تموضع أندرسون

محمد خير صبرة

تطور فكرة أندرسون

تطبيقات تموضع أندرسون وآثاره في الناقلية الكهربائية

تطبيقات تموضع أندرسون وآثاره في الضوء

تموضع أندرسون Anderson localization هو غياب انتشار diffusion الأمواج في وسط غير منتظم. سميت هذه الظاهرة باسم الفيزيائي الأمريكي فيليب أندرسون P. W. Anderson الذي اقترح عام 1958 أول مرة فكرة تموضع الإلكترون في نصف ناقل، ومن ثَم انعدام الناقلية الكهربائية فيه،  شريطة وجود شوائب أو عيوب بعددٍ كافٍ وبشكلٍ عشوائي، وذلك وفق معالجة كمومية لتابعه الموجي. قاد اقتراح أندرسون إلى إجراء تجارب أظهرت إمكان انعدام الناقلية الكهربائية مع زيادة الشوائب. ووفق نظرية درود Drude، فإن الناقلية الكهربائية هي نتاج تبعثر الإلكترونات  scattering of electronsعن الإيونات الموجبة، وتتناسب طرداً مع المسار الحر الوسطي للإلكترون. وفي حال انعدام المسار الحر الوسطي تنعدم الناقلية، وهذا ممكن عند انعراج الإلكترونات عن المستويات البلورية، إذ تعدّ الإلكترونات  أمواجاً بحسب مكانيك الكم.

ولفهم ما يحدث تصوَّر أندرسون أن إلكتروناً  ينتقل من نقطة A إلى نقطة B في وسط غير منتظم، ولمعرفة الاحتمال الكلي لوصول الإلكترون إلى النقطة B يجب جمع سِعات الطرق التي يمكن  أن يسلكها الإلكترون كلها، وتربيع القيم العقدية منها. يشمل هذا الاحتمال حدوداً تربيعية وجداءات شعاعية وحدود تداخل. وفي الأوساط غير المنتظمة تكون الأطوار عشوائية وينعدم مجموعها بالمتوسط.

تطور فكرة أندرسون

حين نشر أندرسون ورقة بحث بعنوان "غياب الانتشار في شبكات عشوائية محددة" عام 1958، لم تلقَ هذه الورقة قبولاً واسعاً من الباحثين، وبلغ عدد مرات الرجوع إليها 43 مرة خلال عشر سنوات، وأغلب المراجعات كانت للفيزيائي الإنكليزي نيفيل موت Sir Nevill Francis Mott، الذي اهتم بالانتقال من السلوك المعدني إلى سلوك العوازل بدءاً من تقريب الذرات بعضها من بعض، وتبين اختلاف الظاهرتين. لقد كان المحفز لعمل أندرسون هذا تجربة الانتثار الكمومي السبيني التي قام بها الفيزيائي الحيوي فيهر G. Feher، والفيزيائيان الأمريكيان فليتشر  R. C. Fletcherوغير E. A. Gere- عام 1955- اللذان توقعا إمكان إثارة السبين spin   بعيداً عن موضعه، لكنهما وجدا أنه عندما يكون تركيز السبينات منخفضاً فإن الإثارة تبقى متموضعة localized، والانتثار يتم فقط عن طريق القفز المنشط حرارياً بين الحالات المتموضعة. وقد أشار أندرسون في بحثه إلى انتثار السبين والناقلية الكهربائية معاً، وكانت كل الأعمال السابقة تستخدم انتثار السبين وليس انتثار الشحنة.

وضع أندرسون نموذجه لشبكة تسمح للإلكترون بالقفز من موضع إلى آخر مجاور مع زيادة عرض (توسعة) طاقة هذه المواضع بسبب عدم الانتظام الناجم عن وجود كمون كهربائي عشوائي. وباستخدام طريقة نشر الاضطراب – بوصفه تابعِ قوى بدلالة شدة مصفوفة القفز- وجد أندرسون أنه في حال عدم الانتظام القوي يكون التابع الموجي للإلكترون متموضعاً ويتناقص أسيّاً مع المسافة عن موضع السعة العظمى، في حين أن عدم الانتظام الضعيف وبعيداً عن حافات عصابات الطاقة لا يوجد مانع من  تطبيق نظرية المعادن وأنصاف النواقل المشوبة بتراكيز عالية، حيث يعدّ عدم الانتظام هو المحفز لانتقال الإلكترونات بين أمواج بلوخ  Bloch waves  في عصابة الطاقة.

 حدثت عدة تطورات على مدى السنوات العشر التي تلت ذلك، أدت إلى عودة عمل أندرسون إلى واجهة الاهتمام، منها عمل أندرسون مع الفيزيائي الياباني كوندوKondo  Jun  حول العزوم المغنطيسية المتموضعة في النواقل، وكذلك مناقشة الفيزيائي الأمريكي مارفن كوهن Marvin L. Cohen بين عامي 1961 و 1964 حول الفرق بين المعادن والعوازل، وخلص إلى أن التابع الموجي للإلكترون في العوازل أسِّي وفي المعادن ممتد. كما درس نيفيل موت وزملاؤه عام 1961 الخواص الكهربائية للمواد غير المنتظمة وللمواد غير المتبلورة. وفي عام 1967 نشر موت ورقة علمية تضمنت عرضاً لأفكاره وأفكار أندرسون.

وفي عام 1978 طبق موت  هذه الأفكار على النقل الكهربائي في أوساط عشوائية مختلفة مثل النقل بسبب الشوائب في أنصاف النواقل، وبيَّن أن الانتقال من معدن إلى عازل يتم عند زيادة تركيز الشوائب. وفي عام 1979 قدم الفيزيائي الأمريكي أبراهام  E. Abrahams وزملاؤه نظرية المقاساتscaling  في عملية التموضع، ودرسوا اعتماد النقل على مقاس النظام. وأهم النتائج التي خلصوا إليها هي أن التوابع الموجية تكون متموضعة دائماً في الأنظمة ذات البعد الواحد وذات البعدين بغض النظر عن العشوائية الموجودة في النظام. إضافة إلى ذلك قدمت هذه النتيجة رؤية جديدة وكاملة لدراسة مسألة العشوائية في طيف عريض من الأوساط ذات التموضع القوي والضعيف؛ لذلك يدعى التموضع المطور أحياناً التموضع القوي strong localization عندما يشمل جميع أنواع الأمواج بما فيها الكهرطيسية أو الصوتية أو السبينية.

وعلى الرغم من زيادة شعبية التموضع في سبعينيات القرن الماضي، فقد اقتصر الاهتمام على الإلكترونات والثقوب بوصفها حوامل للشحنة، علماً أنه ثمة العديد من المجالات التي يمكن أن يدرس فيها التموضع. فالفوتونات يمكن أن تتموضع في الشبكات غير المنتظمة، إضافة إلى ذلك جرى بحث تموضع الأمواج المكروية عام  2000، وجرت محاولات عدة لإظهار التموضع في المواد الفوتونية الثلاثية الأبعاد  three dimensional photonic materials عام 2007، والأمواج فوق الصوتية عام 2008 في الصفوف العشوائية لكرات ناقلة غير متداخلة. كما أن العمل في الذرات الباردة قاد إلى دراسة إمكان تموضعها في الشبكات غير المنتظمة أو شبه الدورية عام2008 .

تطبيقات تموضع أندرسون وآثاره في الناقلية الكهربائية

1-النقل بالقفز:

يعدّ غياب الفجوة الطاقية عند سوية فِيرمي Fermi level علامة مميزة لتموضع أندرسون، وهذا الغياب ساعد على فهم الناقلية عند درجات حرارة منخفضة، وأطلق عليها موت اسم الناقلية بالقفز المتغير المدى. وأدى التنافس بين عناصر مصفوفة القفز المتناقص أسيّاً بدلالة المسافة بين حالتين متموضعتين وبين النمو الجبري للحالات المتموضعة مع المسافة إلى تنبؤ موت عام 1969 بتناقص الناقلية وفقاً للتابع exp[-(T₀/T)^1/4]، مع تناقص درجة الحرارة بدلاً من exp[-(T₀/T)] التي حسبها ميلرMiller  وأبراهام عام1960 . ولوحظت هذه النتيجة في كثير من التجارب ولكن أثبت الفيزيائيان الروسيان إيفرز A.L.Efros وشْكلوفسكي B.I. Shklovskii عام 1975 إثباتاً مقنعاً أنه عندما يؤخذ التفاعل الكولوني بين الإلكترونات المتموضعة في الحسبان، فإن الأس في عبارة الناقلية يتغير من 4/1 إلى 2/1. وفي الحقيقة لوحظ الأس 2/1 عند متابعة التجربة مع خفض درجة الحرارة لقيم أدنى. وعزي ذلك إلى أن مدى القفز ثابت، وأكدت ذلك ظواهر فيزيائية أخرى.

 ساد الاعتقاد مدة طويلة أن الحالات الإلكترونية أو حالات حاملات الشحنة الأخرى مختلفة نوعياً بين النواقل والعوازل، على الأقل عند درجات حرارة منخفضة. إذ ترتفع الناقلية في المعادن اللامغنطيسية لقيمة محدودة عندما تنخفض درجة الحرارة إلى الصفر، في حين تتناقص الناقلية أسيّاً   exp(-E₀/K_BT)في العوازل. وعزا الفيزيائي الأمريكي مورِل كوهن  Morrel H. Cohen سبب النهاية غير الصفرية للناقلية في المعادن إلى حقيقة أن التابع الموجي للإلكترون يمتد على المنظومة كلها، وفي العوازل تكون حوامل الشحنة متموضعة ويجب أن تجتاز حاجزاً طاقياً   E₀للتحرك خلال المنظومة. ويبدو أنه في حال درجة الحرارة صفر فقط ثمة تفريق حاد بين المعادن والعوازل، ولهذا السبب فإن التحول معدن-عازل عدّ تحولاً طورياً كمومياً شأنه شأن أثر هول Hallالكمومي.

يعدّ ظهور مدًى متغير للقفز ميزة لتموضع أندرسون، وهذا لا يظهر في آليات أخرى للانتقال بين حالات الناقل والعازل. ومُيزت العصابات الممتلئة التي قدمها الرياضياتي البريطاني ألَن ولسون Sir Alan Herries Wilson  عام  1931 لشرح تصرف العازل في حالاتٍ عدة بطاقة تنشيط محددة، بحيث يكون لوغاريتم الناقلية تابعاً لمقلوب T خطاً مستقيماً عند درجات الحرارة المنخفضة. وليس هناك حدود دنيا لطاقة الإثارة وفق مدًى متغير للقفز، بحيث يصبح ميل هذا المنحني أصغر فأصغر مع تناقص درجة الحرارة. وكان سلوك مماثل لهذا متوقعاً عندما تقيد جميع الإلكترونات بروابط مشتركة، حتى في المواد الزجاجية أو السوائل الكمومية، تسمّى مثل هذه المواد عوازل موت. وفي هذه الحالة ثمة أيضاً حاجز طاقي يجب تجاوزه لكي تظهر الناقلية عند درجات حرارة منخفضة.

2- تحول معدن – عازل:

حاول أندرسون تفسير بعض التجارب التي أنجزتها مجموعة فيهرFeher في مخابر بل Bell التي أظهرت على نحو مفاجئ وجود زمن طويل لاسترخاء سبينات الإلكترونات في أنصاف النواقل المشوبة. وكان مفهوم تموضع الإلكترون قادراً على تفسير ما حدث، لكنه خرق صورة الانتثار المعروفة، فاضطر أندرسون إلى استخدام نموذج الربط الوثيق tight binding model لوصف الإلكترون في شبكة غير منتظمة بحيث يوجد إلكترون نقل واحد في كل موقع يمكنه العبور إلى أقرب جوار بمعدل ثابت ويتحسس كموناً عشوائي العمق. كما اعتمد على إمكان أن تسلك الإلكترونات سلوك الأمواج؛ لذا يمكن النظر إليها على أنها أمواج مستقرة ومقيدة مكانياً، ومن ثَم لها عمر طويل، بدلاً من التفكير فيها على أنها إلكترونات نقل وأمواج ممتدة ومسار حر وسطي قصير، ومن ثَم عمر قصير. على أي حال تتموضع أغلب إلكترونات النقل بانسجام ضمن بئر طاقية عشوائية بسبب الكمون العشوائي. وتجمع سعة الإلكترون لكل حوادث التبعثر ويفني بعضها بعضاً.

بشر نموذج أندرسون بصورة جديدة لتحول معدن – عازل وفق ميكانيك الكم في بداية ستينيات القرن الماضي. فقدم موت ملاحظة حول حركية الحافة التي تفصل بين حالتي الامتداد والتموضع عام 1978، وقال إن الإلكترونات ذات الطاقة العالية، وذات طول موجة دوبروي صغير تسلك سلوكاً عادياً وتسهم بالنقل، أما الإلكترونات ذات الطاقة القريبة من حافة عصابة الطاقة ذات طول موجة كبير ومتموضعة لا تسهم بالنقل.

وللتفريق بين المعدن والعازل يجب الرجوع إلى نظرية العصابات band theory، فوجود فجوة طاقة عند سوية فيرمي يدل على أن المادة ليست معدناً. وتتنبأ هذه النظرية للمادة بأنها معدن إذا كان عدد الإلكترونات فردياً في الخلية الأولية على خلاف التجربة للعديد من العوازل مثل أكاسيد المعادن المتحولة. ومن دون تغيير نظرة نظرية العصابة للمادة فسّر موت عام 1990ما يحدث باستخدام فرضية عبور الإلكترون بين المداريات الذرية المترابطة ترابطاً ضعيفاً مع هاملتون هوبارد Hubbard.

 إن شدة عدم الانتظام في أغلب الأنظمة الحقيقية، وشدة تفاعل إلكترون-إلكترون متقاربة بالقيمة، وفي هذه الحالة لا يمكن عدّ آليتي التموضع لأندرسون وموت كلٍ على حدة لأن كلاًّ منهما تؤثر في الأخرى. ولتوضيح ذلك، إذا افترض أن النظام ذو تموضع قوي ولا يوجد عدم انتظام، وكتب هوبارد هاملتوني "تابع هاملتون" للمسألة وحلّها فتبين أن لكل موقع من الشبكة

سويَّتي طاقة  حيثU  كمون التفاعل للموقع. وإذا كانت عصابة الطاقة نصف مملوءة  فهذا يعني وجود إلكترون واحد أو عزم مغنطيسي واحد في كل موقع ويوجد فجوة طاقة قيمتها U. وعند إضافة عدم الانتظام وحلّت المسألة من جديد يتبين أن كل سوية طاقة ستزاح بمقدار متغير وعشوائي W بحيث يحقق الانزياح العلاقة ، ويبقى الحال كما هو في حال U > W. أما عندما تكون W > U يصبح جزء من المواقع فارغاً أو مشغولاً بإلكترونين وتغلق فجوة موت مع بقاء جزء من المواقع عزوماً مغنطيسية متموضعة. يمكن وصف هذه الحالة بخليط من عدم التجانس بين عوازل أندرسون وعوازل موت. وأصبح ممكناً منذ عام 2010 اختبار أفكار أندرسون وموت من خلال التجارب باستخدام المجهر النفقي الماسح العالي الدقة  high resolution scanning tunneling microscope بحيث يمكن أن تحدد درجة تموضع التابع الموجي.

تطبيقات تموضع أندرسون وآثاره في الضوء:

1-الوسط المبعثر:

يظهر أثر تموضع الضوء بسبب الانتثارات المترابطة المتعددة وبسبب تداخلات الضوء. ويمكن فهمه باستخدام النظرية الكهرطيسية. فيشبه تموضع الضوء إلى حد بعيد تموضع الإلكترونات، إذ يحدث التموضع عندما تكون درجة ترابط الأمواج المتعددة الانتثار من مرتبة طول الموجة. فقد بدأت أول خطوة باتجاه دراسة تموضع الضوء مع ملاحظة التموضع الضعيف للضوء عام 1986، وسبق ذلك تنبؤ الفيزيائي الكندي جون  S. John في عام 1984 مجال التواتر المناسب للموجة كي تتموضع.

تُبعثر الأوساط الضوئية الشفافة العشوائية غير المنتظمة - مثل الغيوم والضباب والدهان الأبيض- الضوء بشدات ضعيفة وتكون بعيدة جداً عن المطلوب لحدوث تموضع أندرسون. أما المواد التي تبعثر الضوء بشدة عالية فيمكن تحضيرها على سبيل المثال بتذريرها أو تنميشها لإحداث مسامات فيها أو تعليقها كريّات في سائل. واستعمل الباحثون لسنين عديدة ذرور التيتانيوم بسبب خواصه المبعثرة للضوء. وكان الفضل بذلك لقرينة انكساره العالية (2,7)، ولحجم الحبيبات الصغير من مرتبة دون الميكرومتر، وللمسار الحر الوسطي الذي هو من مرتبة طول الموجة. إذ يجب لملاحظة التموضع زيادة الانتثار وتقليل الامتصاص. وإحدى الطرائق لتحقيق ذلك استخدام ضوء ذي طول موجة أصغر من فجوة الطاقة لنصف الناقل منعاً لحدوث امتصاص، وتكون قرينة الانكسار عالية. قام الفيزيائي ويرسما WiersmaD.S.  وزملاؤه عام 1997 بتذرير زرنيخيد الغاليوم  (GaAs) gallium arsenide ، ولاحظوا تموضعاً كاملاً تقريباً للضوء قرب المجال تحت الأحمر. وبعدسنتين وجد ذلك أيضاً بتنميش فوسفيد الغاليوم ( Gallium Phosphide (GaPعلى شكل شبكة من المسامات وبطول مسار حر وسطي قرابة 250 نانو/متر، وتعدّ هذه المادة من أقوى مبعثرات الضوء المرئي. كما استخدمت تقنيات أخرى لقياس المسار الحر الوسطي مثل تقنية التحليل الزمني، فقاس ستروزرM.Strörzer وزملاؤه عام 2006 زمن هبوط شدة الضوء النافذ وكان 4 نانوثانية في ذرور التيتانيوم بما يعادل مساراً حراً وسطياً كبيراً جداً.

-2البلورات الفوتونية:

البلورات الفوتونية شبكة من الحزوز أو المسامات تعرج الضوء مثلما تتسبب البلورات بانعراج الإلكترونات. وللبلورات الفوتونية فجوة طاقة أيضاً. فإذا وجدت في بنًى غير منتظمة إلى حد بعيد ستبعثر الضوء، وتحقق فيها تنبؤ جون بوجود حالات متموضعة قرب حافة العصابة من الطيف شبيهة جداً بحالات تموضع الإلكترون التي ظهرت قرب حافة العصابة لأنصاف النواقل. وتكون عملية تموضع الضوء أسهل في البلورات الفوتونية بسبب انتشارها في اتجاهات محددة. حتى إن وجود عدم انتظام بسيط مناسب لملاحظة التموضع وفق دراسة جون لعام1991.

  لم يلاحظ تموضع أندرسون في البلورات الفوتونية الثلاثية الأبعاد ذات فجوة الطاقة حتى اليوم، ولكن شفارتز  T. Schwartzوزملاؤه وثقوا حادثة تموضع في البلورات الثنائية البعد عام2007. وفي عام 2013 درس مفعول التموضع نظرياً في تجاويف البلورات الفوتونية السليكونية بدرجات مختلفة من عدم الانتظام، وتبين أنه عندما تكون درجة الانتظام مساوية 10% يكون التموضع مستقراً.

 أدى التحقق من تموضع أندرسون في الضوء خاصة إلى إمكان التحكم في سرعة الضوء في أوساط مناسبة مما يجعل الحصول على حواسيب ضوئية بالكامل أمراً قريب المنال.