimation في الإحصاء هو تقييم موسط -على سبيل المثال الوسط (المتوسط)- لمجتمع وذلك بحساب مجال أو مدى range للقيم التي يقع الموسط ضمنها على الأرجح. وتُختار المجالات عادة بحيث يقع الموسط ضمنها باحتمال 95% أو 99%. وحيث إن هدف الإحصاء هو التنبؤ أو اتخاذ قرار حول خاصية من خصائص المجتمع اعتماداً على المعلومات المتوفرة من العيّنات المسحوبة من هذا المجتمع، وبفرض المجتمع المدروس طبيعياً ويراد الاهتمام بمتوسطه µ مع افتراض أن تباينه معلوم، ويراد إنشاء مجال ثقة Confidence Interval (CI) حول µ بمستوى من الثقة؛ عندئذٍ تؤخذ عينة عشوائية من الحجم n من هذا المجتمع؛ فإذا كان متوسط هذه العينة يكون ومن ثمَّ يكون ويكون المطلوب بناء مجال ثقة حول  µ بحيث تكون العلاقة (7) محقّقة.

ومنه يكون   مجال ثقة حول  µ من الشكل ويفسر الناتج على النحو الآتي: من المؤكد بثقة  أن متوسط المجتمع  µ لن يقل عن  ولن يزيد على. وتُدرس عادة الثقة عندالمستوى أو ، ويكون  عندئذ  1.96أو  2.58على الترتيب (طبقاً لجدول التوزيع الطبيعي المعياري). ويلاحظ أن مجال الثقة يتسع كلما زاد مستوى الثقة ، ويسمى المقدار بالخطأ الأعظمي المرتكب لتقدير  µ بوساطة   بثقة ، ومنه بالتحكم في حجم الخطأ e والثقة يمكن تحديد حجم العينة اللازم  لتقدير µ بوساطة  وذلك من العلاقة

تحليل بايز للتوزيع الطبيعي

تفترض بعض الدراسات وجود مجتمع إحصائي X، له توزيع احتمالي معلوم، ويعتمد على الموسط الثابت ولكنه مجهول، يجري البحث عن تقدير نقطي أو مجالي أو اختبار فرضيات للموسط ؛ وذلك اعتماداً على معطيات عينة عشوائية مسحوبة من X. ولكن في أحيان كثيرة قد تتوافر معلومات إضافية حول الموسط  ، وقد يلاحظ أنها تأخذ قيماً مختلفة، وأن ثمة مشاهدات تفيد بأن تتغيّر، وأن هذا التغيير والمعلومات الإضافية يمكن تمثيلها بتوزيع احتمالي للوسيط ؛ أي إن تصبح كأنها متغير عشوائي يتوزع وفق ، وهذه الطريقة تدعى بطريقة بايزBayes . يعبر المتغير العشوائي عن المعلومات السابقة حول ، ويصف درجة الاعتقاد degree of belief في القيم الممكنة لهذا الموسط أو يصف الخبرة السابقة حول قبل الحصول على العينة، وبناء عليه يُطلق على هذا التوزيع بالتوزيع السابق (القبلي) prior distribution، حيث يقال إن التوزيع السابقللموسط   هو توزيع احتمالي يصف كلَّ المعلومات والخبرات المتوفرة حول قبل الحصول على العينة، كما يصف درجة اعتقاد القيم الممكنة لهذه العينة.

تطبيقات التوزيع الطبيعي

يُعدّ التوزيع الطبيعي أهمَّ التوزيعات الاحتمالية نظراً للخواص التي يتمتع بها، ووجود مبرهنة النهاية المركزية الداعمة لأهمية هذا التوزيع. إذ يمكن باستخدام هذا التوزيع معالجة الظواهر العشوائية في مختلف المجالات الصحية وعلوم الحياة، والهندسة الوراثية والزراعة والهندسات الإلكترونية والكهربائية والميكانيكية والمدنية والمعمارية والمجالات التربوية والاجتماعية والاقتصادية والمالية والتجارية والفيزيائية والكيميائية؛ فهو يدرس الأطوال والأوزان والحجوم والأعمار ومختلف الظواهر الطبيعية. ولهذا التوزيع تطبيقات واسعة في مفهوم العمليات العشوائية والحركة البروانية Brownian motion؛ فهو يعالج طوابير الانتظار وعمليات الفناء والتكاثر وكذلك الخدمات الشعبية وتقلبات الأسعار في أسواق المال، كما يعالج مسائل الاتصالات ومسائل الضبط الإحصائي للجودة والمتغيرات الكمية والنوعية.